相似三角形的性质(2)练习题
相似三角形的性质专题训练(二)
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相似三角形性质的练习题
相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。
本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。
2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。
因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。
A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。
B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。
C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。
D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。
因此，选D。
3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。
B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。
C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。
D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。
因此，选D。
4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。
4.5相似三角形的性质及其应用(2)
练习
4、三角形的中位线截得的三角形与原 三角形的面积之比是多少？S△ADE与S四边 形DBCE的比呢？
A
D
B
E C
例4：如图，在△ABC中，作DE∥BC,分别 交AB、AC于点D、E,若要使△ADE与四边 形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取 多少？ A D B E C
练习
4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、 AB上，EC=2AE，则S△ADE：S四边形DBCE的比为 ______ 5、如图，△ABC中， DE∥FG∥BC，AD=DF=FB， 则Ｓ△ADE:Ｓ四边形DFGE:Ｓ四 边形FBCG=_________
回顾：
相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应角相等， 对应边成比例 2.相似三角形对应边上的中线、对应边 上的高、对应角的角平分线之比都等 于 相似比 。
ΔABC与ΔA’B’C’有什 么关系？为什么？
A
B C
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比 是多少？ A’ ΔABC与ΔA’B’C’的周长比 是多少? 面积比是多少？
F
C
B
P
拓展
如图DE∥BC,FG∥AB,MN∥AC, 且DE、FG、 MN交于点P。若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3，SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间 是否也有类似结论？猜想并加以验证。
显然△MDP∽△ABC 则由面积比等于相似比的平方知 √S1：√S=DP：BC , 同时，因为DP=BG，所以,有 √S1：√S=BG：BC ……① 同理，可得 √S2：√S=NC：BC ……② √S3：√S=GN：BC ……③ ①、②、③三式相加可得 （√S1+√S2+√S3）：√S=1 即：√S=√S1+√S2+√S3
3.3(第10课时)相似三角形的性质和判定(提高练习2)(备用)
BC
提示： (1)△ABE∽△ACD
D E B
分析：△AED不可能与△DBC相似； (2)△AED∽△ABC。
C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
A
A 图2 K G H B B E D F C B E D F C E n个 K A
H
K
G
图1 H
…
G
D
F
C
综合练习1(变式2）
12、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交 NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形FGHN 的面积y与x的关系式。
相似三角形判定方法
知识回顾1
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个三角形相似。 常 3、（判定定理2）两角对应相等的两个三角形相似。 用 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个
三角形相似 5、（特殊）斜边与一直角边对应成比例的两个直角三 角形相似
提示： (2)△CQP∽△CBA
B P C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
相似三角形的性质(2)
相似三角形的性质（2）一填空题1.若两个三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形对应角平分线的比为____；周长比为____；面积比为____2.两个相似三角形对应中线之比为2∶3，它们面积之差等于9cm2，则这两个三角形的面积分别是_______3.△ABC∽△A′B′C′，周长比为2∶2，BC边上的中线长是52，则B′C′边上的中线长是____4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE是斜边AB的中线，若CD=4，AD=2，则CE=____，DE=_______5.CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，BC=15，BD=9，则AB=____，AD=____，CD=____6.一个三角形各边的比为2∶5∶4，和它相似的三角形的周长为132 cm，则这个三角形的各边长分别为_______7.四边形ABCD，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AD／BC=0.5，则△BOC周长是△AOD周长的___倍，S△BOC=___S△AOD8.如图，EF∥BC，若△AEF与△ABC的面积比是1∶2，则AE／AB=____，△AEF与△ABC的周长比是_______9.如图，边长为10cm的等边三角形ABC，内接正方形DEFG，则正方形DEFG的边长等于_______10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E， BE∶ED=1∶3，AB=5cm，则AC=_______11.如图，△ABC中，DE∥BC，高AM交DE于N，若S△ADE∶S四边形BDEC=4∶5，AM=12 cm，则AN=_______cm.12.如图，在△ABC中，EF∥BC，四边形EBCF的面积比△AEF的面积大91cm2，EF=6 cm，BC=10 cm，则梯形BCFE 的面积是______二选择题1.△ABC三边长为3:4:5，与它相似的△DEF最短边为6，则△DEF的周长是（）A.12 B.18 C.24 D.362.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC∶BC=1∶2，则AD∶DB=（）A.1∶2 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶43.△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=2∶3，则S△ADE：S四边形DECB为（）A.2∶3 B.4∶15 C.4∶21 D.4∶174.地图上1cm2面积表示实际面积400m2，该地图比例尺是（）A.1∶400 B.1∶4000 C.1∶200 D.1∶20005.△ABC的三条中位线长分别为3cm，4cm，5cm，则△ABC面积为（）A.144cm2 B.48cm2 C.24cm2 D.12cm26.已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=2∶3，且S△ABC+S△A′B′C′=91 cm2，则△ABC的面积为（）A.28 cm2B.273／5 cm2C. 182／5 cm2D.63 cm27.如图，DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S1∶S2∶S3等于（）A.1∶1∶1 B.1∶3∶5 C.1∶2∶3 D.1∶4∶98.如图，△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S△ABC=1∶2，则AD∶BD是（）A.1∶2B.1∶2C. 2∶(2－1)D.(2+2)∶19.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB=1∶2，DE与AC交于点F，S△AEF=6 cm2，则S△CDF是（）A.12 cm2B.24 cm2C.54 cm2D.15 cm210.如图，EF是梯形ABCD的中位线，且S△ABD∶S△BCD=2∶3，则S四边形AEFD∶S四边形BCFE等于（）A.2∶3B.4∶9C.9∶11D.5∶911.如图，DE∥FG∥BC，DE，FG把△ABC的面积三等分，DE=2 cm ，则BC的长为（）A.18cmB.6cmC.23cmD.32cm12.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，BM⊥CE于M，则S△BMC是S正方形ABCD的（）A.1／3B. 1／4C. 1／5D. 1／6三解答题1.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=10，AD∶AB=1∶2，AB=5BC／4，求DE的长2.如图，四边形DEFG是正方形，DE=2cm，AM⊥BM，垂足为M，AM=5cm，求△ABC的面积3.如图， AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若BD=16cm，CD=9cm，求AB，AC和AD的长4.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若S四边形DBCE=2S△ADE，求DE∶BC5.如图，已知，在△ABC的AB，AC边上各取一点D，E，使3AD=BD，3AE=EC，设BE，CD的交点为P，求证：S△PBC= 16S△PDE6.如图，ABCD中四边形，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，求S△DOC:S△BOC7.如图，□ABCD中，E为AB的中点，△BEF的面积为1cm2，求□ABCD的面积8.如图，正方形ABCD中，AB＝1，G为DC中点，E为BC上任一点，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E 作GA平行线交AB于F，设AFEC面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
三角形相似性质练习题
三角形相似性质练习题一、选择题1. 若两个三角形的两边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形（）。
A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似2. 在ΔABC中，若AB=6cm，AC=8cm，且∠A=30°，在ΔDEF中，若DE=12cm，DF=16cm，且∠D=30°，则ΔABC与ΔDEF（）。
A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似3. 下列关于相似三角形的性质，错误的是（）。
A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长成比例D. 面积相等二、填空题1. 若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形（）。
2. 在ΔABC中，若AB=5cm，AC=7cm，且ΔABC∽ΔDEF，若DE=10cm，则DF的长度为（）cm。
3. 若两个相似三角形的面积比为9:16，则它们的边长比为（）。
三、解答题1. 在ΔABC中，AB=6cm，AC=8cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=12cm，DF=16cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。
2. 已知ΔABC与ΔDEF相似，且AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，DE=3cm，求DF的长度。
3. 在ΔABC中，∠A=60°，∠B=70°，AB=5cm，AC=8cm，求ΔABC的面积。
4. 证明：若两个三角形的两边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。
5. 在ΔABC中，AB=5cm，AC=7cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=10cm，DF=14cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。
四、判断题1. 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形一定相似。
（）2. 两个相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。
（）3. 任意两个等腰三角形都是相似的。
（）4. 如果两个三角形的周长比是2:3，那么它们的面积比也是2:3。
第27章相似三角形专题讲解：第2讲 相似三角形的性质(word精编版)-有答案
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例1】如图，已知点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 与△ABC 对应高的比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶2【解答】解：∵△ADE 与△ABC 相似，∴△DEF 与△ABC 对应高的比等于相似比，即是1∶2 。
故答案是A【例2】如图，已知△ABC 中，AB ＝20，BC ＝14，AC ＝12，△ADE 与△ACB 相似，∠AED ＝∠B ，DE ＝5．求AD ，AE 的长．【解答】解：∵△ADE 与△ACB 相似， ∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴，∴∴AD ＝ ∵∴∴AE ＝【例3】如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE相似三角形的性质相似三角形的性质典题精练模块二利用相似比求相似三角形对应线段的比利用相似比求三角形的周长和面积相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .【解答】解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12；(2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.【例4】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( ) A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1【解答】解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.【例5】如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．【解答】解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BECB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.利用相似三角形的周长或面积比求相似比利用相似三角形的性质和判定进行计算【例6】如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D . (1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APNS △ABC＝(APAB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以APAB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33. 【例7】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：；（2）求这个矩形EFGH 的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ， ∴∠AHG ＝∠ABC ， 又∵∠HAG ＝∠BAC ， ∴△AHG ∽△ABC ，利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题∴；（2）解：由（1）得：设HE ＝xcm ，MD ＝HE ＝xcm ，∵AD ＝30cm ， ∴AM ＝（30﹣x ）cm ， ∵HG ＝2HE ， ∴HG ＝（2x ）cm ， 可得，解得，x ＝12， 故HG ＝2x ＝24所以矩形EFGH 的周长为：2×（12+24）＝72（cm ）． 答：矩形EFGH 的周长为72cm ．【例8】如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【解答】解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2；(2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（ ）跟踪练习利用相似三角形的性质解决动点问题A．B．2：5 C．4：5 D．16：252．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：43．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（）A．B．2：5 C．4：5 D．16：25 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，∴它们对应中线的比为4：5，故选：C．2．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴S△ABC ：S△A'B'C'＝22：32＝4：9．故选：C．3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．故选：B．4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝6，即另一个三角形的最短边的长为6cm．故选：A．5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为9：4，∴△ABC与△DEF的相似比为3：2，∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为3：2，故选：D．二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠FAC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG＝BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【解答】（1）证明：∵AE2＝AD•AB，∴，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACB，∴∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，∴相似比为，∴＝，即＝，＝120cm，解得C△A′B′C′∵＝（）2，∴＝，＝600cm2．解得S△A′B′C′12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD﹣t＝6﹣t，DF＝2t，∴6﹣t ＝2×2t ，解得t ＝，故当t ＝时，DE ＝2DF ；（2）∵矩形ABCD 的面积为：12×6＝72，S △ABE ＝×12×t ＝6t ， S △BCF ＝×6×（12﹣2t ）＝36﹣6t ，∴四边形DEBF 的面积＝矩形的面积﹣S △ABE ﹣S △BCF ＝72﹣6t ﹣36+6t ＝36，故四边形DEBF 的面积为定值；（3）设以点D 、E 、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，则＝或＝， 由ED ＝6﹣t ，DF ＝2t ，FC ＝12﹣2t ，BC ＝6，代入解得：＝或＝，解得t ＝3或t ＝，故当t ＝3或时，以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似．。
相似三角形性质专题(附答案
相似三角形的性质专题练习（附答案）1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC= .2.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是3.已知在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点D是射线BC上的一点（不与端点B重合），连接AD，如果△ACD与△ABC相似，那么BD= .4.如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点（不与A、B重合），F是边BC上一点（不与B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF= .5.如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．如图，D是等边△ABC的边BC上一动点，ED∥AC交AB于点E．DF⊥AC交AC于点F，DF=3，若△DCF与E、F、D三点组成的三角形相似，则BD的长等于1.解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 边的中点，∴CD=BD=AB 21=5 ∵以D 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似， ∴∠DPC=90°或∠CDP=90°， （1）若∠DPC=90°，则DP ∥AC ，∴21==BC BP AB BD ∴BP=421=BC ，则PC=4； （2）若∠CDP=90°，则△CDP ∽△BCA ，∴1085,PC AB PC BC CD ==即，∴PC=425． ∴PC=4或425 2.解：根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC ∽△ABC 时，BC CF AB F B ='， 又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=BF ，所以886'BF F B -=， 解得BF=724； ②△B′CF ∽△BCA 时，CACF BA F B ='， 又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=CF ，BF=B′F ，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF 的长度是4724或. 3.解：解：①若点D 在线段BC 上，∵△ACD ∽△BCA ，∴AC CD BC AC =，即121612CD =， 解得：CD=9，则BD=BC-CD=16-9=7；②若点D 在线段BC 的延长线上当△D AC ∽△ABC 时，则AC CD BC AC =，即121612CD =， 解得：CD=9，则BD=BC+CD=16+9=25； 当△ACD ∽△ACB 时，则BC CD AC AC =， 即BCCD =1212，∴CD=16， 则BD=BC+CD=16+16=32．故答案为：7或25或32．4.解：：①如图1，∠DEF=90°时，设AE=x ，则BE=4-x ，易求△ADE ∽△BEF ，∴EF DE BE AD =，即EFDE x =-43， ∵△DEF 和△BEF 是相似三角形， ∴△DEF 和△ADE 是相似三角形，∴ADAE EF DE AE AD EF DE ==或 ∴343343x x x x =-=-或， 整理得，6x=12或x 2-4x+9=0（无解），解得x=2，∴BE=4-2=2，BF 223=，解得BF=34，CF=3-34=35；②如图2，∠DFE=90°时，设CF=x ，则BF=3-x ，易求△BEF ∽△CFD ，∴EF DF BF DC =，即EF DF x =-34，∵△DEF 和△BEF 是相似三角形，∴△DEF 和△DCF 是相似三角形，∴DCCF EF DF CF DC EF DF ==或，即434434x x x x =-=-或， 整理得，8x=12或x 2-3x+16=0（无解），综上所述，CF 的值为5/3或3/25.答案自己给出6.解：∵ED ∥AC 交AB 于点E ，△ABC 是等边三角形， ∴△BDE 是等边三角形，∠FDC=30°，当△DCF ∽△EFD ， ∴∠FED=∠FDC=30° ∴DE=3333tan ==∠FED DF ，∴BD=DE=3；当△DCF ∽△FED ，∴∠EFD=∠FDC=30°，∴BD=DE =DF•tan ∠A=1．故答案为：1或3．7.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt △DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 1.44 cm 2．解：根据旋转的性质可知，△PSC ∽△RSF ∽△RQC ∽△ABC ，△PSC ∽△PQF ，∵∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，∴BC=5，PC=2，S △ABC =6，∵S △PSC ：S △ABC =1：4，即S △PSC =23， ∴PS=PQ=23， ∴QC=27， ∴S △RQC ：S △ABC =QC 2：BC 2，∴S △RQC =50147， ∴S RQPS =S △RQC -S △PSC =1.44cm 2．。
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相似三角形的性质(2)练习题
沈阳市培英中学
王晓丹
2014年10月
4.7相似三角形的性质(2)
1.判断题：
(1)如果把一个三角形各边同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。
(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。
2. (1)已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比，周长比为
，面积之比为。
(2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9：4，则相似比，周长之比为
，对应边上的高线之比。
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍。
4.两个相似三角形的一对对应边分别是3厘米和2 厘米，
(1)它们的周长之差是6厘米，这两个三角形的周长分别是。
(2)它们的面积之和是26平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。
例2：如图：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半。
已知BC=2，求△ABC平移的距离。
C F
E
5.如图1,在△ABC 中,D 是AB 的中点，DE//BC ，
则(1)S △ADE ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DBCE = .
6.如图2,在△ABC 中,D 、F 是AB 的三 等分点，DE//FG//BC ， 则(1)S △ADE ﹕S △AFG ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DFGE ﹕S 梯形FBCG= .
7.在△ABC 中，DE//BC ，且△ADE 的面积等于梯形BCED 的面积，则△ADE 与△ABC 的相似比是_______。
8.在△ABC 中， DE// FG// BC ，且△ADE 的面积,梯形FBCG 的面积,梯形DFGE 的面积均相等，则△ADE 与△ABC 的相似比是_______；△AFG 与△ABC 的相似比是_______. 9.已知：如图，在△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9。
求：△ABC 的面积。
10.如图，平行四边形ABCD 中，AE ：EB=1：2， (1)求△AEF 与△CDF 周长的比；
(2)如果S △AEF=6 cm 2,求S △CDF 。
图2。