量子力学复习题--大题

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

E=hv ，

h P =

如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么

p E μ22

= 如果我们考察的是相对性的光子，那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有

λ |

m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296

2=?=????=

==--μμ

在这里，利用了

m eV hc ??=-61024.1

以及

eV c e 621051.0?=μ

最后，对

c hc e 2

2μλ=

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3 氦原子的动能是kT E 2

=（k 为玻耳兹曼常数）

，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。【

解根据

eV K k 3101-=?，

知本题的氦原子的动能为

,105.12

233eV K k kT E -?=?==

显然远远小于2c 核μ这样，便有

c hc 2

2核μλ=

m m 37.01037.0105.1107.321024.193

=?=?????=

---

这里，利用了

eV eV c 962107.3109314?=??=核μ

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相应的德布罗意波长就为

kc hc

c hc 2

22μμλ=

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

.证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：对于定态，可令

)]

()()()([2 ]

)()()()([2 )

(2 )( )

()()(******r r r r i e r e r e r e r i i J e

r t f r t r Et i

Et i

ψψψψμ

ψψ?-?=?-?=ψ?ψ-ψ?ψ===ψ----）（）（，

可见t J 与

无关。

由下列两定态波函数计算几率流密度：

ikr ikr e r

e r -==1

)2( 1)1(21ψψ

从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21

在球坐标中 ?

θθ?θ??

+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0

k r r k r r ik r r r ik r r i r e r

r e r e r r e r i i J ikr ikr ikr ikr

3020

220

1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )

(2 )1(μμμμψψψψμ

==+----=??-??=?-?=-- r J 1

与同向。表示向外传播的球面波。

k r r k r r ik r r r ik r r i r e r r e r e r r e r i i J ikr ikr ikr ikr

3020

220

2*222 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )

(2 )2(μμμμψψψψμ

-=-=---+-=??-??=?-?=--

可见，r J

与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何这个波函数能否归一化

[

∞==?

∞∞

dx dx ψψ*

∴波函数不能按1)

∞

dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 12

==ψ

ω表示粒子在空间各处出现的几率相同。

.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ

描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 <

??≥≤≤≤a x x a x x a

n a x ,0 ,0 0 ,sin 2)(π

ψ 2

222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 能量的几率分布函数为2

)(n C E =ω

先把)(x ψ归一化，由归一化条件， ?

+-=-==

∞

-a

dx x ax a x A

dx x a x A dx x 0

2222

222

)2()()(1ψ

?+-=a dx x ax x a A 0

43222)2(

)523(5

25552

a A a a a A =+-= ∴5

a A =

∴ ?

-??=

n dx x a x x a n a

a C 0

5)(sin 302π ;

]sin sin [1520

203

x xd a n x x xd a n x a a a a ??-=ππ

x a n n a x a n x n a x a n x n a x a n n a x a n x n a a 0

222

2323]cos 2sin 2 cos sin cos [152πππππ

πππππ--

++-=

])1(1[15

3n n --=

∴ 26

])1(1[240

)(n n

n C E --=

=π

ω ???

??=== ,6 ,4 ,20

5 3 1960

66n n n ，，，，，π

∞

-a

dx x p

x dx x H

x E 02)(2?)()(?)(ψμψψψ

--?-=

dx a x x dx d a x x a 0

)](2[)(30μ

)32(30)(303

a a a

dx a x x a a

-=-=

μμ

μ = 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 …

??<≥∞=a r a r r U ,0;

,)(

求粒子的能级和定态波函数。

解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数

0=ψ (a r ≥)

由于在a r <的区域内，0)(=r U 。只求角动量为零的情况，即0= ，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?θ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与?θ、无关。设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为

ψψ

μE dr

d r dr d r =-

)(1222 令 222 ,)(

k rE r U μψ=

=，得 022

2=+u k dr

d 其通解为

kr r

kr r A r kr

B kr A r u sin cos )(sin cos )( +=

-∴+=ψ —

波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0 ∴ kr r

r sin )(=

ψ 由波函数的连续性条件，有

0sin 0)(=?=ka a

a ψ

∵0≠B ∴),2,1( ==n n ka π

n k π=

∴

r a

n r B r πψsin )(=

其中B 为归一化，由归一化条件得

∴ a

B 21π=

∴ 归一化的波函数

a n a

r ππψsin

21)(=

求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为

),(),(2),(21222

22t p EC t p C p t p C dp d =+-μμω 即

两边乘以

，得

）

令

μωββμωξ1

, 1

p p

λ E

0),()(),(22

=-+t p C t p C d d ξλξ

跟课本式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

E i

n p n n n e p H e N t p C n E --=+=)(),()(222121βω

β 式中n N 为归一化因子，即 2/12

/1)!

n N n

n π

β=

.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：2222

22222

1221?21?x x x p H μωμμωμ+??-=+= 《

?='dx x H x H p p p p )(?)(*ψψ

?'-+??-=dx e x x e x p i

px i

12(212222

2μωμπ ??∞∞--'∞∞--'+'-=dx e x dx e p i x p p i

x p p i )(22)(22212121)(2 πμωπμ

?∞∞--''??+-''=dx e p

i p p p x p p i

)(22

222)(2121)(2 πμωδμ

)(21)(22

222p p p p p p -''??--'=δμωδμ )(21)(222

222p p p

p p p -'??--'=δμωδμ 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H

'?的作用，微

扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112

，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

解：由微扰公式得

nn n

H E '=)

1( —

∑-'=m

mn n E

H E )0()0(2'

)

得 b H E b H E ='=='=22)

1(0211)1(01

012

0012

)

2(01

E E a E E H E

-'=∑

∴ 能量的二级修正值为

02012

011E E a b E E -++=

022

022E E a b E E -++=

计算氢原子由2p 态跃迁到1s 态时所发出的光谱线强度。

解：2112212ω ?=→→s p p s p A N J

246310782 83 32

s s

p e c e N μμ???=

3814

265232c

e N s p

μ??= eV 2.1021=ω

20431065

232a c e N s p ??=

W N p 92101.3-??=

若 9210-=p N ，则 W J 1.321= #

.证明：i z y x =σσσ

???

证：由对易关系z x y y x i σσσσσ

?2????=- 及反对易关系0????=+x y y x σσσσ

，得 z y x i σσσ

???= 上式两边乘z σ

?，得 ;

2????z z y x i σσσσ

= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ

??? 设氢的状态是 ?????

??-=),()(23),()(2

110211121?θ?θψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量z L ?和自旋角动量z 分量z

S ?的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2?

μ--= 的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

解：ψ可改写成

???

? ??-???? ??=

10),()(23

01),()(2110211121?θ?θψY r R Y r R z z S Y r R S Y r R (),()(23

)(),()(212

11021211121--=

χ?θχ?θ

从ψ的表达式中可看出z

L ?的可能值为 0 相应的几率为

41 4

3 4

?z L z

S ?的可能值为 2 2

相应的几率2

i C 为

41 4

4324122

-=?-?=

=∑zi i z S C S )4

(422 -?-?-=--

=μμμμe e S e L e M z z z B M e 4

42=?=