中考数学几何模型专题专题七—四边形

专题七 四边形 模型31 中点四边形模型模型展现 基础模型已知：点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点结论1：四边形EFGH 是平行四边形；结论2：C 四边形EFCH = AC +BD ； 结论3：S 四边形EFGH ＝21S 四边形ABCD 怎么用？ 1.找模型题中已知四边形四条边的中点 2.用模型顺次连接各条边的中点及连接已知四边形的对角线解题 满分技法中点四边形模型实质考查的是中位线的判定及性质. 拓展延伸已知△ABC ，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则△DEF 是△ABC 的中点三角形.△DEF 与△ABC 的关系：△C △DEF ＝21C △ABC △S △DEF ＝ 41S △ABC结论分析结论1：四边形EFGH 是平行四边形证明：由题图可知四边形ABCD 被AC 分成两个三角形，△E ，F 分别是AB ，BC 的中点，△EF 为△ABC 的中位线，同理HG 为△ACD 的中位线，△EF//AC ，EF=21AC ，HG//AC ，HG=21AC ，△EF//HG ，且EF=HG ， △四边形EFGH 是平行四边形； 结论2：C 四边形EFCH = AC +BD 证明：△四边形EFGH 是平行四边形，△EF=GH ，FG=EH ，△四边形EFGH 的周长为2(EF+FG ). △EF ，FG 分别是△ABC 和△BCD 的中位线，△EF=21AC ，FG=21BD ，△四边形EFGH 的周长为2(EF+FG )=AC+BD ； 结论3：S 四边形EFGH ＝21S 四边形ABCD 证明：EF 为△ABC 的中位线，GF 为△BCD 的中位线， HG 为△ACD 的中位线，EH 为△ABD 的中位线，△S △BEF =41S △ABC ，s △CGF =41S △BCD ， S △DHG =41S △ACD ， S △AHE =41S △ABD ，△S △ABC +S △BCD +S △ACD +S △ABD =2S 四边形ABCD ，△S 四边形EFGH =S 四边形ABCD -(S △BEF +S △CGF +S △DHG +S △AHE )=S 四边形ABCD -41S 四边形ABCD =21S 四边形ABCD模型拓展巧学巧记1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相的垂直的四边形中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形，典例小试例1顺次连接菱形四条边的中点(画出草图,本题即可迎刃而解啦)所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对考什么?菱形的性质和矩形的判定例2若顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是矩形，(一定是找导致这个结果的最根本原因)则原四边形（）A.一定是矩形B.一定是菱形C.对角线一定互相垂直D.对角线一定相等考什么?矩形的判定思路点拨对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形,但中点四边形是矩形的四边形不一定都是菱形，例3如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD，DA的中点(点拔：矩形中点四边形).若AB=4,AD=6，则图中阴影部分(先判断阴影部分的形状)的面积为；周长为.考什么?矩形的中点四边形,菱形的周长公式及勾股定理思路点拨可通过中点四边形与原四边形的面积、周长关系直接求得,也可以先判断中点四边形的形状,再根据中点四边形的面积、周长公式计算,灵活运用,哪种方法简单用哪种.例4如图,在四边形ABCD中,AC=BD=4(对角线相等),E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点(顺次连接四条边的中点，判断四边形EFGH的形状).则EG2+EH2(遇到线段的平方和,考虑利用勾股定理转化求解)的值为.考什么?中位线的性质,菱形的判定和勾股定理.实战实演1.顺次连接下列四边形各边中点所构成的四边形中为正方形的是（ ） △平行四边形;△矩形;△菱形;△正方形;△对角线互相垂直且相等的边形 A .△△ B .△△ C .△△ D .△△2.如图,已知菱形A 1B 1C 1D 1的面积为2,顺次连接菱形各边的中点得到四边形A 2B 2C 2D 2,记为第1次操作,再顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边的中点得到四边形A 3B 3C 3D 3,记为第2次操作,…,依次类推,则操作2022次后得到的四边形的面积为 （ ）A .(21)2020B .(21)2021C . (41)1011D .(41)20223.如图,已知EF 为△ABC 的中位线,点D 是△BAC 内一点,且在BC 下方,连接BD ,CD ,G ,H 分别是CD ,BD 的中点,连接 AD ,EH ,GH ,FG ,AD 与BC 交于点P . (1)求证:四边形EFGH 为平行四边形；(2)当AD 和BC 满足什么关系时,四边形EFCH 为矩形? 并说明理由； (3)若AB =AC =6,△BAC =600,BD =CD ,当四边形EFCH 为正方形时.求PD 的长.模型32 “十字架”模型模型展现基础模型怎么用?1．找模型在正方形中存在互相垂直的线段,且端点在正方形的边上,看起来像“十字架”2.用模型根据等角(同角）的余角相等,再结合正方形的性质证明两条线段所在三角形全等巧学巧记正方形中的十字架模型,垂直一定相等，但相等不一定垂直.结论分析结论1:若AE⊥BF ,则AE=BF证明:△四边形ABCD为正方形，∴AB= DA, ∠BAF=∠ADE= 90°,△AE⊥BF , ∴∠AGB=90°，∴∠ABF+∠BAG= 90°,△ ∠BAG+∠DAE=90°, ∴∠ABF= ∠DAE.在△ABF和△DAE中，BAF ADE BA ADABF DAE ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABF △△DAE ( ASA )， ∴AE =BF .满分技法对于结论2,可通过HL 证明全等;其他情形的结论均可通过全等或构造全等证明,因此遇到“十字架”模型试题,第一步则考虑用全等. 模型拓展拓展1拓展2满分技法“十字架”模型解题的关键是寻找(构造)两条“十字架线”所在的直角三角形,再利用余角代换证明一组角相等,从而得到全等(正方形中)或相似(矩形中). 结论分析针对拓展1中的结论进行证明,过程如下: 证明: △四边形ABCD 为矩形,∴∠EDC = ∠A = 90°,∴ ∠ADB +∠BDC = 90°,△CE ⊥BD ,∴ ∠DCE +∠BDC = 90°, ∴ ∠DCE =∠ADB , ∴ △DCE △△ADB ,∴CE CD=DB DA拓展延伸拓展2中结论的证明方法同样是证明EF和GH所在两个三角形相似.可考虑平移线段或作垂线(如图△△).典例小试例1如图,在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD边上的点,BE△CF于点G（提示：正方形中遇垂直,知相等,BE=CF），若AB=4,AF= 1,则BE的长（提示：利用勾股定理，先求CF的长）为.考什么?正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理例2如图,正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点G（提示：可知AE=GF ,构造CF为斜边的直角三角形）,交CD于点F,若DF=2,BG=4,则AE的长（提示：先求BE的长,可利用垂直平分线的性质连接GE）为.考什么?正方形的性质,垂直平分线的性质及勾股定理思路点拨若互相垂直的两条线段所在三角形不明显,可考虑作平行或者垂直构造.例3如图,在Rt△ACB中（提示：由直角三角形和BD⊥CE可想到构造矩形）, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC中点, 连接BD, 过点C作CE△BD交AB于点E,交BD于点F（提示：再延长CE交矩形边于一点,此时十字模型必自现），则CE 的长为.考什么?直角三角形的性质,矩形的判定,相似三角形的判定及性质思路点拨遇见直角三角形中存在互相垂直的两条线段时,可考虑构造矩形或正方形,再结合“十字架”模型的特点解题.实战实演1．如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AD, CD边上的点,且AE=DF ,连接BE,AF交于点M ,N是BF的中点,若AB=10,AE=4,则MN的长为.2.如图,在矩形ABCD中,32BCAB=,点F,G分别为AB,CD上的点，将矩形ABCD沿FG折叠,使点A落在BC边的点E处,点D的对应点为P,PE交CD于点H,连接AE交FG于点O,若tan∠CGP=34, GF=,则CE的长为.例2 如图，在四边形ABCD中,△A+△C= 180°(提示：对角和为180°，且未知角平分线，则考虑相似三角形) ，AD:CD=2:3(提示：有线段比例关系，也会考虑相似三角形)，且AB=4,BC=5,△ABD的面积为2,则△BCD的面积为__________.考什么?相似三角形的判定与性质,三角形的面积计算公式例3 如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,连接BE,CE ,连接AC交BE于点F ,连接DF,若AC△BE(提示：由垂直可知△CFE+△CDE= 180° .考虑相似三角形) ,tan△ADF=31(提示：由正切值可知相似比) ,AD=13,则EF的长为__________.考什么?矩形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形及勾股定理的应用实战实演1.如图,在等边△ABC中,D为BC边的中点,点E,F分别是.AB,AC边上的点，且△EDF= 120°,若△BDE=45° , DF=6,则BE的长为__________.2.如图,在Rt △ABC 中,△C =60° ,BD △AC 于点D ,以D 为顶点作△EDF =90° ,分别交AB ,BC 于点E ,F ,则DFDE 的值为__________. 3.如图,在平面直角坐标系中,A (-3,0),B 为y 轴正半轴上一点,C 为y 轴负半轴上一点,连接CA ,过点C 作CD △CA ,且使CD = CA ,连接BD ,若△ABD = 90°，则点B 的坐标为__________.4.如图,已知四边形ABCD 为正方形,点E 在对角线AC 上,连接DE ,过点E 作EF △DE ,交BC 于点F ,以DE ,EF 为邻边作矩形DEFG .(1)求证:ED =EF ;(2)连接CG ,若四边形DECG 的面积为9,求CE +CG 的值.模型34 含60°角的菱形基础模型怎么用?1. 找模型题中已知含60°(或120°)角的菱形2. 用模型含60°角的菱形常需要作辅助线,构造等边三角形或者直角三角形,利用特殊三角 形的性质或者解直角三角形求解结论分析结论:1. △ABD =△CBD =△BAE =△CAE = 30°;2. △ABC 和△ACD 均为等边三角形;3. S 菱形ABCD =22321BC BD AC =• 证明: △四边形ABCD 为菱形,△ABC = 60°，△△ABD =△CBD =30°(菱形的对角线平分对角) ,AB = BC = CD =AD (菱形的四条边相等)，△△ABC 和△ACD 均为等边三角形(有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形).△AE △BC△△AEB =90°,△ △BAE = 30°△△ABD =△CBD = △BAE =△CAE = 30°.在Rt △ABE 中,,2323BC AB AE ==△S 菱形ABCD =AE BE BD AC •=•21(菱形面积公式)， △S 菱形ABCD =22321BC BD AC =• 满分技法摸清含60°角的菱形中结论的来龙去脉,让此类问题变得和心算一样简单. △AE BC BD AC 21S 菱形ABCD •=•=（菱形面积公式） △2菱形ABCD BC 23BD AC 21S =•= 模型拓展满分技法此模型也可看成半角模型中的120°半角模型，不必惊讶, 很多模型之间都有联系，等学完这本书，你一定要好好总结噢！典例小试例1（ 2021陕西）在菱形ABCD 中，△ABC =60°,连接AC ,BD线段比值遇见特殊角，锐角三角函数跑不了）的值为( )A .21B .22C .23D .33 例2 如图，四边形ABCD 为菱形，△ABC =120°，AC =34，(点拨：已知一条对角线，赶快作另一条对角线)则菱形ABCD 的面积是（ ）A .38B .12C .18D .163例3（2021南充）如图，在菱形ABCD 中，△A = 60°（点拨：根据60°菱形的性质先判断△DEF 的形状）点E ,F 分别在边AB ,BC 上,AE = BF =2, △DEF 的周长为36（点拨：结合AE 的长可想到过点D 作AB 边的垂线，再解直角三角形），则AD 的长为（）A .6B .32C .13+D .132-实战实演1.如图,在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ,B ,D 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0,1）,△BAD =60°,则点C 的坐标为（ ）A .)2,2(-B .)2,3(-C .)3,3(-D .），（32-2.如图，已知菱形ABCD 的边长为6, △ABC = 120°,点M 是对角线AC 上的动点，则MA +MB +MD 的最小值是 （ ）A .33B .333+C .36+D .363.如图,在菱形ABCD 中，AB =2,△B = 60°,过菱形的对角线交点O 分别作边AB ,BC 的垂线并延长，交各边于点E ,F ,G , H ,则四边形EFGH 的周长为 ________・4.如图△，已知在菱形ABCD 中,△ABC = 60°,点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，连接CE 交BD 于点P .(1)若CE △AB ,试判断线段PD 与PE 的数量关系,并说明理由；(2)如图△，作线段CE 的垂直平分线分别交BD ,CE 于点F ,G ,连接 EF .AF .△求证:AF = EF ；△求△CEF 的度数.。