利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)

解：
f ' ( x) 3x 2 a 3, x [0,)
则f ' ( x ) 0在 [0,)上恒成立
即 3x 2 a 3 0, 恒成立 x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x 2 3恒成立
a (3x 2 3) min a 3
3 2 若函数 f ( x ) x ax 1在（ 0,2）内单调递减 , 练习2： 求实数a的取值范围 .
y
①
a 0 3 f ' ( 0) 0
a 1
o x ②
a 0 3 f '(a ) 0 3
a
6 2
分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意 从对称轴，区间端点函数值方面考虑
1 2 例3：设函数f ( x ) ax (2a 1) x 2 ln x.试讨论f ( x )的单调区间 2 解：函数的定义域 (0,)
求得参数范围
例 2： 已知函数 f ( x ) x 3ax 2a x 1在[0,2] 上是单调递增函数
wenku.baidu.com3 2 2
求参数 a的取值范围 .
解：
f ' ( x) 3x 2 6ax 2a 2 , x [0,2]
则f ' ( x ) 0在 [0,2]上恒成立
即 3x 2 6ax 2a 2 0恒成立， x [0,2]
已知函数f ( x) x ax 3x 1在 [2,4] 上是单调递增函数， 例1： 求参数a的取值范围 .
3 2
解：
f ' ( x) 3x 2 2ax 3, x [2,4]
则f ' ( x) 0在 [2,4]上恒成立
即 3x 2 2ax 3 0, 恒成立 x [2,4]
X=a
3 2 2 设 a 为实数，函数 f ( x ) x ax ( a 1) x在 练习1： [0， ）上是增函数 , 求a的取值范围 .
解:
f ' ( x) 3x 2 2ax (a 2 1) 0, x [0,)
[3x 2 2ax (a 2 1)]min 0, x [0,)
1 f ( x )在（ ， 2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)= ln x ax2 （2 a）x, 讨论函数f (x)的单调性
解：f ( x)的定义域为（0， ） 1 (2 x +1)(ax 1) 2ax （2 a） x x 当a 0时, f ( x) 0, 故f ( x)在（0， ）单调递增; f ( x) 当a 0时, 令f ( x) 0，解得x 1 a 1 1 则当x (0, )时，f ( x) 0; x ( , )时，f ( x) 0 a a 1 1 故f ( x)在(0, )单调递增，在( , )单调递减。 a a
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则: 、
则f ( x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内， f ( x)＞0，
则f ( x)在此区间是减函数。 如果在(a,b)内，f ( x)＜0，
2、求函数单调区间的一般步骤是 1、求定义域 2、求导f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0,求出减区间。
方法：（分离参数）
2ax 3x 3恒成立
2
3x 2 3 a , 2x
3x 2 3 a( )min 2x
3x 2 3 令g( x ) , x [2,4] 2x
3 练习1： 已知函数 f ( x ) x ax 3 x 1在[0,)上是单调递增函数，
求参数 a的取值范围 .
2 ( ax 1)( x 2) f ' ( x ) ax (2a 1) x x
2 x (1)当a 0时，f ' ( x ) x
所以f ( x)在（ 0,2）上递增，在（ 2， ）上递减。
1 (2)当a 0时，令f ' ( x ) 0, 得x1 0. x2 2 a
结合二次函数图象知 f ( x)在（ 0,2）上递增； 在（ 2， ）递减。
1 (3)当a 0时，令f ' ( x ) 0, 得x1 0. x2 2 a
1 1 1)当 2即a 时，f ( x )在（ 0， ）上为增函数。 a 2
1 1 1 2)当 2即0 a 时，f ( x )在（ 0， 2）和（ ,)上为增函数 ; a 2 a
解析：
f ' ( x ) 3 x 2ax, x (0,2)
2
则f ' ( x ) 0在（ 0,2）上恒成立
即 2ax 3 x 2 3 a x , x ( 0,2) 2 3 a ( x )max , x (0,2), 2
a3
分离参数法：
分离参数 构造函数g(x) 求g(x)的最值
1 f ( x )在（ 2， ）上为减函数。 a
1 1 1 3)当 2即a 时，f ( x )在（ 0， ）和（ 2,)上为增函数 ; a 2 a
1 f ( x )在（ ， 2）上为减函数。 a
综上：
(1)当a 0时，f ( x)在（ 0,2）上递增，在（ 2， ）上递减。
1 (2)当a 时，f ( x )在（ 0， ）上为增函数。 2 1 1 (3)当0 a 时，f ( x )在（ 0， 2）和（ ,)上为增函数 ; 2 a 1 f ( x )在（ 2， ）上为减函数。 a 1 1 (4)当a 时，f ( x )在（ 0， ）和（ 2,)上为增函数 ; 2 a
即f ' ( x )min 0, x [0,2]
而f ' ( x)为二次函数，开口向上 ， 对称轴为x a
f ' ( x) 3x 6ax 2a 0, x [0,2]
2 2
即 (3 x 2 6ax 2a 2 )min 0, x [0,2]
y
o
2
x
X=a
X=a