25.5相似三角形的性质(2)
相似三角形的性质课件
05
相似三角形的练习题
基础练习题
总结词
基础理论应用
详细描述
涉及相似三角形的基本概念和性质的 简单应用，如根据三角形相似的定义 ，判断两个三角形是否相似，或找出 相似三角形的对应边和对应角。
进阶练习题
总结词
性质与定理的综合应用
详细描述
考察学生对相似三角形性质的综合掌握，包 括应用相似三角形的性质进行证明、计算等 。题目通常会涉及多种性质和定理的应用， 如平行线分线段成比例定理、直角三角形中 的射影定理等。
详细描述
给定一个三角形ABC，其中AB为底边，BC为高。若在图纸上 绘制此三角形，设AB边长为a，BC高为h。则比例尺为实际 长度与图纸上长度的比值，即a:h。
例题二：求面积比
总结词
面积比是表示两个三角形面积的比例关 系，可以通过相似三角形的性质求得。
VS
详细描述
给定两个相似三角形ABC和DEF，其中 ABC为原三角形，DEF为相似三角形。若 已知ABC的底边长为b，高为h，则ABC 的面积为$\frac{1}{2}bh$。相似三角形 DEF的底边长为x，高为y，则其面积也为 $\frac{1}{2}xy$。根据相似三角形的性质 ，我们有$\frac{b}{x} = \frac{h}{y}$，从 而可以得到面积比为 $\frac{\frac{1}{2}bh}{\frac{1}{2}xy} = \frac{b}{x} \cdot \frac{h}{y} = \frac{b}{x} \cdot \frac{b}{h} = \frac{b^2}{xh}$。
利用相似三角形的性质解决实际问题
利用相似三角形的性质进行数值计算
THANK YOU
详细描述
相似三角形的性质表明，它们的对应角相等，因此可以通过比较两个相似三角形的对应角来确定它们的形状。此 外，相似三角形还可以用于研究其他图形的形状，如平行四边形、菱形等。
相似三角形性质总结
相似三角形性质总结相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际问题中都有着广泛的应用。
接下来，我们就来详细总结一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。
例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
设三角形ABC 与三角形A'B'C'相似，且相似比为 k，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
假设 AD 和 A'D'分别是三角形ABC 和三角形 A'B'C'的高，那么 AD/A'D' ＝ k。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
例如，中线 AE 和 A'E'，则AE/A'E' ＝ k。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线 AF 和 A'F'，则 AF/A'F' ＝ k。
6、周长的比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。
若三角形 ABC 的周长为 C1，三角形 A'B'C'的周长为 C2，则 C1/C2 ＝ k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形性质总结
相似三角形性质总结在初中数学的学习中，相似三角形是一个重要的知识点。
相似三角形具有许多独特的性质，这些性质在解决几何问题时发挥着关键作用。
接下来，让我们详细探讨一下相似三角形的各种性质。
相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有多种，比如两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似等。
相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的基本性质之一。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别相等。
比如，三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C＝∠C'。
这个性质在解决角度相关的问题时非常有用。
相似三角形的对应边成比例。
如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么 AB ： A'B' ＝ BC ： B'C' ＝ AC ： A'C'。
而且，这个比例是一个定值。
通过这个性质，我们可以根据已知的边的长度比例，求出未知边的长度。
相似三角形的周长比等于相似比。
假设三角形 ABC 与三角形A'B'C'的相似比为 k，那么它们的周长比也为 k。
即：（AB ＋ BC ＋AC）：（A'B' ＋ B'C' ＋ A'C'）＝ k 。
这意味着，如果我们知道了两个相似三角形的相似比，就可以直接求出它们的周长比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
同样假设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'的相似比为 k，那么它们的面积比为 k²。
即：S△ABC ：S△A'B'C' ＝ k²。
这个性质在计算三角形面积或者通过面积关系求相似比等问题时经常用到。
相似三角形的性质
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.
∴△ABD∽△A′B′D′,
BD
C
∴
AD A′D′
=
AB A′B′
，
A′
∵
AB A′B′
=k
.
∴
AD A′D′
=k
.
B′ D′
C′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
相似三角形的相似比与对应边中线的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是
(1)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的5倍，
这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍. ( √ )
(2)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的9倍，
这个三角形的面积也扩大为原来的9倍. ( × )
2.如图， △ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是
△ABC的高， A′D′，B′E′是△A′B′C′的高.
高线，
中线
角平分线，
高线
中线
角平分线
相似三角形的相似比与对应边上的高的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于 D，
A′D′⊥B′C′于 D′，且
AB A′B′
=k
.
求证：AD A′D′
=k
.
A′
A
B
D
C B′ D′
C′
证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠பைடு நூலகம்′ ∵ AD⊥BC， A′D′⊥B′C′， A
= L△ABC
L△A′B′C′
AB＋BC＋AC A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
B
=
kA′B′ ＋kB′C′＋kA′C′ A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
相似三角形的性质课件
设两个相似三角形的相似比为k，已知 其中一条对应边的长度为a和b，则其 他对应边的长度为ka和kb。利用相似 三角形的性质，可以求出比例尺。
例题二：求面积比
总结词
通过已知相似三角形的一组对应边长，求出面积比。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长成比例，设相似比为k，则面积比为k^2。已知相似三角形 的一组对应边长，可以求出面积比。
利用相似三角形的性质研究图形形状
总结词
相似三角形的性质可以用于研究图形 形状。
详细描述
相似三角形的性质表明，它们的对应 角相等，因此可以通过比较两个相似 三角形的对应角来确定它们的形状。 此外，相似三角形还可以用于研究其 他几何图形的形状。
04
相似三角形的例题解析
例题一：求比例尺
总结词
通过已知相似三角形的一组对应边长 ，求出其他对应边长的比例尺。
相似三角形的性质课件
目 录
• 相似三角形概述 • 相似三角形的判定 • 相似三角形的性质应用 • 相似三角形的例题解析 • 相似三角形的练习题 • 总结与回顾
01
相似三角形概述
相似三角形的定义
1 2
相似三角形定义
如果两个三角形有相同的角，则它们是相似的。
相似三角形的形状和大小关系
相似三角形具有相同的形状，但不一定相同的大 小。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成相同的 比例。因此，通过测量一个三角形的边长，可以确定另一个三角形的边长，从 而计算出比例尺。
利用相似三角形的性质求面积比
总结词
相似三角形的性质可以用于求面积比。
详细描述
根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边长成相同的比例，因此它们的面积 比也成பைடு நூலகம்同的比例。通过测量一个三角形的面积，可以确定另一个三角形的面积 ，从而计算出面积比。
三角形相似性质
三角形相似性质
三角形相似性质：
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例；
2.相似三角形的一切对应线段的比等于相似比；
3.相似三角形周长的比等于相似比；
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方；
5.相似三角形内切圆、外接圆的直径比和周长比都和相似比相同，且内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
相似三角形性质
相似三角形性质相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它指的是两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
在讲解相似三角形的性质之前，我们先来回顾一下与相似三角形相关的一些基本定义和知识。
首先，我们需要明确三角形的几个重要定义：1. 三角形的边：三角形由三条边组成，分别记作a、b和c，其中a、b、c分别是三角形的边长。
2. 三角形的顶点：三角形的三个顶点分别记作A、B和C，对应三边分别记作a、b和c。
3. 三角形的角：三角形的三个角分别记作∠A、∠B和∠C。
接下来，我们来讲解相似三角形的性质。
性质一：对应角相等若两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
性质二：对应边成比例若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，若a/b = d/e，b/c = e/f，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
性质三：比例系数相等对于两个相似的三角形，其对应边的比例系数相等。
例如，若三角形ABC与三角形DEF是相似的，且a/b = d/e，则有b/c = e/f。
性质四：相似三角形的比例系数如果两个三角形相似，且其中一个三角形的对应边长与另一个三角形的对应边长之比为x，那么这两个三角形的面积之比为x^2。
例如，若三角形ABC与三角形DEF是相似的，且a/b = d/e = c/f = x，那么有S(ABC)/S(DEF) = (a^2)/(d^2) = (b^2)/(e^2) = (c^2)/(f^2) = x^2。
性质五：高与底边成比例在两个相似三角形中，高与底边的比例等于其他对应边的比例。
例如，若三角形ABC与三角形DEF是相似的，且h1/h2 = b1/b2，那么有h1/c1 = h2/c2。
通过学习相似三角形的性质，我们可以应用它们来解决实际问题。
例如，当我们知道一个三角形的边长与另一个三角形的边长之比时，我们可以利用相似三角形的性质来计算两个三角形的面积之比。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。