平面与平面垂直的判定与性质26

平面与平面垂直的判定与性质
教学重、难点：
1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。
2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。
教学内容：
要点一、二面角
1．二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做
二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
2 二面角的求法与画法

棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角AB. 有时为了方便，也可在,内(棱以外
的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P – AB – Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作
二面角l或P – l – Q.

3．计算二面角大小的方法
（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的
大小。
作二面角的平面角常用下列三种方法：
① 用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面
角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运
用。
② 用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足
为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作
二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法
来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。
③ 用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个
半平面交线所成的角就是二面角的平面角。
（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角

为θ，则。
3 二面角的平面角

如图（1）在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l
的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.
（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.

[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．

分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线
定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA
于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，

[例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB
和平面PCD所成二面角的大小．

分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须
找二面角的棱．
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂线定理)
在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B
－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA＝AB=a
(2)过P作PQ ∥AB，则PQ平面PAB，
∵AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ平面PCD
∴平面PAB∩平面PCD于PQ
∵PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)
∵PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．
∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.
评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角
要点二、平面与平面垂直的判定
1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面
与垂直，记作
⊥.
2．两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。
求证：平面ABC⊥平面BSC。

证法一： 作AD⊥平面BSC，D为垂足。
∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，
∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°，
∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内。
∴平面ABC⊥平面BSC。
证法二： 取BC的中点D，连接AD、SD，易证AD⊥BC，又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三
角形，
∴BD=SD ∴AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，
∴AD⊥平面BSC。又AD 平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BSC。
评注 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方
法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面
垂直。

[例3]已知：如图，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A´BE的位置，
使A´C=A´D。
（1）求证：平面A´BE⊥平面BCDE；
（2）求A´C和平面BCD所成角的大小。
要点三. 两个平面垂直的性质
两个平面互相垂直时有下面两个性质：
1 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则
线面垂直”。
2 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质
定理直接应用

例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：
平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为，由已知条件，
PA⊥，BC在内，
所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC.
1. 正方体ABCD-A1B1C1D1 中，平面ABC1D1与正方体的其他各个面所成的二面角的大小分别为多少？
A
A
1

B
C
D
B

1

D
1

C

1

（00045,45,90）
2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？

答：面ABC⊥面BCD
面ABD⊥面BCD
面ACD⊥面A

1．下列命题中正确的是 。
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
③如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④两直线a,b平行，由a⊥α可得出b⊥α。
2．如右图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，求证：BCPC。

3.如右图所示，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，
ACBC，D是AB的中点。求证：CD
平面11ABBA。

4.已知正四面体ABCD中，各棱长均为2，E为AD的中点。（1）求AD与平面BCD所成的角的正弦值；
（2）求EC与平面BCD所成的角的正弦值大小。（提示：作BC中点F，找到底面的重心O）

A
C

B
D

A1 C1
B1
F
E
A
D
B
C
O
N

M

P

D
C
B
A

5．如右图，PA正方形所在平面ABCD且PAAB，,MN分别是,ABPC的中点。
（1）求证：//MN平面PAD； （2）求MN与平面ABCD所成角的大小。
（3）求证：MNCD； （4）求证：MN平面PCD。