江苏省苏州市相城区度九年级数学上学期期中试卷
苏州市九年级上学期期中数学试卷
苏州市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）函数的最小值是（）A . 1B . －1C . 2D . －22. （2分） (2017九上·深圳期中) 下列命题正确的是（）A . 方程x2-4x+2=0无实数根；B . 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C . 甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是D . 若是反比例函数，则k的值为2或-1。
3. （2分） (2016九上·金东期末) “a是实数，|a|≥0”这一事件是（）A . 必然事件B . 不确定事件C . 不可能事件D . 随机事件4. （2分） (2016九上·桐乡期中) 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是（）A . 三人赢的概率都相等B . 小文赢的概率最小C . 小亮赢的概率最小D . 小强赢的概率最小5. （2分）有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个6. （2分） (2016九上·桐乡期中) 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图像是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016九上·桐乡期中) 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A . y=﹣（x﹣1）2﹣2B . y=﹣（x+1）2﹣2C . y=﹣（x﹣1）2+2D . y=﹣（x+1）2+28. （2分） (2016九上·桐乡期中) 已知函数y=3x2﹣6x+k（k为常数）的图像经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（，y3），则有（）A . y1＜y2＜y3B . y1＞y2＞y3C . y3＞y1＞y2D . y1＞y3＞y29. （2分） (2016九上·桐乡期中) 已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个10. （2分） (2016九上·桐乡期中) 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m 的值为（）A . ﹣B . 或﹣C . 2或﹣D . 2或﹣或﹣二、填空题 (共10题；共10分)11. （1分）(2017·新疆) 某餐厅供应单位为10元、18元、25元三种价格的抓饭，如图是该餐厅某月销售抓饭情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅销售抓饭的平均单价为________元．12. （1分）已知，可以取，，，中任意一个值，则直线的图象经过第四象限的概率是________.13. （1分） (2016九上·桐乡期中) 从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是________．14. （1分） (2016九上·桐乡期中) 将抛物线y=﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式是________15. （1分） (2016九上·桐乡期中) 把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣m）2+k的形式是________．16. （1分） (2016九上·桐乡期中) 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2 ，OC=1，则半径OB的长为________17. （1分） (2016九上·桐乡期中) 如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=________°．18. （1分） (2016九上·桐乡期中) 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC=100°，则∠D=________度．19. （1分） (2016九上·桐乡期中) 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=﹣ x2+ x+ ．则他将铅球推出的距离是________ m．20. （1分） (2016九上·桐乡期中) 二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点A1 ， A2 ，A3 ，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1 ， B2 ， B3 ，…，B2008在二次函数位于第一象限的图像上，若△A0B1A1 ，△A1B2A2 ，△A2B3A3 ，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长=________三、解答题 (共6题；共76分)21. （15分） (2019七下·丹江口期中) 如图1，在平面直角坐标系中，已知三点坐标，，其中，满足 .（1）求三点的坐标；（2）求的面积；（3）如图2，在下方作，使，交轴于点，交轴于点，求点，的坐标.22. （10分）(2017·响水模拟) 在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标（x，y）．（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣的图象上的概率．23. （15分） (2020九下·中卫月考) 在方格纸中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图甲中，每个小正方形的边长为1，以线段AB为一边的格点三角形随着第三个顶点的位置不同而发生变化.（1）根据图甲，填写下表，并计算出格点三角形面积的平均值；格点三角形面积1234频数（2）在图乙中，所给的方格纸大小与图甲一样，如果以线段CD为一边，作格点三角形，试填写下表，并计算出格点三角形面积的平均值；格点三角形面积1234频数（3）如果将图乙中格点三角形面积记为s，频数记为x，根据你所填写的数据，猜测s与x之间存在哪种函数关系，并求出函数关系式.24. （15分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．25. （6分） (2017九下·盐城期中) 如图所示，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D ， E ， F ， G ， H 五个点分别位于小正方形的顶点上.（1）现以D ， E ， F ， G ， H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是________（只需要填一个三角形）；（2）先从D ， E两个点中任意取一个点，再从F ， G ， H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，画树状图求所画三角形与△ABC面积相等的概率.26. （15分）(2017·临沂模拟) 如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共10题；共10分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共6题；共76分)21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。
苏教版九年级数学上册期中测试卷【含答案】
苏教版九年级数学上册期中测试卷【含答案】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．一5的绝对值是（ ）A ．5B ．15C ．15-D ．－52．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．5{1+52x y x y =+=C ．5{2-5x y x y =+=D ．-5{2+5x y x y == 3．若x 是3的相反数，|y|=4，则x-y 的值是（ ）A ．-7B ．1C ．-1或7D ．1或-74．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax 2+bx+c ＝0(a ，b ，c 为常数)B ．x 2﹣x ﹣2＝0C ．211x x +﹣2＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣16．已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（ ）A ．2B ．22﹣2C ．22+2D ．227．如图，直线AB ∥CD ，则下列结论正确的是（ ）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180°8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．12B．1 C．2D．29．若关于x的一元二次方程2210x x kb-++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b=+的图象可能是:（）A． B．C． D．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．9的算术平方根是__________．2．分解因式：a3－a=___________3．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝__________．4．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含a 、b 代数式表示）.5．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=45,D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为__________.6．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a ，3），点B 的坐标是（4，b ），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab=__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：214111x x x ++=--2．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a -，其中2，b=12．3．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y （元）与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA ∥x 轴，AC 是射线．（1）当x ≥30，求y 与x 之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？4．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12 ，求AC的长．5．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．请根据图中信息解决下列问题：（1）共有多少名同学参与问卷调查；（2）补全条形统计图和扇形统计图；（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．6．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、A3、D4、D5、B6、B7、D8、B9、B10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、3．2、(1)(1)a a a -+3、-12或14、a+8b5、86、12三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、3x =-2、原式=a b a b -=+3、（1）y=3x ﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时．4、（1）略；（2）.5、（1）参与问卷调查的学生人数为100人；（2）补全图形见解析；（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．6、(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A 型34台、B 型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.。
江苏省苏州中学伟长实验部2024-2025学年上学期九年级数学期中试题
江苏省苏州中学伟长实验部2024-2025学年上学期九年级数学期中试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，二次函数2()y a x h =-（0a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．若二次函数21y x x m =++-的图象经过第一、二、三象限，则m 满足的条件是（）A ．1m ≥B ．1m >C ．504m <<D ．514m ≤<3．若二次函数y ＝（x -m ）2-1，当x ≤3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．m ＝3B ．m ＞3C ．m ≥3D ．m ≤34．如图，在ABC V 中，4sin 5B =，1tan 2C =，5AB =，则BC 的长为（）A ．9B ．10C ．11D ．125．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得，αβ∠=∠=ABC ADC ．则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）A ．tan tan αβB ．cos cos αβC ．sin sin αβD ．sin sin βα6．当a 取任何实数时，点P ()21,3a a --都在抛物线上，若点Q (),m n 在抛物线上，则22m m n +-的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定7．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线21:(1)2C y x =-++平移到抛物线22:(2)1C y x =---，点()1,P m n ，()2,Q m n 分别在抛物线1C ，2C 上．甲：无论m 取何值，都有20n <．乙：若点P 平移后的对应点为P '，则点P 移动到点P '的最短路程为丙：当31m -<<时，随着m 的增大，线段PQ 先变长后变短，下列判断正确的是（）A ．只有丙说得错B ．只有乙说得错C ．只有甲说得对D ．甲、乙、丙说得都对8．定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712二、填空题9．已知a 为锐角，tan （90°﹣a ）=3，则a 的度数为.10．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点()10-，，则方程220ax ax c -+=的解为．11．如图，一艘船由A 港沿北偏东65︒方向航行至B 港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20︒方向，则A ，C 两港之间的距离为km ．12．如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC V 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为．13．如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与点B 关于CE 对称，则cos HCD ∠的值为．14．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2-，且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc <；②20a b -<；③10a -<<；④284b a ac +>；⑤1a c +<．其中正确的是（填序号）15．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式ab S k=来估算叶面的面积，其中a ，b 分别是稻叶的长和宽（如图1），k 是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的47处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k 的值约为（结果保留小数点后两位）．16．如图，ABC V 的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin 2C ∠=．三、解答题17．计算：2cos45cos602sin 30tan 60︒+︒︒-︒18．解不等式：2320x x -++≥．19．解关于x 的不等式：2220x kx k --≤．20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；（2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．21．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：70y x =-+3070x ≤≤（）．设这种双肩包每天的销售利润为W 元．(1)当销售单价40x =时，则每天的销售利润W =；(2)求W 与x 之间的函数解析式；(3)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？22．阅读下列材料：(1)如图1，在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，求证：sin sin b c B C=；(2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知67A ∠=︒，53B ∠=︒，80AC =米，求A 的长（结果保留根号．参考数据：sin530.8︒≈，sin670.9︒≈）23．已知关于x 的方程2(3)60x a x a -+++=的两个实数根都大于2且小于4，试求实数a 的取值范围．24．图①是某种可调节支撑架，BC 为水平固定杆，竖直固定杆AB BC ⊥，活动杆AD 可绕点A 旋转，CD 为液压可伸缩．．．支撑杆，已知10cm AB =，20cm BC =，50cm AD =．(1)如图②，当活动杆AD 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）；(2)如图③，当活动杆AD 绕点A 由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且3tan 4α=（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）．25．已知二次函数22443y x mx m =-++（m 为常数）．(1)证明：不论m 为何值，该函数图象与x 轴没有公共点．(2)当自变量x 的值满足21x -≤≤时，与其对应的函数值y 的最小值为4，求m 的值．26．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H 离地竖直高度OH 为1.5m ．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度0.5m EF =．内边缘抛物线2y 是由外边缘抛物线1y 向左平移得到，外边抛物线1y 最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.5m ，(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；(2)求内边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；(3)当1m BD =时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．27．如图①，二次函数2y x bx c =++的图象1C 与开口向下．．．．的二次函数图象2C 均过点()1,0A -，()3,0B ．(1)求图象1C 对应的函数表达式；(2)若图象2C 过点0,6，点P 位于第一象限，且在图象2C 上，直线l 过点P 且与x 轴平行，与图象2C 的另一个交点为Q （Q 在P 左侧），直线l 与图象1C 的交点为M ，N （N 在M 左侧）．当PQ MP QN =+时，求点P 的坐标；(3)如图②，D ，E 分别为二次函数图象1C ，2C 的顶点，连接A ，过点A 作AF AD ⊥．交图象2C 于点F ，连接EF ，当EF AD ∥时，求图象2C 对应的函数表达式．。
江苏省苏州市园区五校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷
江苏省苏州市园区五校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．2(2)x x x x +=-C ．213x x-=D ．22x x=2．抛物线()234y x =-+的顶点坐标是（）A ．()3,4-B ．()3,4-C ．()3,4--D ．()3,43．已知O 的半径为4，平面内有一点M ．若5OM =，则点M 与O 的位置关系是（）．A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．不能确定4．将抛物线221y x =-向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A ．()2213y x =+-B ．()2121y x =-+C ．()2213y x =--D ．()2211y x =++5．下列说法正确的是（）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴6．如图，已知AB 是O 的直径，D ，C 是劣弧EB 的三等分点，35BOC ∠=︒，那么AOE ∠=（）A ．35︒B ．75︒C ．80︒D ．115︒7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定8．如图，已知P 是O 外一点，Q 是O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP OM ，，若O 的半径为4，8OP =，则线段OM 的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题9．关于x 的一元二次方程2410mx x --=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．10．已知抛物线2y x bx c =++的部分图像如图所示，则方程20x bx c ++=的解是11．用配方法解方程x 2-2x=1时，配方后得到的方程．．为.12．若点()11A y -，，212B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()32C y ，在抛物线()22y x k =-+上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（用“>”连接）13．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，则共有个班参赛．14．如图，O 的直径10cm CD =，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，:3:5OM OC =，则AB 的长为cm ．15．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴的交点B 在()0,2-和()0,1-（不包括这两点），对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③244ac b a -<-；④113a <<．其中正确结论有．（填写所有正确结论的序号）16．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣6（a ＞0）的图象与x 轴的交点A 坐标为（n ，0），顶点D 的坐标为（m ，t ），若m +n ＝0，则t ＝三、解答题17．解下列方程：(1)2650x x --=；(2)()()51210x x x -+=-．18．已知：关于x 的一元二次方程22210x mx m ++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为4，求m 的值．19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m ﹣1）x +m 2＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x 1，x 2，若x 12+x 22＝8﹣3x 1x 2，求m 的值．20．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．21．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作O 割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD 组合而成的图形（点B 、C 在O 上），其中BC EF ∥，已知O 的半径为2.5cm ， 1.4cm, 2.6cm BC AB ==， 4.8cm EF =，求香水瓶的高度h 为多少？22．规定：若某一个函数图象上存在一个点的横坐标与其纵坐标互为相反数，则称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．(1)若抛物线253y ax x a =-+-（a 为常数）上有且只有一个“反点”，求a 的值；(2)若抛物线()212y a x bx =-++（a 、b 为常数，1a ≠）对于任意的常数b 恒有两个“反点”，求a 的取值范围．23．近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点,,A B C ．(1)请用尺规作图画出该残片的圆心；(2)若ABC V 是等腰三角形，底边16cm BC =，腰10cm AB =，求圆片的半径R 24．如图，抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．(1)结合函数图象，当04x ≤≤时，直接写出y 的取值范围：_____；(2)若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，求四边形ABCM 面积的最大值．25．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为12平方米，求DF 的长；(2)当点D 在线段BA 延长线上，DF 为多少时，小型农场DBEF 的面积最大？最大面积为多少平方米？26．如何确定隧道中警示灯带的安装方案？素材12022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB 为10m ，高OC 为5m ．素材2货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm 的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m （灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5m （载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm ．灯带安装好后成轴对称分布．问题解决任务1确定隧道形状在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究安装范围在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．任务3拟定设计方案求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系求出最右边一条灯带安装点的横坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数240y ax bx a =++<（）的图象与x 轴交于点()2,0A 和点()4,0B -(1)求二次函数的表达式；(2)过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，①如图1，点E 为抛物线对称轴上一点，且90DEB ∠=︒，求点E 的坐标；②如图2，点P 为抛物线上一点，连接DP 交y 轴于点E ，若1452BDP DEO ∠=︒+∠，求点P的坐标。
2022-2023学年江苏省苏州市苏州中学九年级上学期期中考试数学试卷带讲解
苏州中学园区校初三数学期中试卷一、选择题（共30分）1.O 的半径为2，线段4OP ，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在圆内B.点P 在圆上C.点P 在圆外D.无法确定C【分析】由⊙O 的半径分别是2，点P 到圆心O 的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P 与⊙O 的位置关系．【详解】解：∵⊙O 的半径是2，点P 到圆心O 的距离为4，∴点P 与⊙O 的位置关系是：点在圆外．故选：C.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．2.下列命题中，正确的是（）A.平面上三个点确定一个圆B.等弧所对的圆周角相等C.弦是直径D.同圆或等圆中，相等的弦．所对的圆周角相等D【分析】根据不共线三点确定一个圆，圆周角定理及其推理，圆的相关定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A.平面上不共线三个点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；B.同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故该选项不正确，不符合题意；C.最长的弦是直径，故该选项不正确，不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了命题，确定圆的条件，圆周角定理及其推理，圆的相关定义，掌握以上知识是解题的关键．3.已知A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （3，y 3）三点都在二次函数y ＝﹣2（x +2）2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A.y 1＞y 2＞y 3B.y 2＞y 1＞y 3C.y 2＞y 3＞y 1D.y 3＞y 2＞y 1B 【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】把A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （3，y 3）分别代入y ＝﹣2（x +2）2得y 1＝﹣2（－4+2）2＝﹣8，y 2＝﹣2（－３+2）2＝﹣2，y 3＝﹣2（３+2）2＝﹣50，所以y 2＞y 1＞y 3．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数函数值大小的比较，实数的运算等知识，在已知函数关系式及自变量的情况下，关键是计算出函数值．4.若抛物线²8y x bx =-+的顶点在x 轴上，则b ＝（）A.±B.-C.-D.±A【分析】根据题意顶点纵坐标为零，令0y =，根据判别式为0，列方程求解即可．【详解】解：∵抛物线²8y x bx =-+的顶点在x 轴上，令0y =，则280x bx -+=2480b ∆=-⨯=,解得：b =±,故选A ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．5.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A.1B.：1C.3：2：1D.1：2：3B【分析】设圆的半径为R ，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可．【详解】设圆的半径为R ，如图(一)，连接OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则∠OBC =30°，BD =OB ⋅cos30°=32R ，故BC =2BD ；如图(二)，连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于E ，则△OBE 是等腰直角三角形，2BE 2=OB 2，即BE =2R ，故BC R ；如图(三)，连接OA 、OB ，过O 作OG ⊥AB ，则△OAB 是等边三角形，故AG =OA ⋅cos60°=12R ，AB =2AG =R ，R ∶R ∶1．故选B ．【点睛】本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．6.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得0.8m,BC =并且,AB BC ⊥则这个油桶的底面半径是（）A.1.6mB.1.2mC.0.8mD.0.4mC【分析】根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可．【详解】如图所示：设油桶所在的圆心为O ，连接OA ，OC ，∵AB 、BC 与⊙O 相切于点A 、C ，∴OA ⊥AB ，OC ⊥BC ，又∵AB ⊥BC ，OA =OC ，∴四边形OABC 是正方形，∴OA =AB =BC =OC =0.8m ，故选：C ．【点睛】考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质．7.如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是 BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（） A.35︒ B.38︒ C.40︒ D.42︒C【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD ，如图所示：∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm ，则圆锥母线长是()A.5cmB.10cmC.12cmD.13cmD 【详解】1=65102110r 65132s lr l r ππππ==⋅=∴= 扇形即∴选D9.已知二次函数22(y x mx m =-为常数)，当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为2-，则m 的值是（）A.32B.C.32±D.32-D【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x =m ，解答时，分m ＜-1，-1＜m ＜2，m ＞2三种情形求解即可．【详解】解：∵二次函数22y x mx =-（m 为常数），∴抛物线的对称轴为直线x =22m--=m ，当m ＜-1时，-1＜x ＜2表示的数在对称轴的右侧，∵二次函数22y x mx =-（m 为常数）中，a =1＞0,∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴当x =-1时，函数y 取得最小值，即1+2m =-2，解得m =32-；当-1＜m ＜2时，∵二次函数22y x mx =-（m 为常数）中，a =1＞0,函数有最小值，∴当x =m 时，y 取得最小值，即222m m -=-2，解得m 或m （不在范围内，舍去）；当m ＞2时，∵二次函数22y x mx =-（m 为常数）中，a =1＞0,∴在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，∴当x =2时，函数y 取得最小值，即4-4m =-2，解得m =32，（不在范围内，舍去）综上所述，m 或32-，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键．10.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以相同的速度分别沿AB ，CD 向终点B ，D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为（）A. B.- C.2cm D.2)cm-B【分析】根据正方形的性质得出当E 、F 运动到AB 、CD 的中点时，AG 最小解答即可．【详解】解：由题意，AE CF =，如图，连接AC 交EF 于点O ，则45EAO FCO ∠=∠=︒，AOE COF ∠=∠，AE CF =，∴()AOE COF AAS ≌，∴AO CO =，即点O 是正方形ABCD 的中心，连接BO ，则BO ==，BG EF ⊥，∴90OGB ∠=︒，∴点G 在以OB 为直径的圆上，取OB 的中点M ，连接AM ，MG ，∴12MG BM OM BO ====在运动过程中，AG AM MG ≥-(),,=A G M 当共线时，取“”号；作MNAB ⊥于N ，由45ABO ∠=︒，得BMN 是等腰直角三角形，∴1BN MN ===，∴413AN AB BN =-=-=，∴AM ==，∴AG 故选B .【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质得出当E 、F 运动到AB 、CD 的中点时，AG 最小是解题关键．二、填空题（共30分）11.已知函数()||234m y m x x =+－－的图像是抛物线，则m =_______．－2【分析】根据二次函数的定义列式求解．【详解】解：由题意得2m =且m －2≠0，解得m =－2．故答案为：－2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．12.将抛物线()2233y x =-++以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________．()2233y x =--【分析】求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可．【详解】解：∵抛物线()2233y x =-++的顶点为()33-，，绕原点旋转180度后变为()33-，，且开口相反，∴得到的抛物线解析式为()2233y x =--，故答案为：()2233y x =--．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．13.已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x …-3-2-10…y…-2-5-6-5…则a +b +c 的值是_____．2-【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为x ＝-1，然后求出（1，y ）关于x ＝-1的对称点坐标，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：由表格可知：（-2，-5）与（0，-5）是关于对称轴对称的，∴该二次函数的对称轴为x ＝-1，设二次函数图象上的点为（1，y ），（x ，y ）由对称性可知：12x+＝-1，∴x ＝-3，∴（1，y ）与（-3，y ）关于x ＝-1对称由表格可知：x ＝-3时，y ＝-2，令x ＝1代入2++y ax bx c =，∴y ＝a +b +c ＝-2故答案为：2-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．14.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是_____．13x -＜＜【分析】利用函数图象与x 轴的一个交点坐标与对称轴方程求解另一个交点坐标，然后写出函数图象在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1,x =∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，即1x =-或=3x 时，=0y ，∴当13x -＜＜时，0y ＞．故答案为：13x -＜＜．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值0y ＞时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴上方时自变量的范围是关键，体现了数形结合思想．15.如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，∠A ＝30°，OB ＝4，以点O 为圆心，OB 为半径画弧，分别交OA 、AB 于点C 、D ，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）43π-【分析】根据题意，首先证明BD AD =，根据12ABO OCD S S S =-△阴扇形计算即可．【详解】解：9030,AOB A ∠︒∠︒＝，＝ OB ＝4，60B ∴∠︒＝，2AB OB AO ===，OB OD =∴△OBD 是等边三角形6030BOD COD OB BD ∴∠=︒∠︒，＝，＝，2AB OB OB BD ＝，＝， BD AD ∴=，2111304442223603ADO OCD ABO OCD S S S S S ππ⨯⨯∴⨯⨯-⨯-=--△△阴扇形扇形＝＝．故答案为∶433π-．【点睛】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅助线和数据公式是解题关键．16.在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____．1cm或7cm【详解】试题分析：两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；②当弦A和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AF=4cm，CE=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=4cm，OF=3cm，∴EF=OF+OE=7cm．故答案为1cm或7cm．考点：勾股定理，垂径定理点评：本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．17.如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．50【分析】首先利用切线长定理可得PA=PB，再根据∠OBA=∠BAC=25°，得出∠ABP的度数，再根据三角形内角和求出．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点，∴PA =PB ，∠OBP =90°，∵OA =OB ，∴∠OBA =∠BAC =25°，∴∠ABP =90°﹣25°=65°，∵PA =PB ，∴∠BAP =∠ABP =65°，∴∠P =180°﹣65°﹣65°=50°，故答案为：50．18.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc >0；③8a +c >0；④9a +3b +c >0．其中，正确结论的序号为_____．①②③【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．【详解】解：∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，故①正确；由图象可知，a >0，c <0，∵对称轴直线x =-2ba=1，∴b =-2a <0，∴abc >0，故②正确；∵对称轴x =-2ba=1时，∴b =-2a ，∵当x =-2时，y >0，∴4a -2b +c >0，∴8a +c >0，故③正确；与图象知，图象与x 轴的一个交点在-2和-1之间，∵对称轴x =1，∴图象与x 轴的另一个交点在3和4之间，∴x =3时，y <0，∴9a +3b +c <0，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握和运用．19.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．289【分析】设直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-，即6a b c +-=，根据小正方的面积为49，可得()249a b -=，进而计算2c 即22a b +即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，∴()23492a b c a b +-=-=，，∴6a b c +-=①，7a b -=②，131,22c c a b +-∴==，222a b c += ③，22213122c c c +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得=17c 或5c =-（舍去），大正方形的面积为2217289c ==，故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-是解题的关键．20.如图，已知抛物线24y ax bx =++与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B 、D ，且点B 的坐标为（4，0），点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，点E 在x 轴上，且BE AB =，连接CE ，取CE 的中点F ，则BF 的长为______．A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称得到，连结AC ，由中位线定理得AC=2BF ，求出AC 长即可得解．【详解】∵点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D （0，4），B （4，0），∴BD =∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴AC ＝BD ＝，连AC ，BE=AB ，CE 的中点是F ，∴BF ＝12AC ＝．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．三、解答题（共70分）21.用配方法或者公式法求下列函数的顶点坐标（1）281y x x =++（2）223y x x=-+（1）()4,15--；（2）39,48⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可写出该函数的顶点坐标；（2）根据顶点坐标公式，可以计算出该函数顶点的横纵坐标，即可写出该函数的顶点坐标．【小问1详解】解：()2281415y x x x =++=+-，∴该函数的顶点坐标为()4,15--；【小问2详解】解：∵223y x x =-+，∴2a =-，3b =，0c =，∴顶点横坐标33244b x a =-=-=-，纵坐标()()224203494428ac b y a ⨯-⨯--===⨯-，∴该函数的顶点坐标为39,48⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是会用配方法和公式法求二次函数的顶点坐标．22.已知某二次函数的图象的顶点为()2,2-，且过点()1,3-．（1）求此二次函数的关系式．（2）判断点()1,9P 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．（1）()222y x =++；（2）点()1,9P 不在这个二次函数的图象上，理由见解析．【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是()222y a x =++，再把点()1,3-代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）把点P 的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．【详解】解：（1）由顶点()2,2-，可设关系式为：()222y a x =++，将点()1,3-代入上式可得：()21223a -++=，解得：1a =，∴此二次函数的关系式为()222y x =++．（2）点()1,9P 不在这个二次函数的图象上．∵当1x =时，()2122119y =++=≠，∴点()1,9P 不在这个二次函数的图象上．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．23.如图，ABC 与O 交于D ，E 两点，AB 是直径且长为12，∥OD BC ．（1）证明：CD DE =；（2）若4=AD ，求CE 的长度．（1）见解析；（2）83CE =【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，以及平角的性质，平行的性质，进行角度的转化，求得C DEC ∠=∠，进而证明CD =DE ；（2）连接OE ，AE ，在Rt ABE 与Rt ACE 中，设CE x =，根据222222,AE AC CE AE AB EB =-=-，列出方程解方程即可求得CE ．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABED 内接于O ，∴180DEB A ∠+∠=︒．∵180DEB CED ∠+∠=︒，∴DEC A ∠=∠．∵∥OD BC ，∴C ADO ∠=∠．∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠．∴C DEC ∠=∠，∴CD DE =．（2）连接OE ，AE ，由（2）得AB =BC =12∴∠AOE =2∠B ，∠B =∠AOD∴∠AOE =2∠AOD∴∠AOD =∠DOE ∴AD =DE∴AC =2AD =8∵AB 是直径：∠AEB =90°在Rt ABE 与Rt ACE 中，222222,AE AC CE AE AB EB =-=-设CE =x ，则BE =12-x∴AC 2-CE 2=AB 2-BE 2即2222812(12)x x -=--．解得：83x =．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．24.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (-1,3)，B (-4,0)，C (0,0)（1）写出△ABC 的外心坐标；（2）将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到11A B O ，画出11A B O（3）在（2）的基础上，求A 旋转路径的长度（1）()2,1-（2）见解析（3）102【分析】（1）根据网格的特点，作,AB OB 的垂直平分线DE ，FG 交于点()2,0-，即△ABC 的外心坐标为()2,1-；（2）分别作出点A 、B 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可得；（3）根据弧长公式计算可得；【小问1详解】如图所示，取,AB OB 的垂直平分线DE ，FG 交于点()2,1-，即△ABC 的外心坐标为()2,1-，故答案为：()2,1-；【小问2详解】如图所示，11A B O 即为所求；【小问3详解】解：∵190OA AOA ==∠=︒，∴A 点旋转到1A 点所经过的路径长为901802ππ⋅=．【点睛】本题考查了求三角形的外心坐标，画旋转图形，勾股定理与网格，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．25.已知二次函数2232y x x m =+﹣﹣：（1）若二次函数图象与x 轴有交点，求m 的取值范围．（2）当二次函数的图象经过点16（﹣，）时，确定m 的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标．（1）258m ≥-（2）=3m ；函数与y 轴交于（0，1），函数与x 轴交于10（，）或12（．【分析】（1）根据二次函数图像与x 轴有交点，可得判别式的取值范围，将系数代入求解即可；（2）将点-16（，）代入函数表达式即可求出m 的值，再分别求出当=0x 时y 的值以及当=0y 时x 的值即可．【小问1详解】解：∵函数与x 轴有交点∴2=3820m --≥ （），∴258m ≥-，【小问2详解】∵图象经过点-16（，），∴236m ++=，得=3m ，∴2231y x x =-+，当=0x 时，=1y ，函数与y 轴交于（0，1），当=0y 时，=1x 或12，函数与x 轴交于10（，）或12（，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及用待定系数法求解函数表达式，熟练掌握根一元二次方程根的情况与二次函数与x 轴交点个数的关系是解题的关键．26.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，以AD 为直径的⊙O 与BC 相切于点E ，交CD 于点F ，连接DE ．（1）证明：DE 平分∠ADC ；（2）已知AD ＝4，设CD 的长为x （2＜x ＜4）．①当x ＝2.5时，求弦DE 的长度；②当x 为何值时，DF •FC 的值最大？最大值是多少？（1）见解析；（210；②x ＝3时，DF •CF 的值最大，最大值为2【分析】（1）连接OE ，根据已知可推出AB ∥OE ∥CD ，可得∠OED ＝∠CDE ，再根据OD ＝OE ，可得∠OED ＝∠ODE ，即可证明；（2）①连接AF 交OE 于H ，由现有条件可推出AB ＝1.5，然后可证四边形ABCF 是矩形，可得AH ＝FH ，AB ＝CF ＝HE ＝1.5，OH ＝OE ﹣EH ＝0.5，可得AH 22AO OH -()2220.5-152，根据勾股定理即可得出答案；②设AB ＝CF ＝m ，根据OE ＝12（AB +CD ），可得x +m ＝4，即可得DF •CF 的函数表达式，根据函数的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接OE ，∵BC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥BC ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴AB ∥OE ∥CD ，∴∠OED ＝∠CDE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠ODE ＝∠CDE ，∴ED 平分∠ADC ；（2）①连接AF 交OE 于H ，∵AB ∥OE ∥CD ，AO ＝OD ，∴BE ＝EC ，∴OE ＝12（AB +CD ），∵OE ＝2，CD ＝2.5，∴AB ＝1.5，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∵∠B＝∠C＝9°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF∥BC，∵OE⊥BC，∴OE⊥AF，∴AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，∴OH＝OE﹣EH＝0.5，∴AH 15 2，∴AH＝FH＝CE＝2，∴DE；②设AB＝CF＝m，∵OE＝12（AB+CD），∴x+m＝4，∴m＝4﹣x，∴DF•CF＝（（4﹣x）（2x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2＜0，∴x＝3时，DF•CF的值最大，最大值为2．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．27.如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．（1）y=﹣x 2﹣2x+3（2）点F 的坐标为（3212-，3212--）（3）当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】【详解】（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=﹣x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．∵y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴当y=0时，x=﹣3，即A 点坐标为（﹣3，0），当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3）．将A （﹣3，0），B （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得93b c 0{c 3--+==，解得b 2{c 3=-=．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3．（2）设第三象限内的点F 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，根据S △AEF =S △AEG +S △AFG ﹣S △EFG =3，列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F 的坐标．如图1，设第三象限内的点F 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m+3），则m ＜0，﹣m 2﹣2m+3＜0．∵y=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D 的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，则G （﹣1，0），AG=2．∵直线AB 的解析式为y=x+3，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2．∴E 点坐标为（﹣1，2）．∵S △AEF =S △AEG +S △AFG ﹣S △EFG =12×2×2+12×2×（m 2+2m ﹣3）﹣12×2×（﹣1﹣m ）=m 2+3m ，∴以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3时，m 2+3m=3，解得m 1=32-+，m 2=32--（舍去）．当m=32-+时，﹣m 2﹣2m+3=﹣m 2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=32-+．∴点F 的坐标为（3212-+，3212-+）．（3）方法1：设P 点坐标为（﹣1，n ），．∵B （0，3），C （1，0），∴BC 2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB 2+BC 2=PC 2，即（0+1）2+（n ﹣3）2+10=（1+1）2+（n ﹣0）2，化简整理得6n=16，解得n=83．∴P 点坐标为（﹣1，83）．∵顶点D 的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣83=43．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 1=43秒．②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB 2+PC 2=BC 2，即（0+1）2+（n ﹣3）2+（1+1）2+（n ﹣0）2=10，化简整理得n 2﹣3n+2=0，解得n=2或1．∴P 点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），∵顶点D 的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 2=2秒，t 3=3秒．③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC 2+PC 2=PB 2，即10+（1+1）2+（n ﹣0）2=（0+1）2+（n ﹣3）2，化简整理得6n=﹣4，解得n=23-．∴P 点坐标为（﹣1，23-）．∵顶点D 的坐标为（﹣1，4），∴PD=4+23=143．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 4=143秒．方法2：以BC 的中点为圆心，BC 为直径画圆，与抛物线的对称轴交于点2P ，3P ，分别过点B ，C 作BC 的垂线与抛物线的对称轴交于点1P ，4P ，当点P 分别运动到以上四个点的位置时，以P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．①如图所示，过点B 作BH DE ⊥，垂足为点H ，易得1BCO BPH ，∴1BO CO BH PH =．∴113PH =．∴1114133DP DH PH =+=+=．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴143t =秒．②如图所示，设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ，易得4C BCO P Q ，∴4BO CO CQ P Q=．∴423P Q =．∴44214433DP DQ P Q =+=+=．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴2143t =．③如图所示，设BC 的中点为M ，过点M 作MN DE ⊥，垂足为点N ，并连接2MP ，3MP ，∴2311110222MP MP BC BC ====，32MN =．∴在2Rt MNP 与3Rt MNP 中，22231031222NP NP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2251222DP DN NP =-=-=，3351322DP DN NP =+=+=．∵点P 的速度为每秒1个单位长度32t =秒，43t =秒．综上所述，当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．28.面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．（1）如图①，当点1O 恰好落在AB 上时，①此时1CO 的长为__________；②点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标；（2）如图②，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．（1）①1.5②20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）存在最大值，最大值为69【分析】（1）①利用勾股定理求出AB ，可得结论．②如图2中，连接AA 1，OO 1．利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）因为O 1A 1=12是定值，直线O 1A 1与B 为圆心，OB 为半径的圆相切，当CO 1最大时，△O 1A 1C 的面积最大．【小问1详解】解：①∵点(12,0)A ，点(0,5)B ，∴OA =12，OB =5，∴AB 13==，∵线段AB 的中点为点C ，∴BC =6.5，由旋转可得，BO 1=OB =5，∴O 1C =BC -BO 1=6.5-5=1.5，故答案为：1.5；②作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接1111,,,BP PO PB O B ，过点1O 作1O G OB ⊥于G ，则1BP PB =，∴111BP PO PB PO +=+，由对称性可知，111PB PO PB PO +=+，∴11O B 与x 轴的交点即为所求的点P ，∵OG OA ∥，∴1BGO BOA △∽△，∴11BO GO BG BA AO BO==，∵1(0,5)-B ，∴1513125GO BG ==，∴16013GO =，2513BG =，∴254051313OG =-=，∴16040,1313O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，易求得直线11O B 的解析式为754y x =-，令0y =，得207x =，∴满足条件的点P 的坐标为20,07⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】解：如图，因为O 1A 1=12是定值，直线O 1A 1与B 为圆心，OB 为半径的圆相切，当CO 1最大时，△O 1A 1C 的面积最大，面积最大时，O 1在CB 的延长线时，此时CO 1=5+6.5=11.5，∴△O 1A 1C 的面积的最大值=11112O C O A ⋅=112 6.5692⨯⨯=∴的面积存在最大值，最大值为69．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
苏教版(SJ)2022～2023学年九年级数学(上)期中质量检测试卷【含答案】
苏教版(SJ)2022～2023学年九年级数学（上）期中质量检测试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1. 下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ）A. x ﹣1=0B. x 2+3x ﹣5=0C. x 3+x =3D. ax 2+bx +c =02. 关于x 的方程x 2+x k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）A. k ＞B. k ≥C. k ＜D. k ＞ 且k ≠0141414143. 45°的正弦值为（ ）A. 1B.124. 已知△ABC ∽△DEF ，∠A=∠D ，AB=2cm ，AC=4cm ，DE=3cm ，且DE ＜DF ，则DF 的长为（ ）A. 1cmB. 1.5cmC. 6cmD. 6cm 或1.5cm5. 在平面直角坐标系中，点A （6，3），以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原来的得到线段OC ，则点C 的坐标为（ ）13A. （2，1）B. （2，0）C. （3，3）D. （3，1）6. 已知⊙A 半径为5，圆心A 1，0），点P 的坐标为（－2，4），则点P 与⊙A 的位置关系是（ ）A. 点P 在⊙A 上B. 点P 在⊙A 内C. 点P 在⊙A 外D. 不能确定7. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC =（ ）A. 1：3B. 1：4C. 2：3D. 1：28. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P 是AB 上一动点．若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( )A. S 1＞S 2B. S 1＜S 2C. S 1=S 2D. S 1≥S 210. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E 、F 分别是边BC 、AC 的中点，P 是AB 上一点，以PF 为一直角边作等腰直角三角形PFQ ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（ ）A. 3B.C. 4D.二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．）11. 若，则的值为．23x y =x yy +12. 在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m 的测竿的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高度是_____m ．13. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为______________．14. 在△ABC 中，∠A 、∠B为锐角，且|tanA ﹣1|+(﹣cosB)2＝0，则∠C ＝_____°．1215. 如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____16. 如图，△ABC 中，AB =BC ，AC =8，点F 是△ABC 的重心（即点F 是△ABC 的两条中线AD 、BE 的交点），BF =6，则DF =_____．17. 关于x 的一元二次方程mx 2+nx=0的一根为x=3，则关于x 的方程m （x +2）2+nx +2n=0的根为_____．18. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt ∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s 1（如图1）；在余下的Rt △ADE 和Rt △BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s 2（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s 10= ；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19. 计算或解方程：（1）计算：；-214sin60°tan45°2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）；23210xx =--（3）（配方法）；2310x x ++=（4）．2(1)6(1)50x x +++=-20. 如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）．（1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置；（2）点M 的坐标为 ；（3）判断点D （5， 2）与⊙M的位置关系．21. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．22. 已知关于x的方程x2+（m 3）x m（2m 3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．23. 某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为_____元，销售量是_____千克（用含x的代数式表示）；（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）24. 如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．sin75°≈0.97，cos75°≈0.26（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．请通过计算说明最佳视点P在不在灯光照射范围内？25. 如图，以点P(−1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．26. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO 并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB=_____；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．27. 已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[ 1.2]= 2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x [x]．（1）当x=2.15时，求y=x [x]的值；（2）当0＜x＜2时，求函数y=x [x]的表达式，并画出函数图象；（3）当﹣2＜x＜2时，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x [x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．28. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．苏教版(SJ)2022～2023学年九年级数学（上）期中质量检测试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1. 下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ）A. x ﹣1=0 B. x 2+3x ﹣5=0C. x 3+x =3D. ax 2+bx +c =0B【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】A ． 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；B ． 是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；C ． 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；D ． a =0故选B ．本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2. 关于x 的方程x 2+x k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）A. k ＞B. k ≥C. k ＜D. k ＞ 且k ≠014141414A【详解】解：∵关于x 的方程x 2+x k =0有两个不相等的实数根，∴△=12 4×1×（ k ）=1+4k ＞0，解得：k ＞ ．故选A ．143. 45°的正弦值为（ ）A. 1B.12C【详解】解：．故选C ．4. 已知△ABC ∽△DEF ，∠A=∠D ，AB=2cm ，AC=4cm ，DE=3cm ，且DE ＜DF ，则DF 的长为（ ）A. 1cm B. 1.5cmC. 6cmD. 6cm 或1.5cmC【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，∴AB ：DE =AC ：DF ．∵AB =2，AC =4，DE =3，∴2：3=4：DF ．解得：DF =6．故选C ．5. 在平面直角坐标系中，点A （6，3），以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原来的得到线段OC ，则点C 的坐标为（ ）13A. （2，1） B. （2，0）C. （3，3）D. （3，1）A【详解】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的，则点A 的对应点C 的坐标为（6×13，3×），即（2，1）．故选A ．13136. 已知⊙A 半径为5，圆心A 的坐标为（1，0），点P 的坐标为（－2，4），则点P 与⊙A 的位置关系是（ ）A. 点P 在⊙A 上B. 点P 在⊙A 内C. 点P 在⊙A 外D. 不能确定A【详解】∵点A 的坐标为（1，0），点P的坐标为（-2，4），∴，即点P 到圆心A 的距离等于半径，5=∴点P 在⊙A 上.故选A.点睛：点与圆的位置关系是由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系确定的：（1）当时，点在d r d r >圆外；（2）当时，点在圆上；（3）当时，点在圆内.d r =d r <7. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC =（ ）A. 1：3B. 1：4C. 2：3D. 1：2D【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，则△DFE ∽△BAE ，∴DF ：AB =DE ：EB ．∵O 为对角线的交点，∴DO =BO ．又∵E 为OD 的中点，∴DE =DB ，14则DE ：EB =1：3，∴DF ：AB =1：3．∵DC =AB ，∴DF ：DC =1：3，∴DF ：FC =1：2．故选D ．8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P 是AB 上一动点．若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个B【详解】解：∵AB ⊥BC ，∴∠B =90°．∵AD ∥BC ，∴∠A =180° ∠B =90°，∴∠PAD =∠PBC =90°．设AP 的长为x ，则BP 长为12 x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ：BP =AD ：BC ，即x ：（12 x ）=4：9，解得：x = ；4813②若△APD ∽△BCP ，则AP ：BC =AD ：BP ，即x ：9=4：（12 x ），解得：x =6．综上所述：满足条件的点P 的个数是2个．故选B ．9. 已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( )A. S 1＞S 2 B. S 1＜S 2C. S 1=S 2D. S 1≥S 2B【详解】试题分析：首先设AB=2，根据黄金分割点得出AP 和BP 的长度，然后分别求出两个三角形的面积，从而比较大小.考点：(1)、黄金分割点；(2)、三角形面积的计算10. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E 、F 分别是边BC 、AC 的中点，P 是AB 上一点，以PF 为一直角边作等腰直角三角形PFQ ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE 的值为（ ）A. 3B.C. 4D.D【详解】解：连结FD ，D 是AB的中点，如图∵△ABC 为等腰直角三角形，AB =10，PB =1，∴AC =BC =A =45°．∵点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，∴AD =BD = 5，DP =DB ﹣PB =5﹣1=4，EF 、DF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，EF = AB =5，DF = BCEFP =∠FPD ，1212∴∠FDA =45°，，DF EF ∴∠DFP +∠DPF =45°．∵△PQF 为等腰直角三角形，∴∠PFE +∠EFQ =45°，FP =PQ ，∴∠DFP =∠EFQ ．∵△PFQ 是等腰直角三角形，∴，PF FQ ∴= ，DF EFPFFQ ∴△FDP ∽△FEQ ，∴，QEEF DP FD∴QE DP =．故选D ．本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．）11. 若，则的值为_____．23x y =x y y +53【分析】由，设，然后再代入求解即可．23x y =2,3(0)==≠x k y k k 【详解】解：∵，设，23x y =2,3(0)==≠x k y k k ∴，235=33x y k k y k ++=故．53本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12. 在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m 的测竿的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高度是_____m ．18【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高即可．【详解】∵同一时刻物高与影长成正比例∴1.5∶2.5=旗杆的高：30∴旗杆的高为18米．故答案为∶18本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质．13. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为______________．10%．【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x ），五月份的产量是1000（1+x ）2，据此列方程解答即可．【详解】解：设四、五月份的月平均增长率为x ，根据题意得：1000（1+x ）2＝1210，解得x 1＝0.1，x 2＝﹣2.1（不合题意，舍去），则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．故10%．本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x 的话，经过第一次调整，就调整到a ×（1±x ），再经过第二次调整就是a ×（1±x ）（1±x ）＝a （1±x ）2．增长用“+”，下降用“﹣”．14. 在△ABC 中，∠A 、∠B为锐角，且|tanA ﹣1|+(﹣cosB)2＝0，则∠C ＝_____°．1275【详解】解：由题意得：tan A =1，cos B =，则∠A =45°，∠B =60°，则∠C =180° 45° 60°=75°．12故答案为75．15. 如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____．143【详解】解：令AE=4x ，BE=3x ，∴AB=7x.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB=7x ，CD ∥AB ，∴△BEF ∽△DCF.∴，3377BF BE x DF CD x ===∴DF=143本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.16. 如图，△ABC 中，AB =BC ，AC =8，点F 是△ABC 的重心（即点F 是△ABC 的两条中线AD 、BE 的交点），BF =6，则DF =_____．##2.552【详解】解：∵点F 是△ABC 的重心，∴EF =BF =×6=3．1212∵AB =BC ，BE 是中线，∴AE =AC = ×8=4，BE ⊥AC ．1212在Rt △AEF 中，由勾股定理得：AF，∴DF =AF =．1252故答案为．52本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键．17. 关于x 的一元二次方程mx 2+nx=0的一根为x=3，则关于x 的方程m （x +2）2+nx +2n=0的根为_____．1或﹣2．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx 2+nx =0的一根为x =3，∴9m +3n =0，解得n = 3m ，且m ≠0，∴关于x 的方程m （x +2）2+nx +2n =0为mx 2+4mx +4m 3mx 6m =0，整理可得mx 2+mx 2m =0．∵m ≠0，∴x 2+x 2=0，解得：x =1或x = 2．故答案为1或﹣2．点睛：本题主要考查了解一元二次方程，由方程根的定义求得m 和n 的关系是解题的关键．18. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt ∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s 1（如图1）；在余下的Rt △ADE 和Rt △BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s 2（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s 10= ；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是；．912201112【详解】试题分析：根据题意，可求得S △AED +S △DBF =S 正方形ECFD =S 1=1，同理可得规律：S n 即是第n 次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．试题解析：∵四边形ECFD 是正方形，∴DE=EC=CF=DF ，∠AED=∠DFB=90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A=∠C=45°，∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF ，∵AC=BC=2，∴DE=DF=1，∴S △AED +S △DBF =S 正方形ECFD =S 1=1；同理：S 2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，S n 即是第n 次剪取后剩余三角形面积和，∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2 S 1=1=S 1，第二次剪取后剩余三角形面积和为：S 1 S 2=1 ==S 2，1212第三次剪取后剩余三角形面积和为：S 2 S 3= ==S 3，121414…第n 次剪取后剩余三角形面积和为：S n ﹣1 S n =S n =．112n -则s 10==；s 2012==．10112-9122012112-201112考点：相似形综合题．三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19. 计算或解方程：（1）计算：；-214sin60°tan45°2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）；23210xx =--（3）（配方法）；2310x x ++=（4）．2(1)6(1)50x x +++=-（1）3-（2），；1=1x 213x =-（3）； 1x =2x =（4）．1240x x ==，【分析】（1）先算乘方和特殊锐角的三角函数值，再算加减即可；（2）根据十字相乘法分解因式解方程即可；（3）先把1移到方程的右边，再在方程两边配上一次项系数一半的平方，根据配方法解答即可；（4）把看作一个整体，根据分解因式法解答即可．(1)x +【小问1详解】解：原式==41-3-【小问2详解】原方程变形为，(1)(31)0x x +=-解得，；1=1x 21=3x -【小问3详解】原方程变形为，2(3524x +=解得；1x 2x 【小问4详解】原方程变形为，(15)(11)0x x ++=--解得．12=4=0x x ，本题考查了解一元二次方程，实数的综合运算．解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等知识点的运算．20. 如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）．（1）在图中画出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的位置；（2）点M 的坐标为 ；（3）判断点D （5， 2）与⊙M 的位置关系．（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D 在⊙M 内；【详解】试题分析：（1）由网格容易得出AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点即为点M ；（2）根据图形即可得出点M 的坐标；（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM 的长，当DM 小于圆的半径时点D 在圆内．试题解析：解：（1）如图1，点M 就是要找的圆心；（2）圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM =线段MD ＜所以点D 在⊙M 内．点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M 的坐标是解题的关键．21. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．（1）见解析（2）见解析（3）AC 7AF 4=【分析】（1）由AC 平分∠DAB ，∠ADC =∠ACB =90°，可证得△ADC ∽△ACB ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC 2=AB •AD ．（2）由E 为AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE =AB =AE ，从而可证得∠DAC =∠ECA ，得到CE ∥AD ．12（3）易证得△AFD ∽△CFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．AF CF ACAF 【详解】（1）证明：∵AC 平分∠DAB∴∠DAC =∠CAB ．∵∠ADC =∠ACB =90°∴△ADC ∽△ACB ．∴AD AC AC AB=即AC 2=AB •AD ．（2）证明：∵E 为AB 的中点∴CE =AB =AE12∴∠EAC =∠ECA ．∵∠DAC =∠CAB∴∠DAC =∠ECA∴CE ∥AD ．（3）解：∵CE ∥AD∴△AFD ∽△CFE∴．AD AF CE CF =∵CE =AB 12∴CE =×6=3．12∵AD =4∴4AF 3CF =∴．AC 7AF 4=22. 已知关于x 的方程x 2+（m 3）x m （2m 3）=0（1）证明：无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．（1）见解析；（2）175【详解】试题分析：（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．试题解析：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m 3）x m （2m 3）=0的判别式△=（m 3）2+4m （2m 3）=9（m 1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2= （m 3），x 1×x 2= m （2m 3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2 2x 1x 2=（m 3）2+2m （2m 3）=26，整理得：5m 2 12m 17=0，解这个方程得：m = 或m = 1，所以存在正数175m = ，使得方程的两个实数根的平方和等于26．17523. 某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．（1）若外商要将这批猴头菇存放x 天后一次性出售，则x 天后这批猴头菇的销售单价为_____元，销售量是_____千克（用含x 的代数式表示）；（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）（1）10+0.5x ，2000 6x ；（2）40.【分析】（1）根据猴头菇的销售单价市场价格+0.5×存放天数和销售量=原购入量-6×存放天数列出代数式即可；（2）利用总利润-各种费用-收购成本即可列出方程求解．【详解】解：（1）10+0.5x ，2000 6x ；（2）由题意得：（10+0.5x ）（2000 6x ） 10×2000 220x =24000，解得x 1=40，x 2=200（不合题意，舍去）答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．24. 如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为50cm ，与水平桌面所形成的夹角∠OAM 为75°．由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平桌面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm ． sin75°≈0.97，cos75°≈0.26（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC ．（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC 为60°，书的长度EF 为24cm ，点P 为眼睛所在位置，当点P 在EF 的垂直平分线上，且到EF 距离约为34cm （人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm ）时，称点P 为“最佳视点”．请通过计算说明最佳视点P 在不在灯光照射范围内？(1) 该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是83.9cm;(2) 最佳视点P 在灯光照射范围内,理由见解析.【详解】试题分析：（1）在直角三角形ACO 中，根据sin75°=，求出OC ，在直角三角形BCO 中，OCOA tan30°=，求出BC 即可．（2）如图，过点P 作PH ⊥AB 于H ，交OB 于M ，过点D 作DG ⊥PH 于OCBC G ，DQ ⊥AB 于Q ，则四边形DGHQ 为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°，求出PH ，MH 的长即可判断．试题解析：（1）在直角三角形中，sin75°=，OCOA 解得OC=50×0.97≈48.5，在直角三角形BCO 中，tan30°=，OCBC 解得BC=1.73×48.5≈83.9．答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是83.9cm ，（2）如图，过点P 作PH ⊥AB 于H ，交OB 于M ，过点D 作DG ⊥PH 于G ，DQ ⊥AB 于Q ，则四边形DGHQ 为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°由题意DE=DF=12，DP=34，∴PG=17，QF=6，∴，又∵∴HB=CB CH=83.9 35.41≈48.49，∵∠OBC=30°，tan ∠OBC=1∴，∵27.38＜28.03，∴最佳视点P 在灯光照射范围内．考点：解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质；视点、视角和盲区．25. 如图，以点P(−1，0)为圆心的圆，交x 轴于B 、C 两点（B 在C 的左侧），交y 轴于A 、D 两点（A 在D 的下方），AD=△ABC 绕点P 旋转180°，得到△MCB ．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB 、MC ，并判断四边形ACMB 的形状（不必证明），求出点M 的坐标；（3）动直线l 从与BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC 重合时停止，设直线l 与CM 交点为E ，点Q 为BE 的中点，过点E 作EG ⊥BC 于G ，连接MQ 、QG ．请问在旋转过程中∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．（1）B(-3，0)，C(1，0)；（2）作图见解析，四边形ACMB 是矩形，点M 的坐标为(-2；（3）在旋转过程中∠MQG 的大小不变，始终等于120°【分析】（1）连接AP ，结合题意，根据圆的对称性，得；再根据勾股定理，计12AO DO AD ===算得AP ；再根据圆的性质，得，从而得到B 、C 两点的坐标；BP CP AP ==（2）结合题意，根据圆周角的性质，得；再根据旋转的性质，得，90BAC ∠= 90BMC BAC ∠=∠=，，从而推导得四边形ACMB 是矩形；再根据旋转的性质，可计算得点M 的坐标；BM AC =CM AB =（3）结合题意，得∠BMC=∠BGE=90°；再结合点Q 是BE 的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得QM=QE=QB=QG ，从而推导得点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心、QB 为半径的圆上，故得∠MQG=2∠MBG ；再通过三角函数计算，得到∠OCA=60°；从而完成求解．【详解】（1）如图，连接AP∵以点P(−1，0)为圆心的圆，AD=∴，12AO DO AD ===1OP =∴2AP ===∴2BP CP AP ===又∵P(−1，0)∴B(-3，0)，C(1，0)；（2）如图∵以点P(−1，0)为圆心的圆，交x 轴于B 、C 两点（B 在C 的左侧）∴BC 是圆的直径∴90BAC ∠=∵将△ABC 绕点P 旋转180°，得到△MCB∴，，90BMC BAC ∠=∠= BM AC =CM AB =∴四边形ACMB 是矩形过点M 作交BC 于点N MN BC ⊥结合题意得：△MCB 和△ABC 关于点P 旋转对称∴，AO MN ==1NP OP ==又∵P(−1，0)∴点M 的坐标为(-2)；（3）如下图结合（2）的结论，四边形ACMB 是矩形，∠BMC=90°∵EG ⊥BO∴∠BGE=90°∴∠BMC=∠BGE=90°∵点Q是BE的中点∴QM=QE=QB=QG∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上∴∠MQG=2∠MBG∵∠COA=90°，OC=CP-OP=1，∴tan∠OCA=OA OC∴∠OCA=60°∴∠MBC=∠BCA=60°∴∠MQG=120°∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．本题考查了圆、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、旋转、勾股定理、直角三角形斜边中线、直角坐标系、矩形、三角函数的性质，从而完成求解.26. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO 并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）AB=_____；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．(1)；（2）100°；（3.【详解】试题分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO =∠A +∠D ，可得要使△ACD 与△BCO 相似，只能∠DCA =∠BCO =90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．试题解析：解：（1）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE =BE =AB ，∠OEB =90°．∵OB =2，∠B =30°，12∴BE =OB •cos∠B∴AB =故答案为（2）连接OA ．∵OA =OB ，OA = OD ，∴∠BAO =∠B ，∠DAO =∠D ，∴∠DAB =∠BAO +∠DAO =∠B +∠D ．又∵∠B =30°，∠D =20°，∴∠DAB =50°，∴∠BOD =2∠DAB =100°；（3）∵∠BCO =∠A +∠D ，∴∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D ，∴要使△ACD 与△BCO 相似，只能∠DCA =∠BCO =90°，此时∠BOC =60°，∠BOD =120°，∴∠DAC =60°，∴△DAC ∽△BOC ．∵∠BCO =90°，即OC ⊥AB ，∴AC = AB ∴若△12ACD 与△BCO 相似，AC 点睛：本题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．27. 已知：x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[ 1.2]= 2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x [x ]．（1）当x=2.15时，求y =x [x ]的值；（2）当0＜x ＜2时，求函数y=x [x ]的表达式，并画出函数图象；（3）当﹣2＜x ＜2时，平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心，r 为半径作圆，且r ≤2，该圆与函数y=x [x ]恰有一个公共点，请直接写出r 的取值范围．（1）0.15；（2）①y=x ，②当1y=x 1， （3）r 的取值范围是：0＜r或．【详解】试题分析：（1）根据[x ]的定义进行计算即可；（2）由已知条件：0＜x ＜1，1≤x ＜2进行分类讨论，由此可求出结论；（3）把自变题x 在-2＜x ＜2内分四种情况得出相应的函数关系式，并画出图形，确定r 的取值即可．试题解析：解：（1）当x =2.15时，y =x [x ]=2.15 [2.15]=2.15 2=0.15；（2）①当0＜x ＜1时，[x ]=0．∵y =x [x ]，∴y =x ；②当1≤x ＜2时，[x]=1∵y =x [x ]，∴y =x 1；（3）函数y =x [x ]（ 2＜x ＜2），如图，OA ．①当﹣2＜x ＜ 1，[x ]= 2，y =x [x ]=x +2，②当﹣1≤x ＜0时，[x ]= 1，y =x [x ]=x +1，③当0≤x ＜1时，[x ]=0，y =x [x ]=x ，④当1≤x ＜2时，[，y =x [x ]=x 1，当r =OA时，⊙O 与直线y =x 1相交于一点，OC = OA，当0＜r时，⊙O 总与直线y =x 相交于一点；12综上所述：r 的取值范围是：0＜r或x．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了新定义，以及不等式的整数解问题，解答本题的关键是分类讨论．借助图象是解答本题的难点．28. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB于点D ，连接PQ 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB=________，PD=________．（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2PQ 中点M 所经过的路径长．（1）8-2t ；；（2）不存在，理由见解析，当点Q 的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边43t1615103形PDBQ 是菱形；（3）单位长度.【详解】解：（1）根据题意得：CQ=2t ，PA=t ，∴QB=8﹣2t ，∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD ∥BC ，∴∠APD=90°，∴tanA=，4=3PD BC PA AC ∴PD=t ．43故答案为（1）8﹣2t ，t ．43（2）不存在在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD ∥BC ，∴△APD ∽△ACB ，∴，即，AD AF AB AC =106AD t =∴AD=t ，53∴BD=AB ﹣AD=10﹣t ，53∵BQ ∥DP ，∴当BQ=DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．43t 125当t=时，PD=，BD=10﹣×=6，12541216=355⨯53125∴DP≠BD ，∴▱PDBQ 不能为菱形．设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，则BQ=8﹣vt ，PD=t ，BD=10﹣t ，4353要使四边形PDBQ 为菱形，则PD=BD=BQ ，当PD=BD 时，即t=10﹣t ，解得：t=4353103当PD=BQ ，t=时，即=8﹣，解得：v=10341033⨯1031615当点Q 的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ 是菱形．1615103。
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江苏省苏州市相城区2018-2019学年度九年级数学上学期期中试卷
本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共28题，满分130分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上.
2.答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一
律无效，不得用其他笔答题.
3.考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效.
一、选择题:(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，以下各题都有四个选项，其中只
有一个是正确的，选出正确答案，并在答题卡上将该项涂黑.)
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是
A . 2210xx B. 20axbxc C. (1)(2)1xx D. 2325xx
2.如图，在ABC中，//DEBC，若23ADBD,则AEAC的值为
A . 13 B. 25 C. 23 D. 35
3.如图，,,ABC是⊙O上的三点，且,20ABOCA,则B的度数是
A. 35° B. 40° C. 45° D.50°
4.某服装原价200元，连续两次降价x%后售价为120元，下面所列方程中正确的是
A.2200(1%)120x B.2200(12%)120x
C.2200(1%)120x D.2200(1%)200x
5.如图，若12C，则图中相似的三角形有
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
6.如图，在ABC中，90,30,3ACBABCAB.将ABC绕直角顶点C逆时针
旋转60°得ABC，则点B转过的路径长为
A. 32 B. 33 C. 23 D.
7.圆桌面(桌面中间有一个直径为1m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平
行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2m，桌面离地面
1m,若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是
A. 2m2 B. 3 m2 C. 6 m2 D. 12 m2
8.如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且60BOC,设弓形,AmCAOC,
扇形BOC的面积分别为123,,SSS，则它们之间的大小关系是
A. 123SSS B. 213SSS C. 231SSS D.
321
SSS
9.已知,mn是方程2201820190xx的两个根，则
22
(20192018)(20192018)mmnn
的值是
A. 1 B. 2 C. 4037 D. 4038
10.如图，四边形ABCD中，//ADBC,90,5,10ABCABBC，连接,ACBD，
以BD为直径的圆交AC于点E.若3DE，则AD的长为
A. 4 B. 25 C. 5 D. 35
二、填空题:(本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位
置上)
11.方程2210xx的根是 .
12.比例尺为1:9000的苏州市城区地图上，山塘街的长度约为40 cm，它的实际长度约为
km.
13.一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为 .
14.己知关于x的一元二次方程2(2)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 .
15.如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，则BDAD的值为 .
16.如图，ABC的内切圆⊙O分别切,,BCABAC于点,,DEF,ABC的周长为28cm,
BC=12cm，则AF= cm.
17.直线123////lll，且1l与2l的距离为1. 2l与3l的距离为2，把30ACB的直角三角板
如图放置，顶点,,ABC恰好落在三条直线上，则线段AB的长为 .
18.如图，在平面直角坐标系中，点P是以(2,3)C为圆心，1为半径的⊙C上的一个
动点，已知(1,0),(1,0)AB，连接,PAPB，则22PAPB的最小值是 .
三、解答题:(本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应
写
出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)
19.(本题满分8分，每小题4分)解方程:
(1) 24450xx; (2) (2)3(2)xxx
20.(本题满分6分)如图，半圆的直径20,,ABCD
是半圆的三等分点，求弦,ACAD与CD
围成的阴影部分的面积.
21.(本题满分6分)如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，
DFAE于F，且10AD,
8,2BEEF，求DF的长.
22.(本题满分6分)姑苏特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，
平均每天可售出100千克，后来经过市场调个查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售
可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的
几折出售?
23.(本题满分6分)如图，有一路灯杆AB，在灯光下，小明
在点D处测得自己的影长3DFm，沿BD方向到达点
F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为
1.5m，求路灯杆AB的高度.
24.(本题满分6分)如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BDAM于
点D,BD交⊙O于,COC平分AOB.
(1)求AOB的度数;
(2)若线段CD的长为2cm，求AB的长度.
25.(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程22(23)0xmxm有两个不相等的实
数根.
(1)求m的范围;
(2)若方程两个实数根为12,xx，且12111xx,求m的值.
26.(本题满分8分)如图，RtABC中，90ABC以AB为
直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE.
(1)求证: DE是⊙O的切线;
(2)求证: 24DECDAC.
27.(本题满分10分)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作
AFDE
,
垂足为F.⊙O经过点,,CDF，与AD相交于点G.
(1)求证:AFGDFC;
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.
28.(本题满分12分)如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,6)，
点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，
沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间
为秒.
(1)当=2时，线段PQ的中点坐标为 .
(2)当CBQ与PAQ相似时，求的值;
(3)连接OB，若以PQ为直径作⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻，使得⊙
M
与OB相切，若存在，求出时间;若不存在，请说明理由.