线性代数(同济六版)知识点总结

阶行

a

式

11

a

1 2

a

13

对角线法则

a

21

a

2 2

a

23

2.三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则

3.全排列： n 个不同的元素排成一列。 a

31 a

3 2 a

33 a

11a

2 2a

33 a

1 2a

2 3a

31 a

13a

2 1a

32 a

11 a

23a

3 2 a

12a

21a

33 a

1 3a

22a

31

所有排列的种数用 表示， =n ！ 逆序数：对于排列 ? ，如果排在元素 前面，且比 大的元素个数有 个，则 这个元素的逆序数为 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。 n 个元素的所有排列中，奇偶各占 半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

4. a

11 a

12 a

13 a

21 a

2 2 a

2 3 ( 1)

t (j 1j 2j 3)

a 1j 1a 2j 2a

3j 3

其中： 是 1,2,3 的一个排列， a 31 a

2 3 a

33

t （ ）是排列 的逆序数 5. 下三角行列式 : 对角行列式： 6.行列式的λ性质： ①行列 a

11

a 21 a

22 副三角跟副对角相

识 置a 行n1列式a 相n2等 ... .（转a n 置n ： λ1λ2 ... λ

n ） ，行列式变号n

。推论：两行（列） 行变列，列变 式与λ它的转 ②互换行列式的两行（列 λ

n

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一

个数 行） 。D= λ2 λ

1 n （n 1） 相同的行列式值为零（ 。1互）换2

两行λ：1λ

2 λn

λ

n k ，等于用数 k 乘此行列式。第 i 行乘 k ： xk

推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如 第 j 列的 k 倍加到第 i 列上： 7.重要性质 ： 利用行列式的性质 或 ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算 n 阶

（P11 页例 7） 列）展开法则（ 行列式的值。 8.行列式按行 ①重要概念： 余子式：在 n 阶行列式中， 阶行列式叫做 a ij 的余子式，记为 M ij 代数余子式：记 A ij =（?1）i+j

M ij 为元素 a ij 的代数余子式。

②重要性质，定理 1）第 i 行各元素的余子式，代数余子式与第 2）行列式按行（列） 即： D a

i1 A

i1 a

i2 A

i2 a

in A

in 或

D a 1j A 1j a 2j A 2j 推论：行列式某i1一行i1 （列）i2的元i2 素与另一行（列in ）的in 对应元素的代数1余j 子1j 式乘积2之j 和2j

等于零 *** 重要 *** )

把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去 ,剩下的 （n?1）2个元素按原来的排法构 成的 n?1 i 行元素的取值无关。 展开法则 ：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， a

nj

或

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多 0 的行（列），从该行选取一个非 0 元素 a i ，j 并将该行其他元

素 通过性质化为 0，则 D=a ij A ij

9.利用 Cramer 法则 求解 n 个 n 元线性方程组：

①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于 0，则无解

其中 （j=1,2 ?n ）是把系数行列式中的第 j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的 n 阶行列式 即：

②对于齐次线性方程组，如果系数行列式 D ≠ 0，则该方程组只有零解，若 D=0，则存在非零解。

第二章

1.矩阵相关的概念：

矩阵：由 m ×n 个数 （i=1,2, ?,m;j=1,2, ?,n ）排成的 m 行n 列的数表 （是一组数 ）。 行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵

A=B ：矩阵 A 和矩阵 B 为同型矩阵，且对应的元素相等。

零矩阵：所有元素为 0 的矩阵，记为 O ，不同型的零矩阵是不相等的。 对角矩阵：对角线元素为

1,

2

,L ,

n

，其余元素为 0的方阵单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为 0 的方阵，

如果满足 ，即 ，则 A 为反对称阵

4.

方阵的行列式：由 n 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 |A| 或 detA.

2）数与矩阵相乘

a 11 a 12

L a 1n

AA

a 21 a 22 L

a 2n

L

L L

L

a m1

a

m1 L

a

mn

A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律

①

（ ）A （ A ） ，② （ ）A A A ，

③

（A B ） A B

3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；

乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；

即：乘积矩阵的第 i 行，第 j 列元素为前一个矩阵的第 i 行元素与后一个矩阵的第 j 行元素对应相乘再相加。 注意：一般情况下： AB ≠ BA 。但是满足结合律和分配律。

EA=AE=A

4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：

显然：

A k A l A k l , (A k )l

kl

(AB)k A k B k

(A B)2 A 2 2AB B 2 (A B)(A B) A 2 B 2

A 、

B 可交换时才成立

3.矩阵的转置：把矩阵 如： 性质：

A 1

设A 为 n （3阶）方

（阵4，A 如）果T 5满足8A T ; （，4即）

（AB 2）T ， A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作 22 A

T 14 A T

.

2 5 ;

对.称阵

2.矩阵的运算

1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运

算。

性质：① |A T

| |A|，②| A| n

|A|，③|AB | |A||B|

5.伴随矩阵： 其中 是 的代数余子式， A *

称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）

对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。 推论：如果 n 阶方阵 A 、B 可逆，那么 、 、 λA （λ≠ 0）、 AB 也可逆

已知 ，若 AB 可逆，则 （A 在 X 左边，则 必须在 C 左边， B 也如此）

7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称 为对矩阵进行分块 ；

每一个小块称为矩阵的 子块 ；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵 .

分块矩阵的运（其运算与矩阵运算基本一

1）加法：要求矩阵 A 和 B 是同型矩阵，且采用相同的分块法 （即相对应的两个子块也是同型的 ）

2）分块矩阵 A 的转置 ：除了 A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。 则称 A 为分块对角矩阵。 A

1 性质：① | A|=| A 1|| A 2| ?|A s |

1

②若| A s | ≠0，则| A| ≠0，并且 A 1 A=O 的充分必要条件：

第三章

1. ----------------------------------------------- 初等行变换： （运算符号： ） 注意与行列式的运算加以区分

①互换两行，记做 ②第 i 行乘以非 0常数 k ，记做

③第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记做

2.

若矩阵 A 经过有限次初等变换成矩阵 B ，则称 A 与 B 等价，记做

的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ=B

3. 矩阵之间等价关系的性质：

①反身性： ②对称性：若 ，则 ③传递性：若 ， ，则 4.

行阶梯形矩阵：

1) 可画出一条阶梯线， 线的下方全为零；

2)

每个台阶只有一行；

A

11

A

21

L A

n1

6.逆矩阵：对于 A n 阶方阵A A ，如果L 有 n A 阶方阵 B ，注使意得：A 元B=素BA=E ，的则代

称数A 余可子逆，式 是位于 A 12 A 22 L A

n2

A

B 为A 的逆矩阵，记为 。且 A 的逆矩阵是唯一的。

L L L L

的第 j 行第 i 列（类似于转置）

A ≠ 0 L A 可逆A ，且逆矩阵 判断方阵 A 是否A 可1逆n ：

推论：若

≠0，

二阶矩阵的逆矩阵： ：

。此时称 A 为非奇异矩阵。若

，则称 A 为奇异矩阵

主对角线两数对调，副对角线两数反号。 单位矩阵 E 是可逆的

。零矩阵是不可逆的。

用逆矩阵求解线性（

方A 程组：

）

A

(A T

) 1

(A 1)T

,

5）

8.分块对角矩阵：

设A 是 n 阶矩阵，若：

①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，

②其余子块都为零矩阵

③对角线上的子块都是方阵 A 1

A 2

O

A

s

A 21

O A s 1

分块副对角矩阵：

3) 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.

行最简形矩阵：

4) 非零行的首非零元为1;

5) 首非零元所在的列的其它元素都为零.

5. 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 (是可逆的)

1) 单位矩阵对换i，j 行，记作

2) 以常数k≠ 0 乘单位矩阵第i 行(列)，记作

3) 以k 乘单位矩阵第j 行加到第i 行，记作

性质1：左行右列

设A是一个m×n 矩阵，

对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；

对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.

性质2：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2, ?P,l，使A=P1P2?,P l．

推论：方阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E

如果r，则存在可逆矩阵P，使PA=B。? r：即当 A 变换成 B 是时，E变为P(求P)

(A,B)A E B

二、矩阵的秩

1. k 阶子式：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处

的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．

m×n 矩阵 A 的k 阶子式共有个

2. 矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的r 阶子式D，且所有r+1 阶子式(如果存在的话)全等于零，那么D

称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A的秩，记作R(A)。零矩阵的秩等于0。

常用：

1) 对于n 阶方阵A，R(A)=n(称A满秩)? ?A 可逆

2) 若，则R(A)=R(B)求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵

3) 对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数

4)

5)若P、Q 可逆，则R(PAQ)=R(A)(∵)

即：可逆矩阵与任何矩阵A相乘，都不会改变所乘矩阵 A 的秩

6) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)

当B=b 为非零列向量时，R(A)≤R(A,B) ≤R(A)+１

7)R(A+B)≤R(A)+R(B) 8)R(AB) ≤ minR{(A),R(B)}

3.

线性方程组的解

n 元非齐次线性方程组

---P75 页例 13P79 页 17 题

1)无解 ? 2)有解 ?

n 元齐次线性方程组 有非

零

第四章

一、向量组及线性组合

1. n 维向量： n 个有次序的数 a 1,a 2, ?,a n 所组成的数组。这 n 个数称为该向量的 n 个分量， 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量．

2. 向量组 ：若干个 同维数 的列向量(行向量)所组成的集合

3. 给定向量组 A ： a 1,a 2, ?,a m ，对于任何一组实数 k 1,k 2, ?,k m ，表达式 k 1a 1+k 2a 2+?+k m a m

称为向量组 A 的一个 线性组合 。k 1,k 2, ?k ,m 称为这个线性组合的系数．

4.

给定向量组 A ：a 1,a 2, ?,a m 和向量 b ，如果存在一组实数 l 1,l 2, ?,l m ，使得 b=l 1a 1+l 2a 2+?+l m a m

则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 向量 b 能由向量组 A 的线性表示． 向量 b 能由向量组 A 的线性表示 ?R(A)=R(A,b) ?方程组 x 1a 1+x 2a 2+?+x m a m = b 有解

5.

设有向量组 A ：a 1,a 2,?,a m 及 B ： b 1,b 2, ?,b l ，若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称 向量

组 B 能由向量组 A 线性表示 ．若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这 两个向量组等价 两个向量组等价 ?R(A)=R(B)=R(A,B)

6.

向量组 B 能由向量组 A 线性表示 ?存在矩阵 K ，使 B=AK? 矩阵方程 AX=B 有

解 ?R(A)=R(A,B)? R(B) ≤ R(A () 这是必要条件)

二、向量组的线性相关性

1. 给定向量组 A ： a 1,a 2, ?,a m ，如果 存在不全为零 的实数 k 1,k 2, ?,k m ，使得 k 1a 1+k 2a 2+?+k m a m =0(零向量) 则称向量组 A 是线性相关 的，否则称它是 线性无关 的．

2.

只含一个向量 a 的向量组 A ，当 a=0时， A 线性相关 ；a ≠0时，A 线性无关 只含两个向量 a 1,a 2 的向量组 A ，线

性相关 ?a 1,a 2的分量对应成比例 。

向量组 A ：a 1,a 2, ?,a m (m ≥2)线性相关 ?向量组 A 中至少存在一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示。

3. 向量组 A 线性 相关 ?m 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解 ?R(A)

向量组 A 线性 无关 ?m 元齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 ?R (A )= m

4. n 维单位坐标向量组 E ： e 1,e 2, ? ,e n ，是线性无关 的，且是最大的线性无关组之一。 维单位坐标向量组 E ：

e 1,e 2, ? ,e n 能由向量组 A ：a 1,a 2, ?,a m 线性表示 ?.R(A)= n

5.

定理

1)若向量组 A ：a 1,a 2, ?a ,m 线性相关，则向量组 B ：a 1,a 2, ?a ,m ,a m+1也线性相关． 其逆否命题也成立，即若向量

组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关．

2) m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关． 特别地， n+1 个 n 维向量一定

线性相关．

3)

设向量组 A ：a 1,a 2, ?a ,m 线性无关，而向量组 B ：a 1,a 2, ?a ,m ,b 线性相关， 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的

三、向量组的秩

1.

设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量 a 1,a 2, ?a ,r ，满足

①向量组 A 0： a 1,a 2, ?a ,r 线性无关；

②向量组 A 中任意 r+1 个向量(如果 A 中有 r+1 个向量的话)都线性相关； 那么称向量组 A 0是向量组 A 的一个 最大线性无关向量组，简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作 R A 。 R A ≤向量组 A 中向量的个数

①有唯一解 ?

解

②有

?R 无(限

A )

解

n ?

只含零向量的向量组没有最大无关组，秩 =0。

2.

向量组 A 和它自己的最大无关组 A 0 是等价

的． 推论：向量组 A 0线性无关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A 0线性表示；

那么称向量组 A 0是向量组 A 的一个最大无关组．

3. 全体 n 维向量构成的向量组记作 R n ，向量组 E 是 R n 的一个最大无关组，且 R n 的秩等于 n

4. 矩阵的秩等于它的列(行)向量组的秩．

5.

矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。

如：向量组 A ：a 1,a 2,a 3,a 4,a 5，假设 A 0：a 1，a 2，a 4 是一个最大无关组，把 a 3,a 5 用 a 1，a 2，a 4 线性表示：

为方程组的 解向量

2.

性质：若

x= 1，x= 2是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 x= 1+ 2还是 Ax=0 的解

21

若 x= 是齐次线性方程组 Ax=0 的解， k 为实数，则 x=k 还是 Ax=0 的解

M

3. 把 Ax=0 的全体解组成的集合记作 S ，若求得 S 的一个最大无关组 S 0：x= 1,x= 2,...,x= t ， 那么 Ax=0 的 通解 可表示为 x=k 1 1+k 2 2+?+k t t ．

n1

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系 (不唯一)．

4. 设 m ×n 矩阵的秩 R(A)=r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的解集 S 的秩 R S =n?r 即： Ax=0 的解集 S 的秩等于未知数的个数减去系数矩阵的秩

5. 设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 R(A)=R(B) 设 A m ×n B n ×l =O (零矩阵)，则 R(A)+R(B) ≤n ．

6.

非齐次方程组的解的性质：

①若 x= 1， x= 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则 x= 1? 2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0(导出组)的解． ②若 x= 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解， x= 是导出组 Ax=0 的解，则 x= + 还是 Ax=b 的解．

7.若 x= 是 Ax=b 的一个特解， Ax=0 的通解为 =c 1 +c 2 +? +c n-r n-r

于是： Ax=b 的通解为 =c 1 +c 2 +? +c n-r n-r +

即：非齐通 =齐通 +非齐特特解：没有线性相关要求，只要是解就可以

2 1 1 1 2 1 0

四、线性方程组的解的结构

1 1

2 1 4 r 0 1 A~ 4 6 2 2 4 0 0 1.

设有齐次线性方程组 Ax= 0 ，

如果

3 6 9 7 9 0 0

1 0 4 1 0 3 x 1 1 =0 3 ，