九年级数学上册第2课时圆锥的侧面积和全面积
九年级数学上册第2课时圆锥的侧面积和
全面积
一﹨课前预习 〖5分钟训练〗
1.圆锥的底面积为25π,母线长为13 cm,这个圆锥的底面圆的半径为________ cm,高为________ cm,侧面积为________ cm
2. 2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm 的正三角形,则这个圆锥的侧面积为________ cm 2,锥角为_________,高为________ cm.
3.已知Rt △ABC 的两直角边AC=5 cm,BC=12 cm,则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________ cm 2,这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ cm,面积为_________ cm 2.
4.如图24-4-2-1,已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的全面积为__________.
图24-4-2-1 图24-4-2-2
二﹨课中强化〖10分钟训练〗
1.粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径是4 m,母线长为3 m,为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡,那么这块油毡的面积至少为〖 〗
A.6 m 2 B .6π m 2 C.12 m 2 D .12π m 2
2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆,则圆锥的高为〖 〗
A.a
B. 33a
C.3a
D.23a 3.用一张半径为9 cm ﹨圆心角为120°的扇形纸片,做成一个圆锥形冰淇淋的侧面〖不计接缝〗,那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.
4.如图24-4-2-2,已知圆锥的母线长OA=8,地面圆的半径r=2.若一只小虫从A 点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点,则小虫爬行的最短路线的长是______〖结果保留根式〗.
5.一个圆锥的高为33 cm,侧面展开图是半圆,
求：〖1〗圆锥母线与底面半径的比；〖2〗锥角的大小；〖3〗圆锥的全面积.
三﹨课后巩固〖30分钟训练〗
1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为4 cm,则它的侧面积为_________ cm2〖结果保留π〗.
2.如图24-4-2-3,有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6 m的正三角形ABC,母线AC的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠,则小猫经过的最短路程是___________ m.〖结果不取近似数〗
图24-4-2-3 图24-4-2-4
3.若圆锥的底面直径为6 cm,母线长为5 cm,则它的侧面积为___________.〖结果保留π〗
4.在Rt△ABC中,已知AB=6,AC=8,∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S2.那么S1∶S2等于〖〗
A.2∶3
B.3∶4
C.4∶9
D.5∶12
5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,则围成这个灯罩的铁皮的面
积为____________ cm2〖不考虑接缝等因素,计算结果用π表示〗.
6.制作一个底面直径为30 cm﹨高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为〖〗
A.1 425π cm2
B.1 650π cm2
C.2 100π cm2
D.2 625π cm2
7.在半径为27 m的广场中央,点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆锥形,其轴截面SAB的顶角为120°〖如图24-4-2-5〗,求光源离地面的垂直高度SO.〖精确到0.1 m；2=1.414,3=1.732,5=2.236,以上数据供参考〗
参考答案
一﹨课前预习 〖5分钟训练〗
1.圆锥的底面积为25π,母线长为13 cm,这个圆锥的底面圆的半径为________ cm,高为________ cm,侧面积为________ cm
2.
思路解析：圆的面积为S=πr 2,所以r=ππ25=5〖cm 〗；圆锥的高为22513-=12〖cm 〗；
侧面积为2
1×10π·13=65π〖cm 2〗. 答案：5 12 65π
2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm 的正三角形,则这个圆锥的侧面积为________ cm 2,锥角为_________,高为________ cm.
思路解析：S 侧面积=2
1×10π×10=50π〖cm 2〗；锥角为正三角形的内角,高为正三角形的高. 答案：50π 60° 53
3.已知Rt △ABC 的两直角边AC=5 cm,BC=12 cm,则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ cm 2,这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm,面积为___________ cm 2. 思路解析：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm,高为12 cm,母线长为13 cm.利用公式计算.
答案：65π 10π 65π
4.如图24-4-2-1,已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的全面积为__________.
图24-4-2-1
思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.
答案：16π
二﹨课中强化〖10分钟训练〗
1.粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径是4 m,母线长为3 m,为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡,那么这块油毡的面积至少为〖 〗
A.6 m 2 B .6π m 2 C.12 m 2 D .12π m 2
思路解析：侧面积=21底面直径·π·母线长=21×4×π×3=6π〖m 2〗. 答案：B
2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆,则圆锥的高为〖 〗
A.a
B. 3
3a C.3a D.23a 思路解析：展开图的弧长是aπ,故底面半径是
2
a ,这时母线长﹨底面半径和高构成直角三角形.
答案：D 3.用一张半径为9 cm ﹨圆心角为120°的扇形纸片,做成一个圆锥形冰淇淋的侧面〖不计接缝〗,那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.
思路解析：扇形的弧长为
180
9120??π =6π〖cm 〗,所以圆锥底面圆的半径为ππ26=3〖cm 〗. 答案：3
4.如图24-4-2-2,已知圆锥的母线长OA=8,地面圆的半径r=2.若一只小虫从A 点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点,则小虫爬行的最短路线的长是_________〖结果保留根式〗.
图24-4-2-2
思路解析：如图,圆锥的侧面展开图是扇形,它的圆心角是π
π818022??? =90°,连结AB,则△AOB 是等腰直角三角形,OA=OB=8,所以AB=2288+=82.
答案：82
5.一个圆锥的高为33 cm,侧面展开图是半圆,
求：〖1〗圆锥母线与底面半径的比；
〖2〗锥角的大小；
〖3〗圆锥的全面积.
思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径,底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径,就可由扇形面积公式求侧面积,底面积加侧面积就得圆锥全面积.
解：如图,AO 为圆锥的高,经过AO 的截面是等腰△ABC,则AB 为圆锥母线l,BO 为底面半径r.
〖1〗因圆锥的侧面展开图是半圆,所以2πr=πl ,则r l =2. 〖2〗因r
l =2,则有AB=2OB,∠BAO=30°,所以∠BAC=60°,即锥角为60°. 〖3〗因圆锥的母线l,高h 和底面半径r 构成直角三角形,所以l 2=h 2＋r 2；又l=2r,h=33 cm,则r=3 cm,l=6 cm.
所以S 表=S 侧＋S 底=πrl ＋πr 2=3·6π＋32π=27π〖cm 2〗.
三﹨课后巩固〖30分钟训练〗
1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为4 cm,则它的侧面积为_________ cm 2〖结果保留π〗.
思路解析：S 圆锥侧=
21×2×π×2
1×4×4=8π. 答案：8π
2.如图24-4-2-3,有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6 m 的正三角形ABC,母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠,则小猫经过的最短路程是___________ m.〖结果不取近似数〗
图24-4-2-3
思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB 〖如图〗.
则扇形的圆心角为66180???ππ=180°,因为P 在AC 的中点上, 所以∠PAB=90°.在Rt △PAB 中,PA=3,AB=6,
则PB=2236+=35.
答案：35
3.若圆锥的底面直径为6 cm,母线长为5 cm,则它的侧面积为___________.〖结果保留π〗
思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.
设圆锥底面半径为r,母线为l,则r=3 cm,l=5 cm,∴S 侧=πr·l=π×3×5=15π〖cm 2〗.
答案：15π cm 2
4.在Rt △ABC 中,已知AB=6,AC=8,∠A=90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S 2.那么S 1∶S 2等于〖 〗
A.2∶3
B.3∶4
C.4∶9
D.5∶12
思路解析：根据题意分别计算出S 1和S 2即得答案.在求S 1和S 2时,应分清圆锥侧面展开图〖扇形〗的半径是斜边BC,弧长是以AB 〖或AC 〗为半径的圆的周长.
∵∠A=90°,AC=8,AB=6,∴BC=22AB AC +=2268+=10.
当以AC 为轴时,AB 为底面半径,S 1=S 侧＋S 底=πAB·BC ＋πAB 2=π×6×10＋π×36=96π. 当以AB 为轴时,AC 为底面半径,S 2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π.
∴S 1∶S 2=96π∶144π=2∶3,故选A.
答案:A
5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm 2〖不考虑接缝等因素,计算结果用π表示〗.
图24-4-2-4
思路解析：由题意知：S 侧面积=21×30π×20=300π〖cm 2〗. 答案：300π
6.制作一个底面直径为30 cm ﹨高为40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为〖 〗
A .1 425π cm 2
B .1 650π cm 2
C .2 100π cm 2
D .2 625π cm 2
思路解析:由题意知S 铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1 425π.
答案:A
7.在半径为27 m 的广场中央,点O 的上空安装了一个照明光源S,S 射向地面的光束呈圆锥形,其轴截面SAB 的顶角为120°〖如图24-4-2-5〗,求光源离地面的垂直高度SO.〖精确到0.1 m ；2=1.414,3=1.732,5=2.236,以上数据供参考〗
图24-4-2-5
思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题.
解：在△SAB 中,SA=SB,∠ASB=120°.
∵SO ⊥AB,∴O 为AB 的中点,且∠ASO=∠BSO=60°,∠SAO=30°.
在Rt △ASO 中,OA=27 m,设SO=x,则AS=2x,∴272+x 2=〖2x 〗2.∴x=93≈15.6〖m 〗. 答：光源离地面的垂直高度SO 为15.6 m.