基于matlab的拥塞概率的仿真

homework1 黄如容09041057 基于M/M/C/∞模型拥塞概率的仿真 一、M/M/C/∞模型的建立 Erlang B公式将丢失呼叫清除系统的服务等级（GOS）定义为任意一个用户遇到呼叫拥塞的概率。.Erlang B模型基于以下假定： 1) 呼叫请求无记忆，即所有用户，包括拥塞用户可以在任何时间请求分配一个信道。 2) 在所有信道都被占用之前，任何空闲信道都能用来服务一个呼叫。 3) 用户占用一个信道间隔(称为服务时间)的概率是指数分布。指数分布中较长时间的呼叫发生的概率较小。 4) 在中继资源中可用信道是有限的。 5) 业务请求是Poisson过程，即呼叫间隔时间是指数分布的。 6) 呼叫请求到达时间间隔彼此独立。 7) 忙信道数等于服务中的用户数，拥塞概率为：

0!!CrkCkACPAk



阻塞＝

其中，C是中继信道数，A是中继系统的负荷。 Erlang B 公式表示的中继系统称为M/M/C/∞排队系统。第一个M表示呼叫到达是非记忆Poisson过程，第二个M表示用户服务时间指数分布，C表示可用中继信道数，∞表示对同时服务用户数没有严格限制。其模型如下图1所示，用

户到达的速率为，用户被服务的速率为，系统中有C个信道。

C...12

图1：M/M/C/∞排队模型 基于Erlang B的模型根据丢失呼叫清除设计，当用户发起呼叫时发现任何一个信道是空闲的，既可获得服务，否则被拥塞。Markov链的性质可以用来导出

Erlang公式。考虑一个离散时间随机过程|0,1,2,nXn，从正整数集中取值，

这样该过程状态是0,1,2,i。如果该过程从当前状态i转移到下一状态i＋1，并

C Service User  homework1 黄如容09041057 只依赖状态i而与前面状态无关，则该过程称为Markov链。利用离散时间Markov链，我们可以在持定业务条件下，在分离观察点观察业务情况。一个实际中继系统的运作在时间上是连续的，但可以在小时间间隔内分析，是一个很小的正

数。如kN是k时间内系统中的呼叫（占用信道）数目，kN可以表示为：

kNNk

其中，N是一个离散随机过程，表示在离散时间上被占用信道的数量。 转移概率,ijP为：

,1|ijrkkPPNjNi

让0，可得： 1P

11iiPi

,10iiPi

,11iiPi

,,1,1ijPjijiji

Markov链的状态转移图由图2表示。

012C…

1

2

C

3

1

21

C1

…

图2：Erlang B中用Markov链状态图表示的转移概率 图2中具有C个信道的中继系统可表示为一个Markov链。在该Markov链状态图中，假定系统中0个信道被占用，即无用户。在一个小的时间间隔后，系统继续保持0信道占用的概率为1。从占用0信道变为占用1信道的概率为。另一方面，从占用一个信道变成占用0信道的概率为。类似的，系统保

持为占用1信道状态的概率为1。所有从一个状态转出的概率和为1。在一段长时间后，系统到达平稳状态，具有n信道占用。在平稳状态，占用n信道的概率与占用n-1信道的概率相等，并且是转移概率的倍数。 homework1 黄如容09041057 这样在平稳状态条件下， nnPnP1， Cn

10CnnP 对不同的n值可得: nPPnn

1， Cn,,3,2,1

nPPnn

1

01

PP

利用不同n值对上面的方程式求值:

!10nPPnn



且 CiinnPnPP10-1!





可得C中继信道拥塞率为:

CnnCCnCP0!

1

!1



总负荷/HA。代入方程式拥塞率为: CnnCCnACAP0!

1

!1

即为Erlang B公式。 二、M/M/C模型的仿真 此仿真是在MATLAB（R2009b）的平台下进行的。利用MATLAB仿真呼叫接入信道过程，得出在不同呼叫速率下的拥塞率，然后用画出仿真得到的拥塞率数据和ErlangB公式理论拥塞率曲线进行对比。 仿真步骤如下： 1）业务请求是Poisson分布，即到达间隔时间是指数分布。程序设计产生以为均值的指数分布的随机数，作为一个服务的顾客到达间隔。 homework1 黄如容09041057 2）顾客服务时间是指数分布。程序设计产生以为均值的指数分布的随机数，作为一个顾客的服务时间。 3）以0为起点，由顾客的到达间隔可以求出到达时刻arrive，从而进一步求出顾客离开时刻leave。 4）检查是否有空闲信道，若有则接入并占用信道，若无则拥塞 5）统计总共被拥塞掉的顾客数，并除以到达的顾客数，即为拥塞率。 6）增大呼叫到达率，转至步骤1） 三、仿真结果 仿真参数：信道数为20，平均服务时间为20分钟，用户数为2000，总共进行了1000次仿真，呼叫到达率lamda从0开始每次增加0.01。拥塞概率曲线和理论拥塞概率曲线如下图所示：

图3：呼叫过程拥塞概率曲线 四、结果分析 从图3中可以看出，仿真曲线和理论曲线整体趋势基本吻合。所以所建立的模型是正确的。同时随着用户到达率的增加，而用户的服务率不变和信道的总数不变的情况下，呼叫的拥塞率逐渐增加，并且逐渐趋于平稳。 附程序 %M/M/C模型的呼叫过程阻塞概率的仿真 clc homework1 黄如容09041057 N = 2000; %用户数 H = 30; %平均服务时间为30分,平均服务时间 lamda = 0; %泊松到达过程的参数，到达速率 mu = 1/H; %指数分布的参数 C = 30; %信道数 for i = 1 : 1 : C %channel记录接入的呼叫的离开时间 leave(i) = 0; end %%%%%%%%%%%%%%%以话务量为变量进行呼叫过程阻塞概率的仿真%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LOSS(1) = 0; for k = 1:N; lamda = lamda+0.01; for i = 1 : 1: C leave(i) = 0; end n=0; %被阻塞的用户数 %产生服从Poisson到达过程的用户到达时间 U1 = rand(N,1); %产生N个均匀分布的随机数 temp = 0; for i = 1:1:N arrive(i) = temp - log(U1(i))/lamda; temp = arrive(i); end %产生服从指数分布的用户服务时间 U2 = rand(N,1); for i = 1:1:N service(i) = -log(U2(i))/mu; end %产生用户离开时间 for i = 1:1:N depart(i) = arrive(i)+service(i); end %计算阻塞概率 for i = 1 : 1 : N flag = 0; %标志信道是否被阻塞 for j = 1 : 1 : C if leave(j) < arrive(i) % 若果第i个用户到达的时间小于某一个用户在j个信道中离开的时间，则说明该信道空闲,可接入第i个用户。 leave(j) = depart(i);%则此时第j个信道中用户的离开时间记为depart(i)。 flag = 1; break; end homework1 黄如容09041057 end if flag == 0 % 阻塞 n = n + 1; end end LOSS(k) = n / N; end lamda_temp = 0.01 : 0.01 : N*0.01; A = lamda_temp * H;%呼叫强度*保持时间=业务量 plot(A,LOSS,'g');%绘制呼损率的图形 hold on; %计算阻塞概率的理论值 A = lamda_temp * H; for j = 1 : length(A) sum=0.0; for i=1:1:C temp = (A(j)^i) /factorial(i); sum = sum + temp; end Pr(j) = (A(j)^C) / (factorial(C) * sum);%呼损率公式 end plot(A, Pr, 'r'); title('呼叫过程拥塞概率的仿真结果') xlabel('话务量(Elangs)') ylabel('拥塞概率') legend('仿真曲线','理论曲线') grid on