计算图中的最大对集的匈牙利方法

计算图中的最大对集的匈牙利方法 背景知识介绍—在一个网络中往往要求计算其中的最大对集。是由匈牙利人Egervary于1931年发现，后被另外一个匈牙利人Edmonds所推广（到一般图中的“开花算法”）

基本方法—利用反圈法 第一节 二部图中最大对集的有效算法 设(,,)GSTE为一个二部图，M是中一个对集。 S型节点----位于S的节点；

T型节点---位于T中的节点；

M-边----位于M中的边；

注意：一个增广路的长度为奇数，所以这样的路的两个端点必须是同型节点。

反圈法基本原则--- （1）初始时，0,k令(0){|}XvSv是关于M的非饱和点；

（2）在(k)（X）中选边时，必须按照以下原则： (a)如果()kivXS时，则选取以iv为端点的非M边（即，在S型节点处只选非M边）； (b)如果 ()kivXT，则选取以iv为端点的M边（即，在T型节点处只选M边） （3）若在某一步，出现下述情况之一时算法要终止：

情况1。()kX中有非饱和的T型节点（此时得到一条关于M的增广路）； 情况2.。情况1不出现，且()()kX中无边可选（此时G中不存在关于M的增广路）。

定理1.当匈牙利算法结束时，得到一个最大对集 解答：下面我们来证明这个方法（算法）的正确性。 如果情况1发生，根据我们算法特点，每一步上()()(,)kkXE都是森林，其中每一个树都是

以(0)X中的一点为根的。根据(0)X的定义，每一个树以一个非饱和的S型节点为根。按照选边原则（2）可以看出：每一个树上，根与任意节点之间的唯一的路是交错路、。所以，当某个非饱和的T型节点属于()kX时，这个树上联接根节点与它的路是一个长度为奇数的增广路。

现在假定情况2出现。我们用*X表示此时的()kX（一定要记住：*X中的每一个节点都位于一个树中）。令**,XVX记 **12

**34

;;;.ASXATXASXATX 其几何意义如图所示：（注意：这是其中一种结构，也是最重要的结构，即，假定对集中所有边都被包含在以(0)X为根的树中）。

结论1.所有非饱和的S型节点都在1A中（这是根据(0)X的定义得到的。表明：每一个这样的非饱和S型节点都是一个树的根，这个树有可能退化为一个节点！）； 结论2。所有的非饱和的T型节点都在4A中（否则，选边原则（1）可得到增广路）；

结论3.14[,]EAA（前提是：G连通） 事实上，如果有14,vAuA使得()uvEG，则因为**,vXuX，知道*();uvX

如果,uvEM则uv是可选边（事实上此时有增广路联接u与(0)X中点），与情况2的定义相违背；如果uvM，则(0)vX，必然有2wA使得vwM，与M是对集相违背。 结论4. 23[,]EAAM（这个显然成立）

注意：上述图形仍有地方要知道：1A中含有未被饱和的非根节点（因此，12||||AA） 注意：上述的有些东西可能描述的不太精确。我们下面详细说明。 记住当前算法执行到情况2，无法选边而且情况1不发生。可选边时有两种选法：沿着对集M中的边向下走，沿着非M中边向上走。

（1）12MMM：将对集M分成两类：1M和2M，其中1M是以31A中的节点为根的

树中所能包含的M边形成的子对集，而2M则是无法被这些树所含有的子对集（可以为空集）； （2）对集M所能饱和的S的节点集合为132AA，没有被饱和的节点集合为(0)31()AX

（3）**123313244142,;;;ASXATXAAAAAA； （4）42131[,]EAAA（这是由于无法选边决定的，否则，有些子树可以长大）； （5）41131[,]EAAA（理由同上）。 这样， 结论1.所有非饱和的S型节点都在31A中（这是根据(0)X的定义得到的。表明：每一个这样的非饱和S型节点都是一个树的根，这个树有可能退化为一个节点！）； 结论2。所有的非饱和的T型节点都在41A中（否则，选边原则（1）可得到增广路）；

结论3. 4131[,]EAAA； 结论4.3124132();()NAANAA 结论5.3223241[,],[,]EAAEAA。（这是由图的连通性决定的） 结论6. 2413[,]EAAAM；

这样一来，若G中存在增广路，那么它的一个端点在31A中，另外一个端点在41A中。显然此时可以选边使得对集增大。矛盾。因此，当情况2发生时当前的对集是最大的。

注意：从上述分析中可知，我们的讨论可以假定3242AA。分析中得到的结构（结论1-6）非常有用，我们可以直接利用它们来计算。

定理2.任何一个使得|()|0EG的二部图(,,)GSTE中一定有一个最大对集饱和所有最大次节点。 点评：如果这个结果成立，那么这个图一定是第一类的（即，边色数'()()GG。）

解答：设*M是这样一个最大对集，它所饱和的最大次节点最多。我们将要证明：*M为所求。若不然，则存在一个最大次节点v，没有被*M所饱和。不妨设,vS可以取*M使得v是唯一一个未被饱和的最大次节点。对于这个*M执行匈牙利算法。可知情况2一定出现（即，无边可选的结构一定出现）。 注意到上述结论1-结论6暗示：12||||1AA。此时1A一定有一个节点不是最大次的。不然，则有

1212||()()()||()uAuAAGduduAG，

这与12||||1AA相悖（这里利用了性质：1A中非根节点的领域全部被包含在2A）。设1ivA不是最大次节点，记为执行匈牙利算法终止时得到的交错树里面唯一的()ivv-

路。意见它的长度为偶数。令*'()MME，则'M也是最大对集，它饱和最大节点数目比*M多（事实上，'M饱和了v，但是没有饱和iv。这正是我们需要的；同时，前面*M

中其他节点还是被'M所饱和）。这与*M定义相违背。 点评：关于这个结果有许多证明。我们将要提供另外一个富有技巧性的证明（但是说真的，我不喜欢这种过于简短的证明，因为它们往往掩盖了很多的事物真相!）。

例3. 如果二部图G中节点次数的最大值是r，那么可以将它的边进行着色，每一条边染这r中颜色中的一种，使得同一个节点引出的边颜色不同。

解：如果G是r正则图，则由Hall定理知道结论成立。否则，G不是正则图。我们可以将G扩展成为一个r正则二部图'G（即，G是'G的子图）如下：增加一些节点使得G的两部分YX,的节点数目相同，然后在两部分之间尽可能地连边，直到。再连一条边则最大次数就超过r为止。这样得到的图一定是r正则图。理由如下：因为若有Xx的次数小于r，则总边数||||YrXr，从而必有Yy的次数小于r。于是可以连边xy而不破坏r

的最大性。根据上面所讲，可以对'G的边进行r着色，使得每一种颜色的边恰好是一个完美对集。在此结构下，G的边也相应地被染上了r种颜色，使得每一种颜色的边形成一个对集。

点评；这个例子表明：如果一个二部图的最大次为，则其中一定有对集饱和所有最大次节点。这个对集可以是最大的。 推论4.每一个k正则二部图一定有1-因子。 下面要用匈牙利算法终止时得到的结构来证明著名的Konig定理和Hall定理。 定理5(Konig,1931) 对于任何二部图(,,)GSTE，最小节点覆盖阶数=最大对集阶数。 证明：设M是一个最大对集，0D是最小覆盖集合的阶数。容易看出： 0||MD 根据我们在对当前的M执行匈牙利算法时，一开始就无边可选。于是，就有前面图形所示结构，那里有以下事实：

3232|||||()|MANSA

这里，322()NSAA。可以看出：322AA是一个覆盖，从而必有0||MD。证明完毕。

注意到，对于任何S的子集A，()()NASA形成一个覆盖。 推论6.对于任何二部图(,,)GSTE， 最小节点覆盖阶数=最大对集阶数 =min|()|||||max|||()|ASASNASASANA

如果(,,)GSTE中有对集M饱和S中所有节点，那么自然有（Hall条件） |()|||ASNAA 成立。反过来，假定上述条件成立，一定有最大对集饱和S中所有节点。

推论7（Hall定理1935）对于任何二部图(,,)GSTE，存在对集饱和S中所有节点的充分必要条件是： |()|||ASNAA

注意：组合学中有几个著名的“max=min”-型定理：Menger定理，Hall定理，Konig定理以及Dilworth定理。它们在本质上都是等价的，以后我们还要介绍它们之间的相互推导。

第二节 一般图中的最大对集值Edmonds开花算法。 基本想法---将二部图中的匈牙利算法推广到一般图。 首先我们来回顾一下我们在二部图中始怎么做的。 给定一个二部图(,,)GSTE和一个对集M，算法开始时，令(0)X是所有非饱和的S型节点集合。一般地，设已经有()kX。我们在()()kX中开始选边，选边的原则是：在S型节点处选非M边，在T型节点处选M边；把被选到的边放入到()kX中去，得到(1)kX。放入节点时会有两个情况发生：若有某个非饱和的T型节点在(1)kX中，则得到增广路；否则继续选边过程。若在某一步，没有边可以选择，则说明没有增广路，当前的M便是最大对集。

在前一节的匈牙利算法执行过程中，所有被选边()kE生成的子图()()()(,)kkkGXE是由

(0)||X

个交错树组成的森林。每一个交错树恰好有一个非饱和节点（是S型节点）。形象

地讲，匈牙利算法的执行过程就是以(0)X中每一个节点为根的交错树的生长过程。扩大交错树的方式有两种：一是选入一条M边（图（a））；一是选入一条非M边，而这条边在()kVX

中始饱和的（图（b））。在这两种情况下，我们称此时的交错树为可扩的。若被选

入的非M边在()kVX中始非饱和节点（图（c）），这个交错树中有一个增广路，这个树称为增广树。若增广树即不是可扩的，也不是增光的，我们就称其为匈牙利树（图(d)）。每一个匈牙利树种必有奇数个节点，其中仅有根节点为非饱和节点

下面我们来把上述算法改造一下，以便可以适用于一般图。 开始时，令(0)X为所有未饱和节点并且记它们为S型节点。选边原则不变。

当选一条非M边时，把它在()kVX中的端点记为T型节点；当选一条M边时，把它在()kVX

中端点记为S型节点。整个过程仍然是扩大交错树，或者得到增广树，或者得到