2021届山东省实验中学高三第一次诊断性考试数学(理)试题Word版含答案
2021届山东省实验中学高三第一次诊断性考试 数学（理）试题 说明：本试卷满分l50分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第l页至第3页，第II卷为第3页至第5页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．
第I卷 (共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合234005AxxxBxxAB，，则
A．0,4 B．0,4 C．15， D．15，
2．已知1213,3zizi，其中i是虚数单位，则12zz的虚部为 A．1 B. 45 C．i D．45i 3.在602,6ABCABCABBCBC中，，，在上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为 A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 4．在等比数列na中，13282,81nnaaaa，且前n项和121nS，则此数列的项数n等于 A．4 B．5 C．6 D．7
5．421xxx的展开式中x的系数是 A. 1 B. 3 C. 3 D. 1 6．将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为的展开式中x的系数是
A. 16163 B. 32163
C. 1683 D. 3283 7．设偶函数0fx在，上单调递增，则使得21fxfx成立的x的取值范围是
A．1,13 B．1,1,3 C. 11,33 D.
11,,33
8．下图是一个算法流程图，则输出的x的值是 A．37 B．42 C．59 D．65 9．已知曲线12:2cos,:3sin2cos2CyxCyxx，则下面结论正确的是 A．把1C各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线向右平移23个单位长度，得到曲线C2 B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至3个单位长度，得到曲线C2 C．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23个单位长度，得到曲线C2 D．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个单位长度，得到曲线C2 10．过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若3=AFBF，则
A．52 B．2 C．32 D．12 11．已知函数42xxfxm，若存在非零实数0x，使得00fxfx成立，则实数m的取值范围是
A．1,2 B．10,2 C. 0,2 D. 2,
12.一个二元码是由0和1组成的数字串12,nxxxnN，其中1,2,3kxkn称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0.
已知某种二元码127xxx的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,xxxxxxxxxxxx其中运算定义为000,01,101,110.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 A.3 B.4 C.5 D.6
第II卷(非选择题，共90分) 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．已知向量1,1,2,abyababy，若，则___________
l4．已知,xy满足,4,22.yxxyzxyxyk若有最大值8，则实数k的值为___________. l5．在三棱锥PABC中，26,4,PAPBPCACABACAB且，则该三棱锥外接球的表面积为________
16．已知抛物线24yx的准线与双曲线22221,0xyabab交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是__________．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)
17．(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,,2sin3sin.abcbcBA，且 (1)求cosB的值； (2)若2aABC，求的面积． 18．(12分) 在三棱柱111ABCABC，侧面11ABBA为矩形，
112,22,ABAADAA是中点，BD与1AB交于点O，且OC平面
11ABBA.
（1）证明：平面1ABC平面BCD； （2）若1,OCOAABC的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.
19．(12分)某公司每个工作日由位于市区的总公司向位于郊区的分公司开一个来回的班车（每年按200个工作日计算），现有两种使用班车的方案，方案一是购买一辆大巴，需花费90万元，报废期为10年，车辆平均每年的各种费用合计5万元，司机年工资6万元，司机每天请假的概率为0.1（每年请假时间不超过15天不扣工资，超过15天每天100元），若司机请假则需从公交公司雇佣司机，每天支付300元工资.方案二是租用公交公司的车辆（含司机），根据调研每年12个月的车辆需求指数如直方图所示，其中当某月车辆需求指数在212,1,2,3,4,51010nnn
时，月租金为10.2n万元. （1）若购买大巴，设司机每年请假天数为x，求公司因司机请假而增加的花费y（元）及使用班车年平均花费（万元）的数学期望E. （2）试用调研数据，给出公司使用班车的建议，使得年平均花费最少.
20．(12分)已知椭圆2222:10xyEabab的左，右焦点分别为12FF，离心率12e，过点2F的直线交椭圆于A，B两点，且1ABF的周长为8． （1）求椭圆E的标准方程；
（2）过原点的直线与交椭圆E于M，N两点，且满足AB//MN，求证2MNAB为定值，并求出该定值．
21．(12分)已知函数ln1fxxkx. （1）函数函数fx在点2,2f处的切线与210xy平行，求k的值； （2）若0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：111,2nnnnenNnn． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4，坐标系与参数方程】(10分)
已知曲线1C的极坐标方程为6cos，曲线2C的极坐标方程为4R，曲线12CC、相交于点A；B． (1)将曲线12CC、的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB的长． 23．【选修4—5：不等式选讲】(10分) 已知函数21fxxax． (1)当1a时，解不等式2fx；
(2)求证：12fxa． 2021届山东省实验中学高三第一次诊断性考试 数学（理）试题参考答案 一、选择题 DBABBD ACDCBC
二、填空题
13．3 14．4 15．36 16．(5,+∞) 三、解答题 17. 解：⑴因为2sin3sinBA，所以23ba．…………………………………2分
所以23ba．…………………………………………………………………………3分
所以2222222()33cos22323bbbacbBbacb…………………………………6分 ⑵因为2a，所以3bc．…………………………………………………………8分 又因为3cos3B，所以6sin3B．…………………………………………………10分
所以2363221sin21BacSABC………………………………………12分 18. 解：⑴11AABB为矩形，2AB，221AA，D是1AA的中点， 90BAD，901ABB，221BB，2211AAAD
22tanABADABD，22tan11BBABBAB
BABABD1…………………………………………………………2分
2111BABABDBABBAB
2AOB，即BDAB1……………………………………4分
CO平面11AABB，1AB平面11AABB COAB1
又OCOBD，
1AB平面BCD
1AB平面CAB1
平面CAB1平面BCD………………………6分
⑵如图，以O为坐标原点，OCOBOD,,1所在直线为zyx,,轴建立空间直角坐标系。
1//BBAD，OBBAOD`1~
211ADBBODOBOA
OB
又32211211BAAAAB， 622ABADBD
334,332,36,3
62
1OBOAODOB
0,332,0A，
0,0,36,332,0,0,0,0,362DCB
G为CAB1的重心，932,932,0G
932,932,36GD………………………8分
设平面ABC的一个法向量为zyxn,, 0,332,362AB，
332,332,0AC
由00ACnABn得03323320362zyyx002zyyx
山东实验中学2021高三数学第三次诊断性考试(解析版)
2021届山东省某实验中学高三第三次诊断性考试数学试题一、单选题1．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】A【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,31ii-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --==-+-， ()22312341i i i i -⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭．故选A. 【解析】复数的除法运算．【详解】2．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{}10x x -≤< B ．{}01x x <≤C ．{}02x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤【答案】B【详解】:1213A x -≤+≤，解得：11x -≤≤ 所以集合{}11A x x =-≤≤，2:0x B x-≤，解得：02x <≤ 所以集合{}02B x x =<≤ 所以{}01A B x x ⋂=<≤ 故选B 项.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【答案】D【解析】【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【解析】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】利用()()2f x f x +=-，得到3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】()()2f x f x +=-， 则333122222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 奇函数()f x 在[]0,1上为减函数，()f x ∴在[]1,1-上为减函数，11111244>>>->-， 111244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.5．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高，可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =,由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+,又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．已知数列{}n a ，2sin 2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ）A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-【答案】B【分析】由题意结合三角函数的性质可得20k a =、22121(21)sin2k k a k π--=-，再由并项求和、等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】由题意知， 当*2,n k k N =∈时，22(2)sin 0k a k k π==；当*21,n k k N =-∈时，22121(21)sin2k k a k π--=-， 所以数列{}n a 的前100项和222221001231001359913579799S a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+=-+-+⋯+-(13)(13)(57)(57)(9799)(9799)=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+50492(13579799)250250002⨯⎛⎫=-⨯++++⋯++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求解能力，属于中档题.7．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．312+ D ．512+ 【答案】D【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为b c -,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.【详解】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b bk c c-==--， ∵直线FB 与直线by x a=互相垂直，1b b c a ∴-⨯=-,2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=, 15e ±∴=双曲线的离心率e ＞1， ∴51+,故选D. 【解析】双曲线的简单性质8．已知函数()2ln f x x x =-和()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是A ．(],1ln 2-∞-B ．[)0,1ln 2-C ．(]1ln1,1ln 2-+D ．[)1ln 2,++∞【答案】D【详解】由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程222lnx x x m x-=--+有解，即2m lnx x =+有解．设()()20h x lnx x x =+>,则()22122x h x x x x-'=-=，∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1. ∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞). ∴m 的取值范围是[1+ln2,+∞). 本题选择D 选项. 二、多选题9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好 【答案】ABD【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可【详解】对于A ，这12天中，空气质量为“优良”的AQI 指数值95，85，77，67，72，92，共6天，所以A 正确， 对于B ，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，所以B 正确， 对于C ，这12天的AQI 指数值的中位数为9510499.52+=，所以C 错误， 对于D ，从4日到9日，AQI 指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D 正确， 故选：ABD10．设函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象过点()0,1；B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12π；D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象． 【答案】AC【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈，因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当0x =时，()02sin 16f π==，()f x 的图象过点()0,1，所以A 正确；对于B ，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以B 错误；对于C ，令2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以C 正确；对于D ，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以D 错误. 故选：AC.11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A B ．侧棱与底面所成的角为4πC D ．侧棱与底面所成的角为3π【答案】AB【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a=所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a a ⋅⋅+=++令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =2，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.12．设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点12n P P P ⋯⋯，，，的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点． 则下列结论正确的是（ ）A ．若三个点,,ABC 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B CD 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 【答案】AD【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.【详解】解：对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的中位点，故A 正确；对于B ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7， ∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故B 错误；对于C ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，如B ，C 三等分AD ，设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错误；对于D ，如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点,O M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故D 正确．故选：AD. 三、填空题13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________； 【答案】2±【解析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故22AB OA ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离22212d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.()221211aa =⇒=±+-故答案为：2±【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14．O 为坐标原点，F 为抛物线2C y 42x ：=的焦点，P 为C 上一点，若PF 42=POF 的面积______． 【答案】23【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标F 2（，），设P m n （，），根据PF 42=P 点坐标，再由POF 的面积为1S OF n 2=⨯，即可求出结果. 【详解】抛物线C 的方程为2y 42x =， 2p 2∴=22p=，得焦点F 2（，） 设P m n （，）,根据抛物线的定义，得pPF m 422=+= 即m 242=m 32=点P 在抛物线C 上，得2×2n 26∴=±,OF 2=POF∴的面积为1S OF n232=⨯=．故答案为23．【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA=种方法，则由乘法原理得131236C⨯=种方法．故答案为：36．【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =______________． 【答案】4【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时1()0f x x a⇒'==① 111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡--⎢⎣和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减． 所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{411()120f a a f a a-=-+≥≥⇒⇒==-≥ ② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件：①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】(1)12n na(2)()()3234212n n n +-++ 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选②时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选③时，再写出()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. (1)若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选②，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选③，由121111222n n n nn a a a a +-+++=， 可知()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n na n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；(2)由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=-⎪++++⎝⎭ 18．如图，,,a b c 分别为△ABC 中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点，23BD DC =，1,cos 37ABC ADC π∠=∠=， 8c =．(1)求a 的值；(2)求ADC 的外接圆的半径R ． 【答案】(1)5 493【分析】（1）根据两角差正弦公式可得()sin sin BAD ADC ABC ∠=∠-∠，进而在ABD △中，利用正弦定理得到BD ，从而可得结果；（2）在ABC 中利用余弦定理得到b ，再在ADC 中利用正弦定理得到结果. (1)∵1cos 7ADC ∠=，∴43sin sin ADC ADB ∠=∠= ∴()4311333sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=， 在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠， ∵23BD DC =， ∴2DC =∴325a =+=； (2)在ABC 中，222cos 7b a c ac ABC +-∠=． 在ADC 中，14932sin b R ADC =⋅=∠19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为433的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，233EF =.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2)313【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且1232OH AB ==又//EF AB ，23EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，23B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ， 所以23(2,BC =-，(3,0,1)CQ =， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3,3)m =--， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ， 则313cos 1139m nm n θ⋅-===⨯++因为二面角Q BC A --的平面角为锐角， 所以二面角Q BC A --313【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg 时按1kg 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)100,400的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？ （注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表） 【答案】（1）48125； （2）公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元； （3）公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【解析】（1）根据样本中包裹件数在[)100,400内的天数，得到频率，再根据未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布求解.（2）根据重量统计和收费标准，列出样本中快递费用X 的分布列，再求期望.（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，根据公司随机抽取60天的揽件数的频数分布表分别列出分布列，求期望再减去员工的费用比较.【详解】（1）样本中包裹件数在[)100,400内的天数为48，频率为484605=， 可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布，即43,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125P C⎛⎫==⎪⎝⎭；（2）样本中快递费用X的分布列如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1(104315302015258304)15 100x=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【点睛】本题主要考查二项分布，离散型随机变量的分布列的期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．设函数()ln m f x x x=+， R m ∈．(1)当1m =时，求函数()f x 的极值； (2)若函数()()3xg x f x '=-有两个零点，求实数m 取值范围； (3)若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)极小值1；无极大值； (2)203m <<； (3)1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由题可求()f x '，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；（2）令()0g x =可得()3103m x x x =-+>，令()31()03x x x x ϕ=-+>，求()x ϕ'，判断单调性求得最值，即可求解；（3）不等式可转化为()()f b b f a a -<-，构造函数()()h x f x x =-，可得()h x 在()0,∞+上单调递减，即()2110mh x x x'=--≤在()0,∞+上恒成立，分离m 转化为最值问题即可求解. (1) 因为()()210x f x x x -'=> 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；所以当1x =时，()f x 取得极小值()11ln111f =+=，无极大值.(2)由题可得()()()21033x m xg x f x x x x '=-=-->， 令()0g x =，得()3103m x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，则()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+．所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ'在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减；所以()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=，又()00ϕ=，()360ϕ=-<，可知：当203m <<时，函数()g x 有2个零点， 即实数m 取值范围为203m <<. (3)原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立， 令()()()ln 0mh x f x x x x x x=-=+->， 则等价于()h x 在()0,∞+上单调递减，()2110mh x x x '=--≤在()0,∞+恒成立, 所以()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立，又22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以14m ≥， 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；(3)已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．【答案】(1)22143x y += (2)[]0,12 (3)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数a b 、，即可得到椭圆的标准方程；（2）把条件1PF PA ⋅转化成关于P 的横坐标0x 的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可； （3）把条件2AH MH HN =⋅转化成AM AN ⊥，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数k m 、关系后，即可求得直线l 所过定点. (1)由已知()322a c a c c+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =，则b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． (2)设()00,P x y ，则2200143x y +=，又()2,0A -，()11,0F -． ∴()()22100000112354PF PA x x y x x ⋅=----+=++． 由于()00,P x y 在椭圆C 上，∴022x -≤≤． 由()21354f x x x =++在区间[]22-,上单调递增，可知 当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12． 故1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12 (3)由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则=AM ()112,x y +，=AN ()222,x y +122834km x x k -+=+ ， 212241234m x x k -=+．由0∆>得2243k m +>．2AH MH HN =⋅，即2AH MH NH =，可得AM AN ⊥，则()()11222,2,0x y x y ++=， 即()()()121212240x x x x kx m kx m ++++++=第21页 ()()22222412812403434m km k km m k k --+++++=++ 化简得2241670k km m -+=． ∴12k m =或72k m =，均适合2243k m +>． 当12k m =时，直线过A ，舍去； 当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故直线l 恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．。
山东省实验中学高三数学第一次诊断性考试试题 文(含解析)新人教A版
山东师大附中2015届高三第一次模拟考试试题数学（文史类）第I 卷（共50分）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.已知集合{}{}20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则A.{}0B.{}0x x < C.{}3x x 0<<D.{}1,2【知识点】一元二次不等式的解法；集合运算. A1 E3 【答案解析】D 解析：{}|03N x x =<<，所以{}1,2M N ⋂=,故选D.【思路点拨】化简集合N ，求得{}1,2M N ⋂=.【题文】2.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a 等于A.2B.12C.12-D.2-【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】A 解析：由()()12ai i ++=()()221a a i -++是纯虚数得：21020a a +≠⎧⎨-=⎩，解得a=2，故选A.【思路点拨】化简已知复数，利用复数是纯虚数的条件求得a 值. 【题文】3.“1m =”是“函数()266f x x mx =-+在区间(],3-∞上为减函数”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 【知识点】函数的单调性. B3 【答案解析】B 解析：函数()266f x x mx =-+在区间(],3-∞上为减函数的充要条件是：33m ≥，即[)1,m ∈+∞.又{}1是[)1,+∞的真子集，所以“1m =”是“函数()266f x x mx =-+在区间(],3-∞上为减函数”的充分不必要条件，故选B.【思路点拨】根据集合关系，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件.【题文】4.已知函数()()()1,0,11,0.xx x f x f f a x -≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a 的值等于A.1B.2C.3D.4【知识点】函数值的意义. B1【答案解析】B 解析：因为()1,0,0xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩，所以()()11f f =-为:()1112a =--=,即a=1.故选B.【思路点拨】由函数值的意义得关于a 的方程即可.【题文】5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系. G4 G5【答案解析】D 解析：根据线面垂直的定义、平行线的性质、线面垂直的判定得①正确； 由线面垂直的性质、面面平行的判定定理得②正确；因为,m n m α⊥P 。
山东省实验中学2022届高三第一次诊断性考试物理试卷 Word版含答案
山东省试验中学2021～2022学年第一学期高三物理试题 2021.9(第一次诊断性检测)说明：本试卷满分100分。
试题分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第5页，第II卷为第5页至第7页。
试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。
书写在试题上的答案无效。
考试时间90分钟。
第I卷 (共50分)一、单项选择题(本题包括10小题，每小题只有一个选项正确，每小题3分，共30分。
)1．对于体育竞赛的论述，下列说法正确的是 ( )A．运动员跑完800m竞赛，指的是路程大小为800mB．运动员铅球成果为4.50m，指的是位移大小为4.50mC．某场篮球竞赛打了两个加时赛，共需10min，指的是时刻D．足球竞赛挑边时，上抛的硬币落回地面猜想正反面，该硬币可以看成质点2．科学家关于物体运动的争辩对树立正确的自然观具有重要作用，下列说法符合历史事实的是 ( ) A．伽利略通过“抱负试验”得出结论：一旦物体具有某一速度，假如它不受力，它将以这一速度永久运动下去B．亚里士多德指出：假如运动中的物体没有受到力的作用，它将连续以同一速度沿同始终线运动，既不停下也不偏离原来的方向C．亚里士多德认为，必需有力作用在物体上，物体的运动状态才会转变D．笛卡儿认为，物体具有保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质3．假如一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律，若一个系统动量守恒时，则 ( )A．此系统内每个物体所受的合力肯定都为零B．此系统内每个物体的动量大小不行能都增加C．此系统的机械能肯定守恒D．此系统的机械能可能增加4．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离x随时间t变化的关系为x=(5+2t3)m，它的速度随时间t变化的关系为v=6t2m／s，该质点在t=0到t=2s间的平均速度和t=2s到，t=3s间的平均速度的大小分别为( )A．12m/s，39m/s B．8m/s，38m/sC．12m/s，19.5m/s D．8m/s，13m/s5．如右图，将于电筒竖直向上放置，接通电源开关，旋松后盖使小电珠恰能点亮，手持电筒并保持它在竖直方向运动，要使得小电珠熄灭，可以( )A．缓慢向上匀速运动 B．缓慢向下匀速运动C．突然向上加速运动 D．突然向下加速运动6．北京时间2012年10月，我国第16颗北斗导航卫星放射成功，它是一颗地球静止轨道卫星(即地球同步卫星)，现已与先期放射的15颗北斗导航卫星组网运行并形成区域服务力量。
专题02 函数(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(解析版)
一．基础题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，11】已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1()4f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．【答案】19考点：分段函数求值2.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，4】已知函数()221,1,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩，若()()04f f a =，则实数a 等于（ ） A ．12 B ．45C ．2D ．9 【答案】C 【解析】 试题分析：()()0(2)4242ff f a a a ==+=⇒=，选C.考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.3.【江西南昌市2017届摸底考试，8】若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．(2)(5)f f >C ．(3)(5)f f >D ．(3)(6)f f > 【答案】D考点：函数性质4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，9】定义在R 上的函数()f x 满足在区间[)1,1-上,(),102,015x m x f x x x --≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩, 其中m R ∈,若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f m =（ ） A ．85- B ．25- C ．35 D ．75【答案】B 【解析】试题分析：因为()()11 2.f x f x T +=-⇒=所以59111213()()||22222525f f f f m m ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-=--⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()325(3)(1)1.55f m f f =-=-=-+=-选B. 考点：分段函数性质5.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，6】“2log (23)1x -<”是“48x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为2log (23)1x -<，所以3522x <<，又因为48x >，所以32x > ，所以3522x <<⇒32x >．即“2log (23)1x -<”是“48x >”的充分不必要条件，故选A. 考点：1、对数函数的性质及指数函数的性质；2、充分条件与必要条件.6.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，6】函数21()log (12)1f x x x =-++的定义域为（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,)2-∞ C ．1(1,0)(0,)2- D ．1(,1)(1,)2-∞-- 【答案】D考点：1、函数的定义域；2、对数函数的.7.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，3】下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．cos y x =B ．21y x =-+ C ．2log ||y x = D ．xx y e e -=- 【答案】C【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.8.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，4】若0.2log 2a =，0.2log 3b =，0.22c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】B【解析】试题分析：0.2log y x =是减函数，所以0b a <<，又0c >，所以b a c <<.故选B. 考点：1、对数函数的性质；2、指数函数的性质.9.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，7】若3x a =，5x b =，则45x 等于（ ）A ． 2abB ．2a bC ．2a b +D ．22a b +【答案】A【解析】试题分析：()22459535x x xx x a b =⨯=⨯=.故选A.考点：指数的运算.10.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，9】已知函数(12),1,()1log ,13x a ax f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]3B ．11[,]32C ．1(0,]2D ．11[,]43【答案】A考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的单调性及数学的转化与划归思想.11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，10】若函数2()2(2)||f x x x a x a =+--在区间[-3,1]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[-4,1]B ．[-3,1]C ．（-6,2）D ．（-6,1） 【答案】C考点：1、分段函数的单调性；2、利用导数研究分段函数的极值点.12.【江西九江地区2017届高三七校联考，2】函数229log (1)x y x -=+的定义域是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3]-C ．(1,0)(0,3)-D ．(1,0)(0,3]-【答案】D 【解析】考点：函数定义域13.【江西九江地区2017届高三七校联考，4】幂函数2268()(44)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1 C.3 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：22441,6801m m m m m -+=-+>⇒=，选B. 考点：幂函数定义及性质14.【江西九江地区2017届高三七校联考，5】已知函数||()21x f x =-+，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A考点：分段函数奇偶性15.【江西九江地区2017届高三七校联考，7】若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]- C ．(,4)[2,)-∞+∞ D ．[4,4)- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得230x ax a -->在区间(,2]-∞-上恒成立且22a≥-，即2(2)(2)30a a ---->且4a ≥-，解得实数a 的取值范围是[4,4)-，选D.考点：复合函数单调性16.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），3】设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ）A ．(2)()(3)f f f π-<<-B ．()(2)(3)f f f π<-<-C ．(2)(3)()f f f π-<-<D ．(3)(2)()f f f π-<-< 【答案】C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.17.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，4】设函数(),y f x x R =∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B .【解析】试题分析：当“()y f x =的图象关于原点对称”时，函数()y f x =为奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以)()(x f x f =-，所以()y f x =是偶函数；反过来，当“()y f x =是偶函数”时不能推出“()y f x =的图象关于原点对称”例如：2x y =，此时2x y =是偶函数，其图像不关于原点对称.所以“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的必要不充分条件，故应选B .18.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，8】设0x 是方程13xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 所在的范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B . 【解析】试题分析：构造函数x x f x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=31)(，所以01031)0(0>=-⎪⎭⎫⎝⎛=f ，031313131)31(213131>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ，021312131)21(212121<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ，所以由零点的存在性定理可得函数x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛=31)(在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点,故应选B .考点：1、函数与方程.19.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，6】设函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，求3(7)(log 12)f f -+=（ ）A ．8B ．15C ．7D ．16 【答案】C 【解析】考点：分段函数．20.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，4】若2a =，384b =，ln2c =，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B考点：基本函数．21.【湖北2017届百所重点校高三联考，5】“11e eb dx x≤⎰”是“函数()2,03,0xx x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因e e b 1lnln -≤,即2≤b ；因函数()2,03,0x x x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数,故21≤+b ,即1≤b ,故2≤b 是1≤b 的必要非充分条件,应选B.考点：充分必要条件及运用.【易错点晴】本题是一道函数的单调性和充分必要条件整合在一起的综合问题．求解这类问题时，要充分借助题设条件，先搞清楚判定哪个命题是哪个命题的条件，再将问题转换为判定在一个命题成立的前提下，另一个命题的真假问题．本题求解时，要先将不等式“11eeb dx x≤⎰”翻译成2≤b 成立的前提下，命题“函数()2,03,0x x x f x b x ⎧+>=⎨+≤⎩是在R 上的单调函数”是否成立的问题，当然这里要用到绝对值函数语指数函数的性质．验证必要性时，要考察这个命题的逆命题的真伪．显然命题不真；反之成立，故应选B.22.【江西九江地区2017届高三七校联考，13】若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是__________. 【答案】3m >【解析】考点：二次函数实根分布23.【江西九江地区2017届高三七校联考，15】若函数3211(),22()1log,2xaxf xx x-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（0a>，且1a≠）的值域是R，则实数a的取值范围是________.【答案】2[,1)2考点：分段函数值域【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.24.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，14】已知定义在R上的偶函数()f x在[0,)+∞上单调递减，且(1)0f=，则不等式(2)0f x-≤的解集是__________.【答案】(,1][3,)-∞+∞【解析】试题分析：因为()f x在R上为单调递减的偶函数，且(1)0f=，所以不等式(2)0f x-≤等价于|2|1x-≥，解得3x≥或1x≤，所以等式(2)0f x-≤的解集为(,1][3,)-∞+∞．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、不等式的解法．25.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，2】函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是▲．【答案】()()1,11,-⋃+∞考点：定义域26.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，4】设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+=▲ ． 【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义27.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，5】计算121(lg lg 25)1004--÷= ▲ ．【答案】－20 【解析】试题分析：11211(lg lg 25)100lg 10204100---÷=÷=-考点：对数式运算28.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，7】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=-29.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，8】已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集是 ▲ ．【答案】[]2,4- 【解析】试题分析：当0x ≥时，()22xf x =-单调递增，又()33226f =-=()16|1|324f x x x ∴-⇒-≤⇒-≤≤≤考点：利用函数性质解不等式30.【四川巴中市2017届“零诊”，14】若31044=+-x x ，则=4log 3x .【答案】1±.考点：对数的运算.二．能力题组1.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，10】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且(1,3]x ∈-时，21cos ,13,()2,11,x x f x x x π⎧+<≤⎪=⎨⎪-<≤⎩则()()lg ||g x f x x =-的零点个数是（ ） A ．9 B ．10C ．18D ．20【答案】C 【解析】试题分析：(4)()()4f x f x f x T -==-⇒=，只需考虑(0,10]x ∈上()y f x =与lg y x =交点个数，在第一个周期(0,4]x ∈上有3个交点，第二个周期(4,8]x ∈上有4个交点，在 (8,10]x ∈上有2个交点，共有9个交点，因此零点个数一共是18个，选C. 考点：函数零点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.2.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，7】设e 是自然对数的底，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，则“log 2log a b e >”是“01a b <<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B3.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，11】函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C【解析】试题分析：取0a =，可知（4）正确；取4a =-，可知（3）正确；取1a =，可知（2）正确；无论a 取何值都无法作出（1）.故选C.考点：1、函数的图象和性质；2、选择题的“特殊值法”.【方法点睛】本题主要考查函数的图象和性质、选择题的“特殊值法”，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.4.【江西九江地区2017届高三七校联考，6】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是边1AA 、1CC 的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E 、M 、F 的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =， 则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）A ．23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈B ．23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈ C ．3()2f x x =-，[0,1]x ∈ D ．3()2f x x =-，[0,1]x ∈【答案】A考点：函数解析式5.【江西九江地区2017届高三七校联考，8】函数221x x e x y e =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】考点：函数图像与性质【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6.【江西九江地区2017届高三七校联考，11】已知函数()f x 和(1)f x +都是定义在R 上的偶函数，若[0,1]x ∈时，1()()2x f x =，则（ ）A ．15()()32f f ->B ．15()()32f f -<C ．15()()32f f -=D ．19()()32f f -<【解析】试题分析：()(),(1)(1)(2)()f x f x f x f x f x f x =-+=-+⇒+=-，所以5111(2)()2,()()()()2233f x f x T f f f f +=⇒==<=-，选A.考点：函数对称性与周期性7.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），8】已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为0x <时()()ln f x x x =--，()f x 在(0,)+∞上递增，0x >时，1()ln ,'()1f x x x f x x=-=-，可得()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以只有选项A 合题意，故选A.考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性.8.【河北衡水中学2017届上学期一调，6】函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B考点：函数的奇偶性及函数的图象．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，12】已知函数()()()11 232 [2)x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]08，内所有零点的和为（ ）A ．16B ．30C ．32D ．40 【答案】C 【解析】10.【湖北2017届百所重点校高三联考，8】函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出1,0±≠x ,且当0>x 时, x x y ln =,由于x y ln 1/+=,故函数x x y ln =在区间)1,0(e 单调递减;在区间),1(+∞e单调递增.由函数图象的对称性可知应选D. 考点：函数图象的性质及运用.11.【湖北2017届百所重点校高三联考，11】设函数()()()211,ln 31f x x g x ax x =-+=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（ ） A ．94 B ．2 C ．92D ．4 【答案】A考点：函数的图象和性质及运用.12.【四川巴中市2017届“零诊”，11】定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足：xe x g xf =+)()(，给出如下结论：①2)(x x e e x f --=且)2()1(0g f <<；②R x ∈∀，总有1)]([)]([22=-x f x g ； ③R x ∈∀，总有0)()()()(=+--x g x f x g x f ； ④R x ∈∃0，使得)()(2)2(000x g x f x f >. 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，()()()2()()()()()2x x x x x xe ef x f xg x e f x g x f x g x e e eg x ---⎧+=⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=-+=+⎪⎩⎪=⎪⎩，①：1220(1)(2)222e e e e e f g ---+<=<<=，故①正确；②：2222[()][()]()()122x x x x e e e e g x f x --+--=-=，故②正确；③：()()()()()()()()0f x g x f x g x f x g x f x g x --+=-+=，故③正确；④：000000220002()()2(2)222x x x x x x e e e e e e f x g x f x ----+-=⋅⋅==，故④错误，即正确的结论为①②③，故选A.考点：函数的性质.13.【江西九江地区2017届高三七校联考，16】给出下列四个命题：①函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为2()||f x x x =-；③函数1||1y x =-的图象可由函数1||y x =图象向右平移一个单位得到；④函数1||1y x =-图象上的点到点(0,1)距离的最小值是3.其中所有正确命题的序号是_________. 【答案】②④考点：函数性质14.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，16】已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．【答案】1724b <≤考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．15.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，10】已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 【答案】43【解析】试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3333,13,33b b b b b b b b a =⇒=>⇒==43a b +=考点：指对数式运算16.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，15】已知函数()()log 01a f x x a a =>≠且和函数()sin2g x x π=,若()f x 与()g x 的图象有且只有3个交点, 则a 的取值范围是 ．【答案】()11,5,973⎛⎫⎪⎝⎭考点：函数交点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.17.【湖北2017届百所重点校高三联考，16】设函数()f x 对任意实数x 满足()()1f x f x =-+，且当01x ≤≤时，()()1f x x x =-，若关于x 的方程()f x kx =有3个不同的实数根，则k 的取值范围是___________． 【答案】(){}526,1322--+【解析】试题分析:因()()1f x f x =-+,故)()2(x f x f =+,即函数)(x f 是周期为2的周期函数,画出函数函数]1,0[),(∈=x x f y 的图象,再借助函数满足的条件()()1f x f x =-+及图象的对称性,画出函数)(x f y =的图象如图，结合图象可得12+=-kx x x ,故04)1(2>-+=∆k k ,解之可得1625<<-k 或223+-=k ,故应填(){}526,1322--+.y=kx+1yx-2-1O -2-12121考点：函数的图象等有关知识的综合运用．【易错点晴】函数图象和性质是高中数学教与学中的重点和难点之一,也是高考和各级各类考试的热点内容.本题以函数零点的个数的形式将二次函数与一次函数的零点问题进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先探求函数的周期性,再画出函数的图象,然后借助函数的图象进行分析探求建立不等式,进而求得实数k 的取值范围是(){}526,1322--+.18.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，15】若“m a >”是“函数11()()33x f x m =+-的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为__________. 【答案】1-三．拔高题组1.【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，11】已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()fx a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，10】已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（ ）A ．2112⎫-⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．24⎫⎪⎪⎣⎭D ．2212⎫-⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】考点：对数函数的图象及二次函数的性质．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，9】已知()1145279722,,,log 979x x f x a b c --⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a << 【答案】B 【解析】试题分析：()22xxf x -=-为单调递增函数，而11144527997,log 09779a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>==< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f b f a <<，选B.考点：比较大小4.【河北邯郸2017届9月联考，12】已知函数42412sin4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++=（ ） A ．2017 B ．2016 C ．4034 D ．4032 【答案】D .考点：1、函数的基本性质；2、函数的奇偶性；3、函数的综合应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质、函数的奇偶性和函数的综合应用，考查学生综合知识能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先将已知条件进行化简并得到222sin 2)21(xx x x f ++=+，并令222sin )21(xx x x g +=+，进而可判断出其奇偶性，再由奇函数的图像与性质可得出所求的结果即可.其解题的关键是正确的化简变形并判断出函数的奇偶性.5.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，21】（本小题满分12分）已知函数()22xxf x -=+. （1）求方程5()2f x =的根； （2）求证：()f x 在[0,)+∞上是增函数；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，不等式(2)()f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）1x =或1x =-；（2）证明见解析；（3）0.（2）证明：设120x x ≤<，则211211221212(22)(12)()()22(22)022x x x x x x x x x x f x f x +-----=+-+=<， ∴12()()f x f x <，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数. （3）由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()f x f x m ≥-对于[0,)x ∈+∞恒成立，且()2f x ≥，2()(2)()[()]2m f x f x f x f x ≥-=-+.又0x ≥，∴由（2）知()f x 最小值为2， ∴()2f x =时，m 最小为2-4+2=0.考点：1、简单的指数方程；2、单调性的证明方法及不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查、简单的指数方程、单调性的证明方法及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（3）是利用方法①求得m 的最小值的.6.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，18】（本小题满分12分）设222()(log )2log (0)f x x a x b x =-+>.当14x =时，()f x 有最小值-1. （1）求a 与b 的值；（2）求满足()0f x <的x 的取值范围. 【答案】（1）23a b =-⎧⎨=⎩；（2）11(,)82x ∈.考点：1、二次函数配方法求最值；2、简单的对数不等式.7.【江西九江地区2017届高三七校联考，17】（本小题满分10分）设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间3[0,]2上的值域. 【答案】（1）2a =，（2）215[log ,2]4【解析】试题分析：（1）由(1)2f =的log 42a =，解得2a =（2）因为22()log [(1)4]f x x =--+，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数.因此()f x 在区间3[0,]2上的值域是考点：函数定义域与值域8.【江西九江地区2017届高三七校联考，19】（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴2()x f x =-，的图象被x 轴截得的弦长为3(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若1(())2x f k >对[1,1]x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）由题意可得二次函数两个零点，所以用零点式设()(23)(23)f x a x x =++，再根据(0)1f =解得1a =（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题min 1(())2x f k >，而求函数最值，先确定内函数值域11()[,2]22x t =∈，即为外函数定义域，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系得最小值由(0)11f a =⇒=，∴2()(23)(23)41f x x x x x =++=++；………………6分（2）当[1,1]x ∈-时，11()[,2]22xt =∈，………………8分 ∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-.∴()f t 在1[,2]2t ∈上单调递增.………………9分 ∴min113()()24f t f ==.所以实数k 的取值范围是13(,)4-∞.………………12分 考点：二次函数解析式及最值【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.9.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，16】(本小题满分14分)已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈(1) 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论；【答案】(1) 偶函数(2) 27λ-≤考点：函数奇偶性，不等式恒成立问题【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，19】(本小题满分16分)已知函数()133x x af x b+-+=+．(1) 当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值；①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若函数()g x 满足()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞，②6 【解析】试题分析：(1)根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3xf x =转化为一元二次方程：()2332310x x ⋅+⋅-=，再根据指数函数范围可得133x= ，解得1x =- (2) ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定(2) 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a ab b-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且解得：1133a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去 所以1,3a b ==， 所以()13133x x f x +-+=+ ………………………………………6分①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()211212121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，所以440t ∆=+>，解得：1t >-，所以k 的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
山东省淄博实验中学高三数学第一次诊断性考试试卷 理(
山东省淄博实验中学2015届高三数学第一次诊断性考试试卷 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设集合{}02|>-∈=x R x A ，{}0|<∈=x R x B ，(){}02|>-∈=x x R x C ，则“()B A x Y ∈”是“x C ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析：{}2|>=x x A ，{}0|<=x x B ，{}02|<>=x x x C 或，{}{}C x x x x B A =<>=0|2|Y Y ，当“()B A x Y ∈”，能得到“x C ∈”；当“x C ∈”，能得到“()B A x Y ∈”，因此“()B A x Y ∈”是“x C ∈”的充分必要条件，故答案为C考点：1、集合的并集；2、充分条件、必要条件的判断2．函数()2(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，则方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,4 【答案】B 【解析】试题分析：方程()0f x =的根就是函数()0=x f 的零点，由于()01200920081<---=f ，()020********>-⨯=f ，()()021<⋅∴f f 由零点存在定理，得函数的零点在区间在()2,1内， 因此方程()0f x =的根在()2,1，故答案为B考点：方程的根和函数的零点的关系 3．函数22xy x =-的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：当0>x 时，022=-x x ，得2=x 或4=x ，因此函数图象与x 轴正半轴的交点有2个，当1-<x ，022<-x x ，因此图象在x 轴下方，故符合图象为A考点：函数的图象4．三个数20.310.3120.31,log ,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a << 【答案】B 【解析】试题分析：由于131.002<<，01log 31.0log 22=<，122031.0=>，1,0,10><<<∴c b a ，所以c a b <<，故答案为B考点：指数函数和对数函数的图象和性质5．已知tan 2α=，则2sin sin cos ααα-的值是（ ） A ．25 B ．25- C ．2- D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：=-αααcos sin sin 2521tan tan tan cos sin cos sin sin 22222=+-=+-αααααααα，故答案为A 考点：同角三角函数的基本关系6．已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=01ln 022x x x x x x f ，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：当0≤x 时，()022≤+-=x x x f 恒成立，由()ax x f ≥得，ax x x ≥-22，整理得()022≥+-x a x ，由于()()022≥+-=x a x x f 恒成立，()00=f ，()022≥+--∴a ，解得2-≥a ，0>x 时，由于()x f 最小值是0，若()ax x f ≥恒成立，满足0≤ax ，即0≤a ，同时满足以上两个条件02≤≤-a ，故答案为D考点：1、一元二次不等式的应用；2、分段函数的应用7．定义在R 上的函数()f x 满足()(),()(4)f x f x f x f x -=-=+，且(1,0)x ∈-时，()125x f x =+，则2(log 20)f =（ ）A ．1B ．45C ．1-D ．45-【答案】C【解析】试题分析：由于()()x f x f -=-，因此函数为奇函数，()()4+=x f x f ，故函数的周期为4，32log 20log 16log 222<<，即520log 42<<，1420log 02<-<，145log 02<<∴， ()()1515451254log 45log 45log 420log 20log 54log 222222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∴f f f f f 故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算8．由直线1,22x x ==，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（ ）A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 2【答案】D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义，得围成的面积2ln 24ln 21ln 2ln |ln 1221221==-==⎰x dx x ，故答案为D考点：定积分的几何意义9．若函数()f x 在R 上可导，且满足()()f x xf x '<，则（ ）A ．()()212f f <B ．()()212f f >C ．()()212f f =D ．()()12f f = 【答案】A 【解析】试题分析：由于()()x f x x f '<()()()02>-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f x x f x x f 恒成立，因此()x x f 在R 上时单调递增函数，()()1122f f >∴，即()()122f f >，故答案为A 考点：函数的单调性与导数的关系10．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B【解析】试题分析：由题意知1252112521log 4log 42222+-=+-==-d d c c b a ，因此0log log 22=+b a ，0log 2=∴ab ，得1=ab ，令0125212=+-x x ，得4=c 或6=d ，24=cd 由图知，令1125212=+-x x ，得2=c 或8=d ，16=cd ，()24,16∈∴abcd ，故答案为B考点：1、函数的图象；2、对数的运算性质第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11．设命题:0,1p a a ∀>≠，函数()xf x a x a =--有零点，则:p ⌝ . 【答案】1,0≠>∃a a ，函数()a x a x f x--=没有零点【解析】试题分析：全称命题的否定，把全称量词写成存在量词，同时把结论否定；故p ⌝：1,0≠>∃a a ，函数()a x a x f x --=没有零点考点：含有量词的命题的否定 12．设1:21(0),:021x p x m m q x -+<>>-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(]2,0 【解析】试题分析：()012><+m m x ，解m x m <+<-12，解得2121-<<--m x m ；由0121>--x x ，得 ()()0121>--x x ，得⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>211|x x x 或，由于p 是q 的充分不必要条件，2121≤-∴m ，解得2≤m ，又由于0>m ，20≤<∴m ，故答案为20≤<m考点：1、绝对值不等式的解法；2、充分条件必要条件的应用13．已知函数2log (1)y ax =-在()1,2上单调递增，则a 的取值范围 . 【答案】1≥a 【解析】试题分析：函数()1log 2-=ax y 由u y 2log =，1-=ax u 复合而成，由于u y 2log =是单调递增函数，因此1-=ax u 是增函数，0>∴a ，由于01>-=ax u 恒成立，当1=x 时，有最小值，011≥->-a ax 1≥∴a ，故答案为1≥a考点：1、复合函数的单调性；2、恒成立的问题14．已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则1411x y +++的最小值为 【答案】3 【解析】试题分析：0,0x y ≥≥，且1x y +=，()101≤≤-=∴x x y ，代入得()x f xx y x =-++=+++24111411 则()()()()()()02143241124112222≥-++=-++-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x f 恒成立，所以()x f 在区间[]1,0上单调递增，所以最小值()3210=+=f ，故答案为3考点：函数的单调性与导数的关系15．若实数,x y 满足21x y x y +>⎧⎪⎨-<⎪⎩，则y x 的取值范围是【答案】⎪⎭⎫⎝⎛3,31 【解析】试题分析：不等式对应的区域如图，设xy z =，则z 的几何意义是区域内的点与原点的斜率， 由⎩⎨⎧-=-=+12y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21A ，此时OA 的斜率3021023=--=k由⎩⎨⎧=-=+12y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23B ，此时OB 的斜率31023021=--=k ，则331<<z ，故x y 的答案为⎪⎭⎫⎝⎛3,31考点：线性规划的应用三、解答题（题型注释）16．已知0a >且1a ≠，设命题:p 函数log (1)a y x =+在()0,+∞上单调递减；命题:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求a 的取值范围. 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,251,21Y 【解析】试题分析：（1）正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假；（2）解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意p 或q 为真，p 且q 为假说明q p ,一真一假. 试题解析：解：因为函数()1log +=x y a 在()+∞,0上是单调递减，所以命题p 成立，则10<<a又因为曲线()1322+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点所以()04322>--=∆a ，解得:q 21<a 或25>a 因为q p ∧是假命题，q p ∨是真命题，所以命题q p ,一真一假①p 真q 假，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<252110a a ，所以121<≤a②p 假q 真，则⎪⎩⎪⎨⎧><>25211a a a 或，所以25>a故实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,251,21Y 考点：1、对数函数的性质；2、逻辑联接词的应用 17．已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<.（1）求tan 2α； （2）求β【答案】（1）34tan =α；（2）3πβ=【解析】试题分析：（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα先是根据平方关系由余弦求正弦，然后求正切，根据两角和正切公式求解；（2）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围. 试题解析：解：（1）由20,71cos παα<<=得734711cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=αα34cos sin tan ==∴ααα 于是()4738341342tan 1tan 22tan 22-=-⨯=-=ααα 由20πβα<<<，得20πβα<-<又()1413cos =-βαΘ ()()1433cos 1sin 2=--=-∴βαβα 由()βααβ--=得()[]()()211433734141371sin sin cos cos cos cos =⨯+⨯=-+-=--=βααβααβααβ又⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβΘ，3πβ=∴ 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的给值求值 18．设a R ∈，解关于x 的不等式2(12)20ax a x +-->. 【答案】当21-<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-21|x a x ；当21-=a 时，不等式的解集为空集 当021<<-a 时，不等式解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 12|；当0=a 时，不等式的解集{}2|>x x当0>a 时，不等式的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<21|x a x x 或 【解析】试题分析：（1）三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像与横坐标的交点、二次不等式()002≠>++a c bx ax 解集的端点值、二次方程()002≠=++a c bx ax 的根是同一个问题.解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决；（2）解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：一是二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式，二是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系，三是确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集；（3）讨论时注意找临界条件. 试题解析：不等式等价()()021>-+x ax（1）当0=a 时，则不等式化为02>-x ，解得2>x （2）若0≠a ，则方程的两根分别为2和a1- ①当21-<a 时，解不等式得21<<-x a ②当21-=a 时，解不等式得空集③当021<<-a 时，解不等式得ax 12-<<④当0>a 时，解不等式得21>-<x ax 或综上所述，当21-<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-21|x a x当21-=a 时，不等式的解集为空集 当021<<-a 时，不等式解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 12| 当0=a 时，不等式的解集{}2|>x x当0>a 时，不等式的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<21|x a x x 或 考点：含参数的一元二次不等式的解法19．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少400吨，最多600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+ 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）400吨；（2）不获利，国家至少每月补贴40000元【解析】试题分析：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.（4）掌握二次函数在闭区间上的最值，注意区间和对称轴的关系试题解析：解：由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：[]600,4002008000021∈-+=x x x x y2002008000022=-⋅≥xx ， 当且仅当x x 800002=，即400=x 时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元设该单位每月获利为S则y x S -=1008000030021800002002110022-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x x()[]600,40035000300212∈---=x x 因为600400≤≤x ，所以当400=x 时，S 有最大值40000- 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损考点：1、利用基本不等式求最值；2、二次函数在闭区间上的最值20．已知函数()4(,)a f x x b a b R x=++∈为奇函数. （1）若()15f =，求函数()f x 的解析式；（2）当2a =-时，不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立，求实数t 的最小值；（3）当1a ≥时，求证：函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点. 【答案】（1）()xx x f 14+=；（2）231；（3）证明略 【解析】试题分析：（1）已知函数的奇偶性求参数的值一般思路：利用函数的奇偶性的定义转化为()()x f x f -=-，从而建立方程，使问题获解，但是在解决选择题，填空题时，利用定义去做相对麻烦，因此为使问题解决更快，可采用特值法；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立；（3）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由()()21x f x f -的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（4）单调函数最多只有一个零点.试题解析：解：Θ函数()()R b a b xa x x f ∈++=,4为奇函数， ()()x f x f -=-∴，即b xa xb x a x ---=+--44 0=∴b 又()541=++=b a f ，1=∴a∴函数解析式()xx x f 14+= 当2-=a 时，()xx x f 24-= Θ函数x y x y 2,4-==在[]4,1都是单调递增， ()x f ∴在[]4,1单调递增，所以当[]4,1∈x 时，()()2314max ==f x fΘ不等式()t x f ≤在[]4,1上恒成立，231≥∴t ∴实数t 的最小值为231 证明：()c a x g x x -+⋅=224，设任取任意实数121-≤<x x ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=-c a c a x g x g x x x x 221224224211 21112221222422422x x x x x x x x a a +++-⋅-+⋅= ()()212121212222224x x x x x x x x a ++---⋅= ()()21212122224x x x x x x a ++--⋅= 11-≤<x x Θ，1,12424,222121≥=⋅<⋅-<+∴-+a x x x x Θ，即1-≤-a02421<-⋅∴+a x x ，又02221<-x x ，()()0,022121>-∴>+x g x g x x ，即()()21x g x g > ()x g ∴在(]1,-∞-单调递减又R c ∈，结合函数图象知函数()x g 在(]1,-∞-上至多有一个零点考点：1、利用函数的奇偶性求参数；2、恒成立的问题；3、利用定义证明函数的单调性21．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++. （1）若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()2(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0b =时，设()()1()1f x x F xg x x -<⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明利用.【答案】（1）516-<<-b ;（2）1-≤a ;（3）对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上【解析】试题分析：（1）若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.试题解析：解：（1）由()bx x x x f ++=23 得()b x x x f ++='232，因()x f 在区间[]2,1上不上单调函数所以()b x x x f ++='232在[]2,1上最大值大于0，最小值小于0 ()313132322-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++='b x b x x x f ()()⎩⎨⎧+='+='∴bx f b x f 516min max ，516-<<-∴b 由()()x a x x g 22++-≥，得()x x a x x 2ln 2-≤- []x x e x ≤≤∴∈1ln ,,1Θ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x xx x x x a ln 22--≤∴恒成立，即min2ln 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤x x x x a 令()[]()e x x x x x x t ,1,ln 22∈--=，求导得()()()()2ln ln 221x x x x x x t --+-=' 当[]e x ,1∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而()0≥'x t()x t ∴在[]e ,1上是增函数，()()11max -==∴t x t1-≤∴a由条件，()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,23x x a x x x x F假设曲线()x F y =上存在两点Q P ,满足题意，则Q P ,只能在y 轴两侧不妨设()()()0,>t t F t P ，则()23,t t t Q +-，且1≠tPOQ ∆Θ是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴()()0232=++-∴t t t F t ()*是否存在Q P ,等价于方程()*在0>t 且1≠t 是否有解①当10<<t 时，方程()*为()()023232=++-+-∴t t t t t ，化简0124=+-t t ，此方程无解；②当1>t 时，方程()*为()0ln 232=++-t t t a t ，即()t t aln 11+= 设()()()1ln 1>+=t t t t h ，则()11ln ++='tt t h显然，当1>t 时，()0>'t h ，即()t h 在()+∞,1上为增函数 ()t h ∴的值域为()()+∞,1h ，即()+∞,0，∴当0>a 时，方程()*总有解∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上考点：1、利用导数求参数取值范围；2、恒成立的问题；3、探究性问题。
高考模拟练习——山东省实验中学2020-2021学年高三第三次诊断性考试数学试题(含答案解析)
试卷第1页，共6页山东省实验中学2020-2021学年高三第三次诊断性考试数学试题试卷副标题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}02x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ）A ．1B ．12试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C ．13D ．236．已知数列{}n a ，2sin 2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ）A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-7．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．312+ D ．512+ 8．已知函数()2ln f x x x =-和()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是A ．(],1ln 2-∞-B ．[)0,1ln 2-C ．(]1ln1,1ln 2-+D ．[)1ln 2,++∞评卷人 得分二、多选题9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好 10．设函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象过点()0,1； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12π；D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象．试卷第3页，共6页11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）． A B ．侧棱与底面所成的角为4π CD ．侧棱与底面所成的角为3π12．设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点12n P P P ⋯⋯，，，的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点． 则下列结论正确的是（ ） A ．若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；14．O 为坐标原点，F 为抛物线2C y ：=的焦点，P 为C 上一点，若PF =则POF 的面积______．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =______________． 评卷人 得分四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件： ①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T18．如图，,,a b c 分别为△ABC 中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点， 23BD DC =，1,cos 37ABC ADC π∠=∠=， 8c =．（1）求a 的值；（2）求ADC 的外接圆的半径R ．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 4360BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =.试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg 时按1kg 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）(]0,1(]1,2(]2,3(]3,4(]4,5包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数 [)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[]400,500天数6630126以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)100,400的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表） 21．设函数()ln mf x x x=+， R m ∈． （1）当1m =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()()3xg x f x '=-有两个零点，求实数m 取值范围； （3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．试卷第6页，共6页22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；（3）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．答案第1页，共18页参考答案1．A 【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,31ii-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --==-+-， ()22312341i i i i -⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭．故选A. 考点：复数的除法运算． 【详解】 2．B 【详解】:1213A x -≤+≤，解得：11x -≤≤ 所以集合{}11A x x =-≤≤，2:0x B x-≤，解得：02x <≤ 所以集合{}02B x x =<≤ 所以{}01A B x x ⋂=<≤ 故选B 项. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 3．D 【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．C答案第2页，共18页【分析】利用()()2f x f x +=-，得到3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】()()2f x f x +=-， 则333122222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 奇函数()f x 在[]0,1上为减函数，()f x ∴在[]1,1-上为减函数，11111244>>>->-， 111244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题. 5．D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =,由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+,又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=.答案第3页，共18页故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．B 【分析】由题意结合三角函数的性质可得20k a =、22121(21)sin2k k a k π--=-，再由并项求和、等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意知， 当*2,n k k N =∈时，22(2)sin 0k a k k π==；当*21,n k k N =-∈时，22121(21)sin2k k a k π--=-， 所以数列{}n a 的前100项和222221001231001359913579799S a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+=-+-+⋯+-(13)(13)(57)(57)(9799)(9799)=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+50492(13579799)250250002⨯⎛⎫=-⨯++++⋯++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求解能力，属于中档题. 7．D 【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为bc-,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率. 【详解】答案第4页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b bk c c-==--， ∵直线FB 与直线by x a=互相垂直，1b b c a ∴-⨯=-,2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=,15e ±∴=, 双曲线的离心率e ＞1， ∴51+,故选D.考点：双曲线的简单性质 8．D 【详解】由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程222lnx x x m x -=--+有解，即2m lnx x=+有解．设()()20h x lnx x x =+>,则()22122x h x x x x-'=-=， ∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1. ∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞). ∴m 的取值范围是[1+ln2,+∞). 本题选择D 选项.9．ABD答案第5页，共18页【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可 【详解】对于A ，这12天中，空气质量为“优良”有95，85，77，67，72，92，共6天，所以A 正确，对于B ，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，所以B 正确， 对于C ，这12天的AQI 指数值的中位数为9510499.52+=，所以C 错误， 对于D ，从4日到9日，AQI 指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D 正确， 故选：ABD 10．AC 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()2sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当0x =时，()02sin16f π==，()f x 的图象过点()0,1，所以A 正确；对于B ，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以B 错误；答案第6页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于C ，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以C 正确；对于D ，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以D 错误.故选：AC. 11．AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a=所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a a ⋅⋅+=++令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a =答案第7页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………当()0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题. 12．AD 【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】解：对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的中位点，故A 正确；对于B ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故B 错误；对于C ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，如B ，C 三等分AD ，设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错误；答案第8页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于D ，如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点,O M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++， ∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故D 正确．故选：AD. 13．2【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故22AB OA =,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离22212d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()221211a a =⇒=±+-故答案为：2± 【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题. 14．3【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标F 2（，），设P m n （，），根据PF 42=P 点坐标，再由POF 的面积为1S OF n 2=⨯，即可求出结果. 【详解】抛物线C 的方程为2y 42x =， 2p 42∴=22p=F 2（，） 设P m n （，）,根据抛物线的定义，得pPF m 422=+=，答案第9页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………即m 242+=，解得m 32=，点P 在抛物线C 上，得n 2=42×32=24 n 26∴=± ,OF 2=，POF ∴的面积为1S OF n 232=⨯=． 故答案为23．【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型. 15．36 【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C 种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中答案第10页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………档题． 16．4 【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．02当0a <时22()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．03当0a >时1()0f x x a⇒'==① 111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减． 所以min1()min (1),(f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400{411()120f a a f a a-=-+≥≥⇒⇒==-≥ ② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.17． （1）12n n a（2）()()3234212n n n +-++ 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选②时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选③时，再写出答案第11页，共18页()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. （1）若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，故 12n na ；若选②，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n na ；若选③，由121111222n n n nn a a a a +-+++=， 可知()121211112222n n n n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得()122n na n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；（2） 由（1）知12n n a则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 18． （1）5答案第12页，共18页（2【分析】（1）根据两角差正弦公式可得()sin sin BAD ADC ABC ∠=∠-∠，进而在ABD △弦定理得到BD ，从而可得结果；（2）在ABC 中利用余弦定理得到b ，再在ADC 中利用正弦定理得到结果. （1） ∵1cos 7ADC ∠=，∴sin sin ADC ADB ∠=∠= ∴()11sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=， 在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠， ∵23BD DC =，∴2DC =∴325a =+=； （2）在ABC 中，7b =． 在ADC 中，12sin b R ADC =⋅=∠ 19．(1)见证明；【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且12OH AB ==答案第13页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………又//EF AB ，233EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，23B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ， 所以23(2,BC =-，(3,0,1)CQ =， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3,3)m =--， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ， 则313cos 1139m nm n θ⋅-===⨯++ 因为二面角Q BC A --的平面角为锐角， 所以二面角Q BC A --313【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直43,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭）样本中快递费用答案第15页，共18页（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利. 【点睛】本题主要考查二项分布，离散型随机变量的分布列的期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）极小值1；无极大值；（2）203m <<；答案第16页，共18页（3）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由题可求()f x '，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；（2）令()0g x =可得()3103m x x x =-+>，令()31()03x x x x ϕ=-+>，求()x ϕ'，判断单调性求得最值，即可求解；（3）不等式可转化为()()f b b f a a -<-，构造函数()()h x f x x =-，可得()h x 在()0,∞+调递减，即()2110mh x x x'=--≤在()0,∞+上恒成立，分离m 转化为最值问题即可求解. （1） 因为()()210x f x x x -'=> 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；所以当1x =时，()f x 取得极小值()11ln111f =+=，无极大值.（2）由题可得()()()21033x m xg x f x x x x '=-=-->， 令()0g x =，得()3103m x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，则()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+．所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ'在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减；所以()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=，又()00ϕ=，()360ϕ=-<，可知：当203m <<时，函数()g x 有2个零点， 即实数m 取值范围为203m <<. （3）原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立，答案第17页，共18页令()()()ln 0mh x f x x x x x x=-=+->， 则等价于()h x 在()0,∞+上单调递减，()2110mh x x x '=--≤在()0,∞+恒成立, 所以()2211024m x x x x ⎛⎫≥-+=--+> ⎪⎝⎭恒成立，又22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以14m ≥， 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．（1）22143x y +=（2）[]0,12（3）证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数a b 、，即可得到椭圆的标准方程；（2）把条件1PF PA ⋅转化成关于P 的横坐标0x 的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可；（3）把条件2AH MH HN =⋅转化成AM AN ⊥，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数k m 、关系后，即可求得直线l 所过定点. （1）由已知()322a c a c c+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =，则b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，则2200143x y +=，又()2,0A -，()11,0F -． ∴()()22100000112354PF PA x x y x x ⋅=----+=++．答案第18页，共18页由于()00,P x y 在椭圆C 上，∴022x -≤≤． 由()21354f x x x =++在区间[]22-,上单调递增，可知 当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12． 故1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12 （3）由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则=AM ()112,x y +，=AN ()222,x y +122834km x x k -+=+ ， 212241234m x x k -=+．由0∆>得2243k m +>．2AH MH HN =⋅，即2AH MH NH =，可得AM AN ⊥，则()()11222,2,0x y x y ++=， 即()()()121212240x x x x kx m kx m ++++++= ()()22222412812403434m km k km m k k --+++++=++ 化简得2241670k km m -+=． ∴12k m =或72k m =，均适合2243k m +>．当12k m =时，直线过A ，舍去； 当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故直线l 恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．。
山东省实验中学第一次诊断性考试高三数学试卷(理科)
山东省实验中学2008年第一次诊断性考试高三数学试卷(理科)注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至6页.共150分.考试时间120分钟. 2．考生一律不准使用计算器. 第I 卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}20{},40{≤≤=≤≤=y y M x x P ，则下列表示P 到M 的映射的是（ ）A. x y x f 32:=→B.22:2--=→x xx y x fC. 2)3(31:-=→x y x f D. 15:-+=→x y x f2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z m m x x E ,61，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z n n x x F ,312⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z p p x x G ,612则G F E ,,满足关系（ ）A ． B. C. E G F ⊆⊆ D 3．函数5542-+-=x xy 是（ ）A ．奇函数不是偶函数B 偶函数不是奇函数C ． 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数 4.有下列四个命题，其中真命题有：（ ）①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 5．设偶函数)(x f 对任意R x ∈，都有)(1)3(x f x f -=+，且当]2,3[--∈x 时，x x f 2)(=，则)5.113(f 的值是（ ）A ．72-B 72C 51- D 516.已知函数])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)]()]([22x f x f y +=的最大值是（ ）A ．13B ．16 C. 18 D. 227．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ， 则n 的最大值为（ ）A ．17B ．18C ．20D ．23≠⊂F E =G ≠⊂E GF =≠⊂F E ⊆G8．已知⎩⎨⎧+-=x a x a x f a log 4)13()( )1()1(≥<x x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)31,0(C ．)31,71[ D ．)1,71[9．在等比数列}{n a 中，如果3a 和5a 是一元二次方程0452=+-x x 的两个根，那么642a a a 的值为（ ）A ．8±B ．8-C ．8D ．16± 10．已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数， 当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式 0cos )(<x x f 的解集是 （ ）A.)3,2()1,0()2,3(ππ-- B.2)1,0()1,2(π--C.)3,1()1,0()1,3( --D.)3,1()1,0()2,3( π--11．已知323()(3)2,(3)2,lim 3x x f x f f x →-'==--则的值为（ ）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在12.抛物线x y 22=分圆822=+y x 成的两部分的面积之比为（ ） A.2923-+ππ B. 2935-+ππ C. 2923+-ππ D. 2935+-ππ第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.当x =3时，不等式)10)(64(log )2(log 2≠>->--a a x x x a a 且成立，则此不等式的解集是 .14.定义在R 上的函数()f x 满足下列三个关系：①对任意x R ∈都有()()4f x f x +=； ②对任意1202x x ≤≤≤都有()()12f x f x <；③()2y f x =+的图像关于y 轴对称. 则)7(),5.6(),5.4(f f f 三个数从大到小顺序是_________________15.已知函数,2)(,23)(2x x x g x x f -=-=构造函数)(x F ,定义如下:当)()(x g x f ≥时,)()(x g x F =;当)()(x g x f <时, )()(x f x F =.那么)(x F 的最大值为____________ 16.对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知432,321=*=*且有一个非零实数m 使得对任意实数x ，都有x m x =*，则m ＝___________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知1222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数；（3）在第一象限内它的图象是上升曲线.18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足).2(2,2111≥-==-n S S a a n n n （1）证明：数列}1{nS 为等差数列；（2）求n S 及n a . 20．（本小题满分12分）设曲线)10(ln :≤<-=x x y C 在点)0)(,(≥-t t e M t 处的切线为l .（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为)(t S ，求)(t S 的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足)(1)(log 12---=x x a a x f a ，其中1,0≠>a a ， （1）对于函数)(x f ，当)1,1(-∈x 时，0)1()1(2<-+-m f m f ，求实数m 的集合； （2）当)2,(-∞∈x 时，4)(-x f 的值恒为负数，求a 的取值范围.22. （本小题满分14分） 已知函数)0,,,()(23≠∈++=a R c b a c bx ax x f 的图象过点)2,1(-P ，且在点P 处的切线与直线03=-y x 垂直， （1）若0=c ，试求函数)(x f 的单调区间；（2）若0,0>>b a ，且),(),,(+∞-∞n m 是)(x f 的单调递增区间，试求m n -的范围.[参考答案]1~6 DBACDA 7~12 DCABBA13．（2，4） 14. )5.4()7()5.6(f f f >> 15. 727- 16. 417.解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--≠+112022m m m m …………….2分所以31±=m ……………….4分（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+112022m m m m ……………….6分解得m=0(舍)或2 ………………8分（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-->+012022m m m m ………………10分解得),21()1,(+∞+⋃--∞∈m ………….12分18．解：由题意知0≠a 。
山东省实验中学2021届高三第一次诊断考试(物理)含答案
山东省实验中学2021届高三第一次诊断考试物理试题2020．10(本试卷共8页，18个题；全卷满分100分，考试用时90分钟)注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第I 卷(共40分)一、单项选择题(本题包括8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意) 1．有一直角V 形槽固定在水平面上，其截面如图所示，BC 面与水平面间夹角为60°，有一质量为m 的正方体均匀木块放在槽内，木块与AB 面间的动摩擦因数为μ，与BC 面间无摩擦，现用垂直于纸面向里的力推木块使之沿槽运动，则木块受的摩擦力为A ．12mg μ B mgC mgD ．mg μ2．如图所示的光滑斜面长为l ，宽为b ，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 以初速度v 0水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，则A ．物块由P 点运动到Q 点所用的时间t =B ．物块由P 点运动到Q 点所用的时间t =C ．初速度0v =D ．初速度0v =3．如图所示，a b 、两物体的质量分别为m 1和m 2，由轻质弹簧相连。
当用恒力F 竖直向上拉着a ，使a b 、一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为1x ，加速度大小为1a ；当用大小仍为F 的恒力沿水平方向拉着a ，使a b 、一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为2x ，加速度大小为2a ，则A ．1212a a x x <=，B ．1212a a x x ==，C ．1212a a x x <>，D ．1212a a x x =>，4．风速仪结构如图(a)所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r ，每转动力圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间△t 内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片A ．转速逐渐减小，平均速率为4nrt π∆ B ．转速逐渐减小，平均速率为8nrt π∆C ．转速逐渐增大，平均速率为4nrt π∆D ．转速逐渐增大，平均速率为8nrtπ∆5．如图所示，长为0.3m 的轻杆一端固定质量为m 的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O 连接．现使小球在竖直面内绕O 点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为74mg ，已知转动过程中轻杆不变形，取重力加速度g=10m/s 2．下列说法正确的是A ．小球转动的角速度为0.5rad ／sB ．小球通过最高点时对杆的作用力为零C ．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为34mg D ．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向6．宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0。
安徽省黄山市田家炳实验中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分）1．设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A． 2﹣i B．﹣2﹣i C． 1+2i D． 1﹣2i2．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（） A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）3．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A． B． C． D．5．已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B．（4+π） C． D．7．设变量x，y 满足约束条件．目标函数z=ax+2y仅在（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，4） C．（﹣4，0] D．（﹣4，2）8．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一步或最终一步，程序B和C实施时必需相邻，请问试验挨次的编排方法共有（）A． 24种 B． 48种 C． 96种 D． 144种9．如图，F1，F2是双曲线C ：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C． 2 D．10．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（） A． [0，+∞） B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题5分）11．若在的开放式中，第4项是常数项，则n= ．12．随机变量X～N（1，б2），若P（|X﹣1|＜1）=，则P（X≥0）= ．13．已知||=1，||≤1，且S△OAB=，则与夹角的取值范围是．14．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（4，π），曲线C的参数方程为（α为参数），则过点M与曲线C相切的直线方程为．15．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立；②当b=0，c＞0时，方程f （x）=0，只有一个实数根；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是．三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+3（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f（A）=4，求b+c的最大值．17．乒乓球赛规定：一局竞赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜败结果相互独立，甲、乙的一局竞赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开头第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅱ）设M是线段BD上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F、P三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点N（﹣4，0）作x轴的垂线l，S、T为l上的两点，满足OS⊥OT，过S及T分别作l的垂线与抛物线C分别相交于A与B，直线AB与x轴的交点为M，求证：M是定点，并求出该点的坐标．20．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}滿足，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：．2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分）1．设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A． 2﹣i B．﹣2﹣i C． 1+2i D． 1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将zi=2+i变形，可求得z，再将其分母实数化即可．解答：解：∵zi=2+i，∴z====1﹣2i，故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规章解出A∩（∁R B）即可得出正确选项解答：解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，娴熟把握运算规章是解解题的关键3．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A． B． C． D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，而．故选C．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构推断出框图的计算功能5．已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：计算题．分析：由于“|a+b|=|a|+|b|”，说明ab同号，但是有时a=b=0也可以，从而进行推断；解答：解：若ab＞0，说明a与b全大于0或者全部小于0，∴可得“|a+b|=|a|+|b|”，若“|a+b|=|a|+|b|”，可以取a=b=0，此时也满足“|a+b|=|a|+|b|”，∴“ab＞0”⇒“|a+b|=|a|+|b|”；∴“|a+b|=|a|+|b|”是“ab＞0”必要不充分条件，故选B；点评：此题主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题；6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B．（4+π） C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，做出圆锥的高，依据圆锥和圆柱的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D．点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不简洁看出直观图，需要认真观看．7．设变量x，y 满足约束条件．目标函数z=ax+2y仅在（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，4） C．（﹣4，0] D．（﹣4，2）考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：当a=0时，明显成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，解得a＜2．当a＜0时，k=﹣＜k AB=2解得a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一步或最终一步，程序B和C实施时必需相邻，请问试验挨次的编排方法共有（）A． 24种 B． 48种 C． 96种 D． 144种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，A只能消灭在第一步或最终一步，从第一个位置和最终一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必需相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，留意B和C之间还有一个排列．解答：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能消灭在第一步或最终一步，∴从第一个位置和最终一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必需相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，留意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果依据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．点评：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，留意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽视被捆绑的元素之间还有一个排列．9．如图，F1，F2是双曲线C ：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C． 2 D．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题．分析：依据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．解答：解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+=，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，∴4c2=52，∴c=．∴双曲线的离心率e==．故选A．点评：本题考查双曲线的简洁性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算力量，属于中档题．10．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（） A． [0，+∞） B． C． D．考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；新定义．分析：本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．解答：解：由题意，M、N 横坐标相等，恒成马上k 恒大于等于，则k ≥的最大值，所以本题即求的最大值．由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，）AB方程y=（x﹣1）由图象可知，MN=y1﹣y2=x ﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）故选D．点评：解答的关键是将已知条件进行转化，同时应留意恒成立问题的处理策略．二、填空题（共5小题，每小题5分）11．若在的开放式中，第4项是常数项，则n= 18 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用的开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r••x﹣r，由第4项是常数项即可求得n的值．解答：解：设的开放式的通项公式为T r+1，则T r+1=•（﹣1）r••x﹣r=（﹣1）r••，∵第4项是常数项，∴（n﹣3）﹣3=0，∴n=18．故答案为：18．点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项开放式的通项公式，属于中档题．12．随机变量X～N（1，б2），若P（|X﹣1|＜1）=，则P（X≥0）= ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：依据X～N（1，σ2），可得图象关于x=1对称，利用P（|X﹣1|＜1）=，即可求得结论．解答：解：∵P（|X﹣1|＜1）=，∴P（0＜X＜2）=，∵X～N（1，σ2），∴图象关于x=1对称，∴P（X＜0）=∴P（X≥0）=1﹣=，故答案为：点评：本题考查正态分布的特点，是一个基础题，解题时留意正态曲线的对称性和概率之和等于1的性质．13．已知||=1，||≤1，且S△OAB =，则与夹角的取值范围是．考点：数量积表示两个向量的夹角；三角形的面积公式；平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：设与夹角为θ，（θ∈[0，π]），由于，且，可得=，化为=，再利用，可得．进而解出．解答：解：设与夹角为θ，（θ∈[0，π]），∵，且，∴=，∴=，∵，∴．∴，∴θ．故答案为：点评：本题考查了三角形的面积公式、向量的数量积和夹角公式和计算力量，属于中档题．14．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（4，π），曲线C的参数方程为（α为参数），则过点M与曲线C相切的直线方程为7x ﹣24y+68=0和x=4 ．考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，分切线的斜率不存在、存在两种状况，分别求得切线的方程．解答：解：依据点M的极坐标为（4，π），可得点M的直角坐标为（4，4），把曲线C的参数方程为（α为参数），消去参数化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=9，表示以（1，0）为圆心、半径等于3的圆．当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=4，当切线的斜率存在时，设切线的方程为y﹣4=k（x﹣4），即 kx﹣y+4﹣4k=0，由圆心到切线的距离等于半径，可得 6k2﹣24k﹣13=0，求得k=，故切线的方程为 7x﹣24y+68=0，综上可得，圆的切线方程为：7x﹣24y+68=0和x=4，故答案为：7x﹣24y+68=0和x=4．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类争辩的数学思想，属于基础题．15．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立；②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是①②③．考点：命题的真假推断与应用．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：①c=0，f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），由奇函数的定义推断②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=，依据函数的图象可得结论；③由于f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx 向上或向下平移了|c|各单位，故可得结论；④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，若b≤0，则f（x）有最小值．解答：解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣x|﹣x|+b（﹣x）=﹣f（x），故①正确；②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=，由于c＞0，所以当x＞0时，函数顶点在x轴上方且开口向上，图象与x轴无交点，当x＜0时，图象顶点在x轴上方且开口向下，图象与x轴只有一个交点，故方程f（x）=0只有一个实数根，命题②正确；③由于f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，所以y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题③正确；④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，若b≤0，则f（x ）有最小值，故④不正确综上，正确的命题的序号是①②③故答案为：①②③点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及函数图象在解题中的运用，要求考生娴熟把握函数的性质，并能机敏运用性质求解．三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+3（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f（A）=4，求b+c的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和公式对函数解析式整理后，利用三角函数周期公式求得最小周期，然后利用三角函数性质求得函数的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）的值，求得A，进而利用正弦定理分别表示出b和c，然后利用两角和公式整理后，利用三角函数的性质求得b+c的最大值．解答：解：（Ⅰ）=2sin（2x+）+3 ∴f（x）的最小正周期T==π由得∴f（x ）的单调递减区间为，（Ⅱ）由f（A）=4得2sin（2A+）+3=4，sin（2A+）=∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=，∴又∵===2，∴=∴当时，b+c最大为2点评：本题主要考查两角和公式的运用，正弦定理的应用，三角函数的性质等学问点．考查了同学对三角函数基础学问的综合运用．17．乒乓球赛规定：一局竞赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜败结果相互独立，甲、乙的一局竞赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开头第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）记A i为大事“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=．“开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为大事+A 2+，由此能求出开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率．（2）由题意ξ=0，1，2，3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出Eξ．解答：解：（1）记A i为大事“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=．“开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为大事+A 2+，其概率为P （+A 2+）=2×××+××=，即开头第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为．…（6分）（2）由题意ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）=××=，P（ξ=1）=2×××+（）3=，P（ξ=2）=2×××+××=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，认真解答，留意概率学问的合理运用．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅱ）设M是线段BD 上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）说明DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．求出A，F，E，B，C的坐标，设平面BEF 的法向量为=（x，y，z），利用，求出，说明为平面BDE 的法向量，通过，求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．（Ⅱ）设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF ，通过，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到的值．解答：解：（Ⅰ）由于DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．由于ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．由于BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，所以．由AD=2可知DE=，AF=．则A（3，0，0），F（3，0.），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以，，（8分）设平面BEF 的法向量为=（x，y，z ），则，即，令z=，则=（4，2，）．由于AC⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，=（3，﹣3，0），所以==．由于二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D 的余弦值为．（8分）（Ⅱ）解：点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则，由于AM∥平面BEF ，所以，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），符合题意．（12分）点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，空间向量与空间直角坐标系的应用，考查计算力量．19．已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）的图象上位于第一象限内的一点，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，过O、F、P三点的圆的圆心为Q，点Q 到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点N（﹣4，0）作x轴的垂线l，S、T为l上的两点，满足OS⊥OT，过S及T分别作l的垂线与抛物线C分别相交于A与B，直线AB与x轴的交点为M，求证：M是定点，并求出该点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得，由此能示出抛物线C的方程．（Ⅱ）设，由题意推导出A （4，4），B（4，﹣4），直线AB过定点（4，0），由此能证明M为定点（4，0）．解答：（Ⅰ）解：由题意得：点Q 的横坐标为，则所以抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）证明：设，所以由题意，，当y1+y2=0时，y1=﹣y2，则y1=4，y2=﹣4，A（4，4），B（4，﹣4），直线AB过定点（4，0），当直线AB方程为y﹣y1=．即M（4，0），综上过定点M（4，0）．点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与x轴的交点为定点的证明，解题时要认真审题，留意函数与方程思想的合理运用．20．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围考点：等比关系的确定；利用导数争辩函数的极值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，依据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而依据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知﹣64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，进而可知x3﹣12x2+36x+b＜1+45x﹣9x2在x∈[﹣2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=﹣x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（﹣1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[﹣2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=x（x﹣a）2+b=x3﹣2ax+a2x+b，f'（x）=3x2﹣4ax+a2，f'（2）=12﹣8a+a2=0，解得a=2，a=6，当a=2时，函数在x=2处取得微小值，舍去；当a=6时，f'（x）=3x2﹣24x+36=3（x﹣2）（x﹣6），函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．（Ⅱ）f（x）=x3﹣12x2+36x+b，设切点为（x0，x03﹣12x02+36x0+b），则切线斜率为f'（x）=3x02﹣24x0+36，切线方程为y﹣x03+12x02﹣36x0﹣b=（3x02﹣24x0+36）（x﹣x0），即y=（3x02﹣24x0+36）x﹣2x03+12x02+b，∴﹣2x03+12x02+b=0∴b=2x03﹣12x02．令g（x）=2x3﹣12x2，则g'（x）=6x2﹣24x=6x（x﹣4），由g'（x）=0得，x1=0，x2=4．函数g（x ）的单调性如下：∴当﹣64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．（Ⅲ）∵当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，∴x3﹣12x2+36x+b＜1+45x﹣9x2在x∈[﹣2，4]时恒成立，即b＜﹣x3+3x2+9x+1在x∈[﹣2，4]时恒成立．令h（x）=﹣x3+3x2+9x+1，则h'（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x﹣3）（x+1），由h'（x）=0得，x1=﹣1，x2=3．∵h（﹣2）=3，h（﹣1）=﹣4，h（3）=28，h（4）=21，∴h（x）在[﹣2，4]上的最小值是﹣4，b＜﹣4．点评：本题主要考查了用导函数求函数的单调性和极值问题．综合性强，难度大，属中档题．21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}滿足，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：．点评：本小题主要考查数列、不等式等基本学问，考查化归的数学思想方法，考查综合解题力量．考点：等差关系的确定；数列递推式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）整理题设递推式得a n+1+1=2（a n+1），推断出{a n+1}是等比数列，进而求得a n+1，则a n可求．（Ⅱ）依据题设等式可推断出2[（b1+b2+…+b n）﹣n]=nb n和2[（b1+b2+…+b n+b n+1）﹣（n+1）]=（n+1）b n+1．两式相减后整理求得b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n进而推断出{b n}是等差数列．（Ⅲ）利用（Ⅰ）中数列{a n}的通项公式，利用不等式的传递性，推断出，进而推断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入证明原式．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1=2n．即a n=2n﹣1∈N*）．（Ⅱ）证明：∵∴．∴2[（b1+b2+…+b n）﹣n]=nb n，①2[（b1+b2+…+b n+b n+1）﹣（n+1）]=（n+1）b n+1．②②﹣①，得2（b n+1﹣1）=（n+1）b n+1﹣nb n，即（n﹣1）b n+1﹣nb n+2=0，nb n+2﹣（n+1）b n+1+2=0．③﹣④，得nb n+2﹣2nb n+1+nb n=0，即b n+2﹣2b n+1+b n=0，∴b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n（n∈N*），∴{b n}是等差数列．（Ⅲ）证明：∵，k=1，2，n，∴．∵，k=1，2，…，n，∴，∴．。
山东省实验中学高三第一次诊断性测试 (数学理)
山东省实验中学2009届高三第一次诊断性测试数 学 (理科) 2008.11注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至6页.共150分.考试时间120分钟.2．考生一律不准使用计算器.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合P ={1，2，3，4}，Q ={∈≤x x x ,2R }，则P Q 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．已知314sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4cos 的值等于（ ） A ．322 B ．322-C ．31-D ．31 3．函数a ax x f 213)(-+=，在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．511<<-a B ．51>a C ．51>a 或1-<a D ．1-<a 4.设函数2103()10x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)3,(--∞B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．（0，1）5．设)(x f 为奇函数，对任意∈x R ，均有)()4(x f x f =+，若3)1(=-f ，则)3(-f 等于（ ）A ．－3B ．3C ．4D ．－46．已知)34()34(01)1(0c o s )(-+⎩⎨⎧>+-≤=f f x x f x xx f 则π的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2 7．函数y=A (sin ωx +ϕ)(ω >0，2||πϕ<，x ∈R )的部分图象如右下图所示，则函数表达式为 ( ) A ．)48sin(4ππ+=x y B ．)48sin(4ππ-=x yC ．)48sin(4ππ--=x y D ．)48sin(4ππ+-=x y8．若1,10>><<y x a ，则下列关系式中正确的个数是（ ）①yxa a > ②a a y x > ③y x a a log log > ④a a y x log log >A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A =3π, a =3,b =1，则c = （ ） A ．1 B ．2 C ．3—1 D ．3 10．已知)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值是 （ ）A ．0B ．πC ．2π D ．4π 11．某三次函数)(x f y =的图象如下，则函数)(x f y =的解析式可能为 （ ）A ．)()()(2x b a x x f --=B ．)()()(2b x a x x f +-=C ．)()()(2b x a x x f +--=D ．)()()(2b x a x x f --=12．不等式∈-≤+-x x x a 在1)32(log 2R 上恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．[2，+)∞ B ．]2,1(C ．)1,21[D ．]21,0(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|||2|x x >+的解集是 15．=⎰π20sin xdx ；14．函数)6cos()3sin(2x x y +--=ππ（∈x R ）的最小值是 ；16．已知定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在正数K ，都有()f x K ≤成立，则称函数()f x 是D 上的“有界函数”.已知下列函数：①()2sin f x x =；②()f x ；③()12x f x =-；④2()1xf x x =+，其中是“有界函数”的是___________（写出所有满足要求的函数的符号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=<-=1212,2||x x x B a x x A ，若A B=A ，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知对于任意实数x ，二次函数()f x =24212x ax a -++（a R ∈）的值都是非负的，求函数)2|1)(|1()(+-+=a a a g 的值域.19．（本小题满分12分）已知α为第二象限的角，βα,53sin =为第三象限的角，34tan =β. （I ）求)tan(βα+的值. （II ）求)2cos(βα-的值.20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，274sin cos 222A B C +-=,5,a b c +==. （I ）求角C 的大小； （II ）求ABC ∆的面积.21．（本小题满分12分）已知三次函数)0(5)(23≠++-=a d cx x ax x f 图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且)(x f 在x =3处有极值． （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若当x ∈（0，m ）时，)(x f >0恒成立，求实数m 的取值范围.22．（本小题满分14分）设0>a ，函数a x a x x f ++-=1)(2. （I ）若)(x f 在区间]1,0(上是增函数，求a 的取值范围； （II ）求)(x f 在区间]1,0(上的最大值.高三数学试题(理科)参考答案一、 1．A 2．C 3．C 4.B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 二、13．),1(+∞- 14．0 15．1- 16．①②④ ． 三、17．解：解：{}{}222.x x a x a x a -<=-<<+ ---------------------------------3分 }32|{1212<<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=x x x x xB ---------------------------------------------------6分因为,A B A A B ⋂=⊆即, ---------------------------------------------------------------8分所以23.22a a +≤⎧⎨-≥-⎩ ---------------------------------------------------------------------10分解得01a ≤≤，故实数a 的取值范围为［0,1］ --------------------------------------12分 18．解：由条件知()()012244,02≤+--≤∆a a 即，223≤≤-∴a ----------------4分 ①当123<≤-a 时， ()4132)3)(1()(22+--=++-=+-+=a a a a a a g ;49)(23min -=-=∴a g a 时，当;4)(1max ==a g a 时，当4)(49≤≤-∴a g ---------------------------------------------------------------------------------------7分②当2)1()(21+=≤≤a a g a 时，;4)(1min ==∴a g a 时，当;9)(2max ==a g a 时，当9)(4≤≤∴a g ----------------------------------------------------------------------------------------------10分纵上所述，)(a g 的值域为]9,49[------------------------------------------------------------------------12分19．（I ）解：因为α为第二象限的角，53sin =α，所以，54sin 1cos 2-=--=αα，------------------------------------------------2分.43cos sin tan -==ααα ------------------------------------------------------------------ 4分又34tan =β，所以，.247tan tan 1tan tan )tan(=⋅-+=+βαβαβα ---------------------------------------- 6分（II ）解：因为β为第三象限的角，34tan =β， 所以，.53cos ,54sin -=-=ββ------------------------------------------------------------8分 又257sin 212cos ,2524cos sin 22sin 2=-=-==ααααα，--------------------10分 所以，.53sin 2sin cos 2cos )2cos(=+=-βαβαβα -----------------------------12分20．解：（I ）由274sincos 222A B C +-=,得274cos cos 222C C -=， 所以27)1cos 2(2cos 142=--+C C 整理,得24cos 4cos 10C C -+= --------------------------------------------------------4分 解得：1cos 2C =，∴60=C --------------------------------------------------------6分 （II ）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab =+----------① 又5a b +=，∴22225a b ab ++=------------------------------------------------②， ①②联立解得，6ab =-------------------------------------------------------------------- 10分∴11sin 62222ABC S ab C ∆==⨯⨯=--------------------------------------------------12分 21．解：（Ⅰ）∵f （x ）图象过点（1，8），∴a −5+c +d =8，即a +c +d =13 ① …………………………1分 又f /（x ）=3ax 2−10x +c ，且点（1，8）处的切线经过（3，0），∴f /（1）=3108--= −4，即3a −10+c = −4， ∴3a +c =6 ② …………………………3分 又∵f （x ）在x =3 处有极值，∴f /（3）=0，即27a +c =30 ③ …………………………4分 联立①、②、③解得a =1，c =3，d =9，∴f （x ）=x 3−5x 2+3x +9 …………………………6分 （Ⅱ）f /（x ）=3x 2−10x +3=（3x −1）（x −3）由f /（x ）=0得x 1=31，x 2=3 ………………………7分 当x ∈（0，31）时，f /（x ）>0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）>f （0）=9 ………………………9分 当x ∈（31，3）时，f /（x ）<0，f （x ）单调递减， ∴f （x ）>f （3）=0． 又∵f （3）=0，∴当m >3时，f （x ）>0在（0，m ）内不恒成立． ………………………11分 ∴当且仅当m ∈（0，3]时，f （x ）>0在（0，m ）内恒成立．所以m 取值范围为（0，3] ． ………………………12分22．（I ）解：对函数.11)(,)(2+-='x ax x f x f 得求导数 ------------------------------------- 2分要使(]1,0)(在区间x f 上是增函数，只要(]1,0011)(2在≥+-='x ax x f 上恒成立，即(]1,011122在x x x a +=+≤上恒成立------------------------------------------------4分 因为(]1,0112在x +上单调递减，所以(]1,0112在x+上的最小值是2， 注意到a > 0，所以a 的取值范围是(].2,0 ----------------------------------------------6分 （II ）解：①当20≤<a 时，由（I ）知，(]1,0)(在区间x f 上是增函数， 此时(]1,0)(在区间x f 上的最大值是.)21(1)1(a f -+=---------------------------8分 ②当011)(,22=+-='>x ax x f a 令时，解得).1,0(112∈-=a x ---------------------------------------------------------------------10分因为0)(,111;0)(,11022<'<<->'-<<x f x a x f a x 时时， 所以)1,11(,)11,0()(22--a a x f 在上单调递增在上单调递减，此时(]1,0)(在区间x f 上的最大值是.1)11(22--=-a a a f ----------------------13分综上，当20≤<a 时，(]1,0)(在区间x f 上的最大值是a )21(1-+； 当2>a 时，(]1,0)(在区间x f 上的最大值是.12--a a --------------------------14分。