《参数估计练习题》

参数估计练习题

1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在()θ,0上的均匀分布;

(iv) 正态分布(

)2

,σ

μN .

解:()i P []1,0=Θ∈；()ii ()∞=Θ∈,0λ；()iii ()∞=Θ∈,0θ；（iv ）()()().,0,,∞?∞∞-=Θ∈σμ

2. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴p

? 3. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.

解: 2

β

αξ+=

E ，()12

2

αβξ-=

D 。令()???????=-=+2212

2n S αβξβ

α得 n S 3?-=ξα，.3?n

S +=ξβ 4. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()??

???<<-=其它,00,2

;2a

x x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.

解: ()322

a dx x a a x E a

=-=

?

ξ 令ξ=3a

得ξ3?=a

. 5. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a

中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()

()

∏∏==

+=+=

n

i i n

i n

n

i x x L 1

11αα

ααα ()i i

x

?<<1

∴()().ln 1ln ln 1???

?

???++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=??∑=i n

i x n L ααα，得 ∑=--=n

i i

L x

n

1

ln 1?α。

由于 ()

01ln 2

22<+-=??ααn

L 故∑=--=n

i i

L x

n

1

ln 1?α是α极大似然估计.

(2) 由211+-

=αξE 令ξα=+-

2

1

1 得 .112?ξξα--= 6. 用极大似然法估计几何分布 ()()

,2,1,11

=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .

解:()()n x n

i p p p L -∑-=1，令 ()0

1ln =---=??∑p

n x p n p p L i

得x p

1?=而01

ln 2

?2

<--=??=x x n p L p

p ξ1?=∴p

是P 的极大似然估计. 7. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσ

σ

x e x f x

，n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值. 解: ()()∑=--i

x n

e

L σ

σσ1

2，

()01

ln 2

=+-=??∑

i x n L σ

σσσ。得i x n

∑=1

?σ

， 又

0ln 2

2<-=??σ

σn L 故.1

?∑=i L n ξσ 8. 设n ξξ,,1 是取自均匀分布()1,+θθR 的母体的一个子样,其中.∞<<∞-θ试证:θ的极大似然估计量不止一个,例如()()()()()()()2

121

,1,13211-+=-==n n ξξθξξθξξθ都是θ的极大似然估计量. 解: 证:()1,+θθR 的密度函数为()???=0

1

x f

其它

1

+≤≤θθx ，故()???=0

1θL

()()其它

1

1+≤≤≤θθn x x

即凡满足()()

1??1+≤≤≤θθn x x 的θ?均为θ的极大似然估计. 从而(1)()()

11?ξξθ=满足此条件，故1?θ是θ的极大似然估计. (2)由于()()11≤-ξξn 故()()()()()1?12

12+≤≤≤-=ξθξξξξθn n ，所以()ξθ2?也是θ的极大似然估计. (3)由于()()11≤-ξξn ， 故()()()1121ξξξ≤-+n ，()()()n n ξξξ211≥++，

从而()()()()()()()()1?2

1212121

?31113

+=++≤≤≤-+=θξξξξξξθn n n ，故3?θ也是θ的LM. 9.设n ξξ,,1 是取自对数正态分布母体ξ的一个子样,即(

),.,~12

σμξN n ∞<<∞<<∞-σμ0,

，

试求:ξ的期望值ξE 和方差D ξ的极大似然估计. 解:ξ的密度函数为()()2

2

221σμσπ--

=

x n e

x

x f ，所以(

)()2

2

21

2

21,σμσπσ

μ--

=∏

=i mx i

n

i e

x L ，0>i x

两边对数并分别对μ和2

σ求寻,并令其为0,得似然方程组

，解得()22

ln 1?ln 1?μσμ-==∑∑i i x n x n 经验知μ和2

σ的LM 为: i x n ∑=ln 1

?μ，()22ln 1?μσ

-=∑i x n

又()2

2

2

2

12ln 0

121

σμσ

μσ

πξ+--

∞

=?=

?e

dx e x

x E x ，()()

12

22122

2

-=-=?

?? ?

?

+σσμξξξe

e

E E D

从而 ,21?exp 2???

?

??+=∧∧

σμ

ξE .112

??

? ??-?

?

?

??=∧

∧∧

σξξe E D 10. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n 的子样;其中有k 个白球,求罐子里黑球数和

白球数之比R 的极大似然估计量.

解:设罐子里有白球x 个,则有黑球Rx 个,从而共有()x R 1+个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率

为:()R x R x +=+111，黑球的概率为.1R R +从而抽球为二点分布()().

1111n

k

n k

n k

R R R R R R L +=

??

?

??+?

?

?

??+=--似然方程为

01=+--R n R k n 。从而解得1?-=k

n R

. 可验证这是R 的极大似然估计. 11.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数

(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下: 大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6

升 数 17 20 10 2 1 0 0

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大. 解:由，设一升水中大肠杆菌个数()k ~=ξξP =

λλ-e k k

!

， ,2,1,0=k 又λξ=E .故问题为求λ的极大似

然估计.由()λλλn i x e x L i

-∏∑

=

!

，可得ξλ=L

?.由观测值代入求设1=λ.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.

12．设()11,ηξ,()n n ηξ,, 是取自二维正态母体()

ρσσ,,,0,02

22

1N 的一个子样,求2

22

1,σσ和ρ的极大似

然估计.

解:由L ()

()

()[]

{()

}

???

?

????+---

?-=-

-222

212122

2

2

2

2

21

2

22

12121

exp 12,,σησσρσρρσ

σ

πρσσi i i i n

n

y x x ()()?????

=-+-=-∑∑0ln 2120ln 12422μσσ

μσi i x n x

可得似然方程为()

()()()????

?

?

??

???=∑+????????+---=∑--∑-=--∑-∑∑3021211111112122221222212

2222212

2122 σσσσσρσρρρσσρρσσσσρρσρi i i i i i i

i i i i i i y x y y x x n n y x y n y x x 将(1),(2)代入(3)得:[].02

12

1ρσσησσρρn x y x n n n i

i i

i =∑

?=∑

++- (4)

由(4)代入(1),(2)得似然估计:∑=∧

2

21

1i n

ξσ ∑=∧

2221i n ησ 211?σσηξρ

i i n ∑=. 13． 从四个正态母体(它们都有同样的方差2

σ)中,各抽一个容量为n 的子样,第i 个子样的观测值为

,4,3,2,1,,,2,1,==i n j x ij 若四个母体的平均数分别为,,,,c b a c b a c b a c b a --+--+++试求

c b a ,,和2σ的极大似然估计.

解:(

)

()[]

+++-???-????

??=∑=2

11

242

{21exp 21

,,,c b a x

c b a L j

n

j n

σ

σ

πσ

()[]()[]()

[]}2

42

32

2c b a x c b a x c b a x j j j ---++--+-+-+

两边取对数后对c b a ,,分别求导,令其均为0， 即得()432141?x x x x a

+++=，()4

3214

1?x x x x b --+=， ()43214

1?x x x x c -+-=。对2σ求导代入c b a ?,?,?得=∧

2σ{()[]

+++-∑=2

11???41c b a x n j n j

()[]()[]()[]}2

42

32

2?????????c b a x c b a

x c b a

x j

j

j ---++--+-+-+.

14. 考虑某种离散分布 ()()

,2,1,0,===x f a x P x

x θθξ，其中对某些x 可能有()θf a x ,0=有连续导数,设n ξξ,,1 是取自具有这种分布的母体ξ的一个子样.

()i 证明θ的极大似然估计是方程 ()()

ξθθθξ

E f f ='=

的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同. ()ii 试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.

解: (1)证()()

()()[]

n

x

x

x

x f a f a L i

i

i

i

θθθθθ∑∏=∏= ()()θθθf n x a L i x i

ln ln ln -∑+∑=∴

对θ求导得()()01

='-

∑θθθf f n x i ()().θθθξf f '=∴又由()11=∑=θθf a x x n i 知()x x n

i a f θθ∑==1

从而()()()()()()

.111

θθθθθθθθθθθξf f f a x a f f x a E x x

x x n i x x n

i '?=?'∑==?=

-==∑∑

所以似然方程可写为ξξE =这与矩法方程一致. (2) 对()()λλλξλ

f a e

x x P x x x

?==

=-!

其中λθ= !

1x a x = ()λ

λe f =

从而()()λλλ

f e f =='， 故似然方程的显式为λξ=.

对二项分布:()()()θθξf a p p x n x P x x x

n x =-???

? ??==-1 p p -=1θ ()().111n

n

x p f x n a --??? ??+-=-=???

? ??=θθθ 又()().1111θθθθθθ+=??? ??+-+='nf n f 故似然方程的显式为()().1np n f f =+-'=

θ

θ

θθθξ 15. 设ξ1n ξ 是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数()??

???>=--其它,0,1,1

22121

θθθθθ

θx e x ；f x ，其中

.0,21∞<<∞<<∞-θθ试求参数1θ和2θ的极大似然估计和矩法估计.

解: (1) LM 估计()()???

???-∑-=

121211exp 1

,θθθθθn x L i n

，().11θ>x ()()12

1211

ln ,ln θθθθθn x n L i -∑-

-=∴ ()11θ>x

0ln 2

1>=??θθn

L 故L ln 是1θ的递增函数,1θ取到最大可能值时可使lnL 达到最大,故1θ的极大似然估计为()

11?ξθ= 由0ln 2

=??θL 可解得2θ的LM 这()

12?ξξθ-=. (2)矩法估计由于212

2

2

1

θθθξθθθ

+==

--

∞

?dx e

x

E x ，()2

22

2θξξξ=-=E E D 故由

()??

???=+-∑==ξθθξξθ2122

221i n n S 解得n S =2?θ .?1n S -=ξθ 16. 设n ξξ,,1 为取自参数为λ的普哇松分布的一个子样.试证子样平均ξ和∑=*--=n

i i n

n S 1

22

)(11ξξ都是λ的无偏估计.并且对任一值10,≤≤αα()2

*

1n S αξα-+也是λ的无偏估计.

证: 对普哇松分布有λξξ==D E , 从而.λξ=E ().11212*λξξξ==??

????--=∑=D E n ES

i n i n

故ξ与2

n S 都是λ的无偏估计. 又()[

]()λλααλαξα=-+=-+112

*n

S E

故()2

*

1n S αξα-+也是λ的无偏估计.

17.设,,,1n ξξ 为取自正态母体(

)2

,σμN 的一个子样,试适当选择c ,使()2

1

1

12

∑-=+-=n i i i c S

ξξ为2σ的无

偏估计.

解: 由μξ=i E ，2σξ=i D 且n ξξ,,1 相互独立可知,2

μξξξξ=?=j i j i E E E j i ≠

从而()()()()[]

2

12

112

21

1

2

12122ξξξξξξ

E n E n c E E E E c

ES i i i i n i ---=-+=++=∑

()()12122-=-=n c D n c i σξ.

取()

121-=

n c 时, n S 为2

σ的无偏估计.

18设母体ξ的数学期望为,μ方差.2

σε=D 又设

()()()1

1

1

1

,,n ξξ 和()()()2

2

1

2

,,n ξξ 为取自此母体的两个子

样.试证:()()

(

)()

()

()

??

????????-+--+=∑∑==2

11

2

222

1

1121221n i i

n i i n

n n S ξ

ξ

ξ

ξ是2

σ的无偏估计量. 其中()

()

.2,1,1

1

==∑=j n j

i j i

j

j n

ξ

ξ

证:()()

(

)()

()

()??

????-+--+=∑∑==2

221

2

111

212

2121ξ

ξ

ξξi

n i i n i E E n n ES

()()[]

2222121112

1

σσσ=-+--+=

n n n n , 故2S 是2σ的无偏估计.

19. 设随机变量ξ服从二项分布()() ,1,0,1=-???

? ??==-x x n x P x

n x θθξ,n 试求2θ无偏估计量. 解: 由于θξn E = ()()()()22

2

2

11θθθθθξξξ-+=+-=+=n n n n n E D E

故()

().12

2

θξξ-=-n n E 从而当抽得容量为N 的一个子样后,

2

θ的无偏估计为:(

)

()

.1?2

2

--∑=n Nn i i ξξθ

20. 设n ξξ,,1 是取自参数为λ的普哇松分布的一个子样,试求2

λ的无偏估计. 解: 由λξ=E λξ=D 故λξ=E ()22

2

λλ

ξξξ

+=

+=n

E D E

从而221λξξ=??? ?

?-n E , 所以2λ的无偏估计为.12

2ξξλn -=∧

21. 设n ξξ,,1 是取自正态母体(

)2

,σ

μN 的一个子样,试证对任一固定的a ,

()?

??≥<=a a ，n 111,01,,ξξξξ? 是 ???

??-Φσμa 的无偏估计,其中()x Φ是()1,0N 的分布函数.

证: 记i ξ的密度函数为()i x f ， 则n ξξ,,1 的联合密度函数为

()i

n

i x f ∏=1

从而

()()()()??

?

??-===?

?

??

∞

-∞-∞∞-∞

∞

-σμφξξ?a dx x f dx dx x f x f E a

n n a

n 11111

故?（n ξξ,,1 ）是??

?

??-σμφa 的无偏估计.

22. 设n ξξ,,1 是取自母体ξ的子样,ξ的分布函数

()θθ,x ；F 为未知参数,()n ξξθθ,,1

=是θ的一个有偏估计,且()n

a E θθθ1+

=

, 其中()θ1a 是仅与θ有关的一个函数,为了减少偏性,常要用如下的

“刀切法”。设i -θ 是把原来子样中第i 个分量剔除,再以留下的容量为1-n 的子样所得的估计量,并且i -θ

与θ

的估计公式是有同样的形式,则可证明()

∑=---=n i i n n n 1

11θθθ

是θ的无偏估计,()1θ 称为θ的一阶刀

切估计. 证:()

()().11?1?~11111θθαθ?αθθθθ

=?????

?

-+--??????+=--=∑∑==n n n n n E n n nE E n i i n i

23. 设n ξξ,,1 为取自正态母体(

)2

,σ

μN 的一个子样,证明

?

?

? ??+Γ??? ??Γ=

21220n n n σ

S 0 和 112212S n n n ??

? ??Γ??

?

??-Γ=σ 都是σ的无偏估计,

其中 ()()2

1

2

12

12

1,1∑∑==-=-=n i i n i i n S n S ξξμξ. 证: (1) 由于

().~2

2

2

n nS χσ 令2

2

σnS Y =

, 则Y 的的密度为

()1221

222---?????

????

??Γ=n

y n y e n y f 0>y

而此时.21222122?0

0Y n n n n S n n n σσ

??

?

? ??+Γ???

??Γ=

?

?? ??+Γ???

??Γ= dy y e

n y n n n n E n y n 12

2

2

02212122?--

∞

?

?

? ??Γ???

?

? ??+Γ???

??Γ?=∴?

σσ

2

y x =

令??

? ??+Γ21n σ

σ=-+-∞

?

dy y

e 12

1

n y

.

(2) 由于

()1~2

2

2

1

-n nS χσ

令2

2

1

σ

nS =

Z 则Z ???

? ??Γ???

??-Γ?=n

n n n σσ

2212?2. 利用(1)类似的方法可证σσ

=1?E 1?σ∴也是σ的无偏估计. 24. 设n ξξ,,1 是取自均匀分布母体()βα,R 的一个子样,()n εεα,,m in 1

=

()n εεβ,,max 1

=分别取做βα,的估计量,问βα

,是否分别为βα,的无偏估计量?

如何修正,才能获得βα,的无偏估计.

解: i ξ的密度函数为()???

??-=0

1αβi x f 其它βα<

其分布函数为()???????--=1

0αβαi i x x F ββαα

>≤<≤i i i x x x 从而α?的密度为: ()()()()

n

n n x n x n n x f αββαβαβαα--=-?????

??----=--1

1

11!1! βα<

1

?1

++=

--=-?n n dx x x n

E n n α

ββαβα

β

α

β?的密度函数为()()()

n

n n x n x n x f αβααβαβαβ--=-???

? ??--=--1

1

1 βα<

()()

.1

?1

++=

--=∴-?n n dx x x n

E n n α

βαεββ

β

α

故βα

?,?均不是βα,的无偏估计.为得到无偏估计可作如下修正:

从1

?++=n n E α

βα

可得 (),?1αα

βn E n -+= 将它代入β?E 中得:()ααβ1??--=n nE E 故αβα=???? ??--1??n n E .

又()

βαβα+=+??E 从而

βαββαβα=???

? ??--=???? ??---+1??1????n n E n n E , 所以α与β的无偏估计分别为:,1??~--=n n βαα 1

??~--=n n αββ. 25. 设()n ξξ,,1 是取自均匀母体()1,+a a R 的一个子样,证明估计量

21111-=∑=n i i n a ξ {}1

max 12+-=≤≤n n a i n i ξ

皆为参数a 的无偏估计,并且()()()12a D O a D =.这里()()1a D O 表示与()1a D

同阶. 证: 由母体ξ的密度函数为()???=0

1x f

其它

1

+<<ααx

其分布函数为()??

?

??-=10

αx x F 11+>+≤<<ααααx x x

则()n ξ的密度函数为()()1

--=n n x n x f α 1+<<ααx

由于21+=αξE 知ααξ=-+=2

1

211E 由()n ξ的密度函数知: ()()

ααξαα

++=

-=

-+?1

1

1

n n

xdx x n E n n

故,?2αα

=E 所以1?α与2?α均为α的无偏估计.

又由121=

ξD 知n D 121

?1=α 而 ()()()

212++=n n n D n ξ

所以()()()12??αα

D O D =. 26 设n ξξ,,1 为取自正态母体(

)2

,σ

μN 的一个子样,在下列三个统计量

()2

12

1

11∑=--=n i i n S ξξ ()2

1221∑=-=n i i n S ξξ ()2

1

2

311∑=-+=n i i n S ξξ 中,哪一个是2

σ的无偏估计,哪一个对2

σ的均方误差(

)2

22

σ-i S E 最小,,.3,2,1=i

解: 记()21

2

ξξ

-=

∑=i

n

i S , 则

()1~22

2

-n S χσ

从而()2

1σ-=n ES n

()22

12σ-=n DS , 那么由此可知

22

1σ=ES 22

21σn n ES -=

2

231

1σ+-=n n ES 所以只有21S 是2σ的无偏估计. ()

2212

2211

2σσ-==-n DS S E

(

)

4

222242

22242222

22121σσσσσσσ

n n S D n n S E n n S E S E -=??

????+???? ?

?=???? ??-=???? ??-=-

而(

)

()()().1

241211422

24

2

222

4

2

22

2σσ

σσσσ

+=??????+?

??? ??+=??

????---+=-n S D n n S E n S E 当>n 1时,

12122122

+>->>-n n

n n n ， 故2

2S 的均方误差最小. 27. 设n ξξξ,,,21 是取自均匀分布在??

?

?

?

+-

21,21θθ上的母体的一个子样,求证:

∑==n

i i n 111ξθ

和()

i n i i n i ξξθ≤≤≤≤+=112min max 21 都是θ的无偏估计,并指出哪一个方差较小.

证: 设ξ?????

?

+-21,21~θθ

R ,则E ξ=θ,121=ξD 且()n ξ的密度函数为()??

????

?? ??-+=-0211

n x n x f θξ 其它

21

21+<<-

θθx ()??

??????

??+-=-0211

n y n y f θη 其它212

1+

<<-θθy 它们的联合密度为

()()()???--=-01,2n x y n n y x f 其它

2121+

<<-θθy

由此可知()1

1

21211

1

1

1++

-

=?

?

?

??-+=

-+-?

n xdx x n E n s s θθξ, ()1

1

21211

1

1

+-

+

=?

?? ?

?

+-=-+-?

n ydy y n E n s s n θθξ， 所以E θ

?1=θ, E θ?2=θ 即θ?1，θ?2均为θ无偏估计， 它们的方差分别为 D θ?1=n

121

D θ

?2=()()()()()2121121111

2

2

++=--??

????-+??

+-+-n n dyds x y n n y x s s s s

n θ 当n 2≤时，D θ

?1=D θ?2，当n>2时，()()

2121121++>n n n , 即D θ

?1>D θ?2, 所以θ

?2的方差较小。 28．设()()n n ξξθθξξθθ,,,,122111

==和是参数θ的两个相互独立的无偏估计,且方差

()

()

.221θθ

D D =试求常数1k 和2k ,使得2211θθ

k k +是θ的无偏估计,且在一切这样的线性估计类中方差

最小.

解: 设22?σθ=D ,则212?σθ=D , 为使 ()

θθθ=+2211??k k E

即 θθθ=+2211k k , 则只需121=+k k

要使()()

22

22

122

22

12

122

212

1221122????σσ

σθθθθk k k k D k D k k k D +=?+?=+=+

达到最小，则需选取2

22

12k k +在121=+k k 条件下达到最小.用121k k -=代入2

22

12k k +，并令

()()2

12

1112k k k f -+=则由

()011=dk k df 得31

1=k .， .3

22=k 所以当3

11=

k ,3

2

2=

k 时可使2211??k k +是这类线性估计量中方差最小的无偏估计. 29． 设21,ξξ是取自正态母体()1,μN 的一个容量为2的子样,试证明下列三个估计量都是μ的无偏估计量

2113

132

ξξμ+=

； 2124

341ξξμ+=

； 2132

121ξξμ+=

并指出其中哪一个方差最小. 解: μμ=i E ， 显然。 而2

1,85,95321===μμμD D D 故321,,μμμ均为μ的无偏估计,且3?μ

的方差最小.

30. 设随机变量ξ均匀分布在()θ,0上,321,,ξξξ为取自此母体的一个子样, 试证：

i i i i ξθξθ3123

11min 4,max 34

≤≤≤≤==

都是θ的无偏估计,并指出哪一个方差较小.

解: ()θξ,0~R 可知()()31,ξξ的密度函数为

()()2

32

1313x x x f -=???? ??-?=θθθθθ <

().31

3232

2x x x f θ

θθ=???? ??= θ<

从而 ()().4

3

2

3

1θ

θθξθ

=

-=

?

dx x x E ()θθξθ

4

3

3

30

2

3==

?

dx x E

故21??θθθE E ==， 22

2

15

3?.15?θθθθ==D D 即. 21??θθD D < 1

?θ∴的方差最小. 31. 设k σσ

,,1是参数σ的k 个无偏估计,它们的方差与协方差矩阵为 ()ij

V υσ

σ2

2=， 其中

.,cov ,??

? ??=??? ??=σσσσυσσυj i ij i ij D 证明:

在线性组合类{}

是实数k k k c c c c ,,:~111 σσσ++=中σ的最小方差无偏估计是

∑∑∑∑=====

=k

i k j ij

k

j ij

i i k

i i v v

c c 11

11

,

σσ

, 且最小方差()∑∑===

k i k

j ij

D 11

2

υ

σσ

, 其中ij

υ是矩阵V 的逆矩阵中的

元素.

解: 证:由σσσ

σ=∑==∑

=i i i k

i c E c E ?~1

知.11=∑=i k

i c 而()211

2

1

?,?cov ?~σσσσ

σ

ij ij k

i k

j j i j i i

j i i k

i v c c c D c D ∑∑∑∑

==≠==+= 因此问题变为在

11

=∑

=i k

i c 的条件下，找k c c 1使得ij j i i

j

v c c ∑∑最小.

令().12-∑-=

ψ∑∑

i ij j i i

j

c v c c λ令0=?ψ

?i c 得λ=∑=j i j k

j v c 1

i=1,2,k , 此即有矩阵.I =λVc I =∴-1

V c λ ????? ??=k c c c 1 ????

?

??=I 11 而 11=I I '=I '-V c λ，

故(

)

1

111

1

-==--???

? ??=I

'=∑∑ij k i l j V V I λ， 从而 ()

I I 'I =--11

V V c ， 故 ij

k

i k j ij

k

j i V

V

c ∑∑∑====

11

1 .,,2,1k i =， 此时σ

~的方差是 ()

2

2

1

112

211

~σσσσ

I I 'I

??I '=

?'==---==∑∑

V V V V Vc c v c c D ij j i k i k

j .11

2

12

ij

k i k

j V

V ∑∑==-=

I

I '=

σσ

32. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2

,σμN 的一个子样,试证： ()2

1

211∑=*--=n

i i n

n S

ξξ 是2σ的一致估计.

解: 证 由于

()().1~122

2

*--n S n n

χσ， 故 22

*

σ=n

ES ， ()

()1212142

4

2

*-=-?-=n n n DS

n

σσ. (因为()n 2

χ的期望为n ,方差为2n )

据契比可夫不等式有:(

)[]()012242

2

*

2

2

*??→?-=≤

≥-∞→n n

n n DS S P ε

σεεσ

故2

*

n S 是2

σ的一致估计.

33. 设n

ξξ ,1是取自均匀分布在()θ,0上的母体的一个子样,试证：

()n ξξθ,,max 1

=是θ的一致估计.

证: θ?的密度为()?????=-0

1

n n x n x f θ

其它θ<

+=n n E ()()

22

12?++=n n n D θθ, 则 ()

2

1?1??11???

?? ?

?+-≤??? ??+-≥-≤???

? ??≥+-+-=≥-n D n E P n n n P P θεθθεθθεθθθεθθ =

()().011242

22

??→??

?

?

?

?+-

++∞

→n n n n n θεθ, 故θ?是θ的一致估计.. 34. 设n ξξ,,1 是取自正态母体(

)2

,σ

μN 的一个子样,其中μ为已知,证明

(i) ()2

12

1∑=-=n

i i n

n S μξ是2σ的有效估计;

(ii) ∑=-=n

i i n 1

21μξπσ

是σ的无偏估计,并求其有效率.

证()i 由

()n nS n

2

22

~χσ知, .2

2σ=n ES n

DS n

42

2σ=, 又()2,σμN 的密度函数为

()()2

2

221

σ

μσ

π--

=

x e

x f , 故(

)()2

2

2

22ln 2

1

ln σμπσ

---=x f

对2

σ求导得：

()[]

2

24

221ln σμσ

σ--=??x f 从而()()[]

4

4

22442

221241ln σσμξσμξσσ=+---=??

? ????E f E ()()

42

222

21

ln σσσ

=??-=I L E

或， 故R C -下界为n

n 4

1

4221σσ=??

? ??

?- 。

2

n S ∴ 是2

σ的有效估计.

()ii . 由于()σπ

π

σ

μσ

πμ

ξσμ2

2221

2

22

2

2

=

=

-=

--

∞

--

∞

+∞

-??dy e

y dx e

x E y x i i

故σσ

=?E ， 即σ?是σ的无偏估计. 又 ()[]

2222121122222221?σπσπσπμξμξπμξπσn n E E n D n D i n i -=

??

? ??-=---=-?=∑=而()[]

22

2222

21ln σσμξσσ=??

????--=??? ????E f E

故C —R 下界为n

22

σ， σ

?的有效率为876.022222

=-σπσn

n 。 6.35 设n ξξ,,1 是取自具有下列指数分布的一个子样. ()?????≥=-其它

,00

,1x e x f x

θ

θ

证明ξ∑==n

i i n 1

1ξ是θ的无偏、一致、有效估计。

证: 由于()θθθ

ξθ

=Γ==

-

∞

?

20

dx e x

E x

i ξ∴是θ的无偏估计.

又()222

2

2

23θθθ

ξ=Γ==

-

∞

?

dx e x E x i ， 故2θξ=i D

从而.2

n D θξ=， 而()22

42

11ln θθξθθ=-=??

? ????E f E 故R C -下界为,2

n

θ 因此ξ是θ的有效估计.

另外,由契比可夫不等式()

022

2

??→?=≤≥-∞

→n n D P ε

θεξ

εθξ

所以ξ还是θ的一致估计.

36. 设母体ξ服从珈玛分布,其密度函数为 ()()

??

?

??>Γ=--其它,00,;1

x x e x f x αθααθθ

其中a 为已知常数,设n ξξ,,1 为取自这一母体的一个子样,ξ为子样均值. 设()a

g ξ

θ

θ试证

.1

=

为()θg 的无偏、有效估计.

证 : 由于()θα

αθξαθα=Γ=

-∞

?

dx x e E x 0

， 故θαξ1=???

? ??E 即αξ为()θg 的无偏估计. 又()22

10

θαθααθξθ=???

??-Γ=

+-∞

?

dx x e D n x n 21αθαξn D =???

? ??∴ 再根据密度函数为求得： ().ln 22

2

θαξθαθθ=??

?

???-=??? ????=I E f E

故()θg 的R C -下界为()()().1

2

2αθθθn n g =??

????I ' 即D （

αξ）达到R C -下界, 所以α

ξ

是()θg 的有效估计. 37. 设ξn ξ,,1 为独立同分布随机变量,其分布为二点分布P(i ξ=x) = p x q 1-x

, x=0,1, 其中p+q=1.试证明: 下述统计量都是p 的充分统计量

()n S ξξξ,,,211 = ()n S ξξξξ,,3212 ++= ()n S ξξξξξ,,43213 ++=

, ()n n n S ξξξ,111--++= ()n n S ξξ++= 1 证: n ξξ,,1 的联合分布是()()i

i

x n x n p p x x f ∑-∑-=1,1 1,0=i

x

则取k 1= ()i

i

x

n x p p

∑-∑-1 12=k , 由因子分解定理可知:

n S S S ,,21 均为P 的充分统计量.

38. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量, 都服从

()()10,,2,1,0,1;<<=-=θθθθ x x f x

， 则∑==n

i i n T 1

ξ是θ的充分统计量.

证: 由于n ξξ,,1 的联合密度为()()i

x n n x x f ∑-=θθ1,,1 ,2,1,0=i x

取()

,121i

x n k ??-= 12=k , 则由因子分解定理知, n T 是?的充分统计量.

39. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量,都服从具参数为λ的普哇松分布,则∑==

n

i i

n T 1

ξ

是关于λ的充分

统计量.

证: 由于n ξξ,,1 的联合密度是()λλn i x

n e x x x f i

-∑∏=!

1 2,1,0=i x

取.21λλ

n x e k i

-=, ()1

2!-=i x k π, 则由因子分解定理知 : n T 是充分统计量.

40. 试证:充分统计量T 的一一对应的变换仍是充分统计量.试举出具体例子.

41. 设n ξξ,,1 是取自珈玛分布的一个子样,其密度函数为()()??

?

??>Γ=--其它,00,;1

x x e x f x αθααθθ试证:

()i a 已知时,∑=n

i i 1

ξ是关于θ的充分统计量;

()ii θ已知时,∏=n

i i 1

ξ是关于a 的充分统计量.

42. 设,,1n ξξ 为取自具有三参数威布尔分布的母体的子样,威布尔分布密度函数

()?????≤>=-0,

00

,,,;x x e kx x f x μ

λβμλβ 其中k 为已知常数,λμβ,,是参数,

试证: ()i 当μβ,已知时,

∑=n

i i

1μξ

是关于λ的充分统计量;

()ii 当μλ,已知时,∏=n

i i 1

ξ是关于β的充分统计量.

43. 设n ξξξ,,,21 是来自密度函数为

()∞<<-∞=-x e x f x

,21;θ

θ

θ的母体的子样, 试证:∑==n

i i

n T 1

ξ

是关于θ的充分统计量.

44. 设随机变量ξ服从二项分布()p n b ,,求()p p -1的UMVUE.