2015届高考数学必会题型专题2《不等式与线性规划》第6练

第6练 处理好“线性规划问题”的规划 题型一 不等式组所确定的区域问题 例1 已知点M(x，y)的坐标满足不等式组 x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则此不等式组确定的平面区域的

面积S的大小是________． 破题切入点 先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积． 答案 1

解析 作出不等式组  x－2≤0，

y－1≤0，x＋2y－2≥0表示的平面区域，

如图所示，则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S＝12×2×1＝1. 题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题

例2 若变量x，y满足约束条件 x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________． 破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z＝2x＋y的几何意义，即可求得最大值与最小值． 答案 6 解析 画出可行域，如图所示，由图象， 可得当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4； 当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2.故填6. 题型三 利用线性规划求解实际应用题 例3 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元． 破题切入点 设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z＝1 600x＋2 400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低． 答案 36 800 解析 设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆， 所用的总租金为z元，则z＝1 600x＋2 400y，

其中x，y满足不等式组 36x＋60y≥900，y－x≤7，y＋x≤21.(x，y∈N) 画出可行域，可知在x＝5，y＝12时， 可载客36×5＋60×12＝900(人)， 符合要求且此时的总租金z＝1 600×5＋2 400×12＝36 800，达到最小值．

题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题

例4 设变量x，y满足约束条件 y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，则lg(y＋1)－lg x的取值范围为________． 破题切入点 先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lg y＋1x，利用数形结合的方法解t＝y＋1x的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围． 答案 [0,1－2lg 2]

解析 如图所示，作出不等式组 y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8确定的可行域．

因为lg(y＋1)－lg x ＝lg y＋1x，设t＝y＋1x， 显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率． 由图，可知点P在点B处时，t取得最小值； 点P在点C处时，t取得最大值．

由 x－2y＋1＝0，2x＋y＝8，解得 x＝3，y＝2，即B(3,2)；

由 y＝3x－2，2x＋y＝8，解得 x＝2，y＝4，即C(2,4)． 故t的最小值为kBE＝2－－13＝1， t的最大值为kCE＝4－－12＝52， 所以t∈[1，52]． 又函数y＝lg x为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t∈[0，lg 52]， 即lg(y＋1)－lg x的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2， 所以lg(y＋1)－lg x的取值范围为[0,1－2lg 2]． 总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础． (2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y＝kx，再平移此直线． (3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．

1．实数x，y满足 y≥|x－1|，y≤1，则不等式组所围成图形的面积为________． 答案 1

解析 实数x，y满足  y≥|x－1|，

y≤1， 它表示的可行域如图所示． 不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)， 所以所围成图形的面积为12×2×1＝1.

2．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域 x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________． 答案 [0,2]

解析 作出可行域，如图所示，由题意OA→·OM→＝－x＋y. 设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴OA→·OM→的取值范围是[0,2]． 3．若变量x，y满足约束条件 y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________. 答案 6

解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.

由 y＝x，y＝－1得 x＝－1，y＝－1， ∴A(－1，－1)． 由 x＋y＝1，y＝－1得 x＝2，y＝－1， ∴B(2，－1)． 当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.

4．设m>1，在约束条件 y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________． 答案 (1,1＋2) 解析

变形目标函数为y＝－1mx＋zm，由于m>1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由 y＝mx，x＋y＝1，得交点A11＋m，m1＋m，所以目标函数的最大值是11＋m＋m21＋m<2，即m2－2m－1<0， 解得1－25．若P是满足不等式组 y≤x，x＋y－2≤0，y>0表示的平面区域内的任意一点，点P到直线3x＋4y－12＝0的距离为d，则d的取值范围是________． 答案 [1，125)

解析 作出可行域为△AOB(但不包括OB上的点)及直线3x＋4y－12＝0，如图所示．

结合图形，可知点A(1,1)到直线3x＋4y－12＝0的距离最小， 最小值dmin＝|3＋4－12|5＝1； 原点O(0,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离最大， 最大值dmax＝|0×3＋0×4－12|5＝125. 又y>0，所以d∈[1，125)．

6．设关于x，y的不等式组 2x－y＋1>0，x＋m<0，y－m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0

＝2，则m的取值范围是________． 答案 (－∞，－23)

解析 问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m<0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，故－m－2m－2>0，即m<－23.

7．设变量x，y满足约束条件 x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值为________． 答案 3

解析 如图所示，作出不等式组所表示的可行域，故当直线y＝34x－14z在x轴上的截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由图，可知当y＝34x－14z经过点C时z取得最大值，由

 x－5y＋10＝0，x＋y－8＝0，解得 x＝5，

y＝3，即C(5,3)，故目标函数的最大值为z＝3×5－4×3＝3.

8．已知不等式组 x≤1，x＋y＋2≥0，kx－y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________． 答案 1

解析 依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S△OAD＋S△OBC最小，又直线x＋y＋2＝0与y轴的交点的坐标为A(0，－2)，直线x＋y＋2＝0与y＝kx的交点的坐标为D(－2k＋1，－2kk＋1)，直线y＝kx与x＝1的交点的坐标为C(1，k)，k≥0，

所以S△OAD＋S△OBC＝12|OA|·|xD|＋12|OB|·|yC|＝2k＋1＋12·k＝2k＋1＋12＋k2－12＝2k＋1＋k＋12－12≥2－12＝32，当且仅当2k＋1＝k＋12时取等号，即k＝1或k＝－3(舍去)．

所以满足条件的k的值为1. 9．4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之