6.3等比数列典型例题和详细解答

WORD格式 可编辑 专业技术 知识共享 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1. 3．等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) WORD格式 可编辑 专业技术 知识共享 (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )

(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a－an1－a.( × ) (6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × )

1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( ) A．21 B．42 C．63 D．84 答案 B 解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 答案 C 解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6

－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.

3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 答案 C 解析 数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4 ＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4. 4．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________． 答案 2n－1

解析 由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程 a1a4＝8，a1＋a4＝9，

解得 a1＝1，a4＝8或 a1＝8，a4＝1，又∵数列{an}为递增数列， ∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2. ∴数列{an}的前n项和为Sn＝1－2n1－2＝2n－1. 5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 WORD格式 可编辑 专业技术 知识共享 ________． 答案 27,81 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.

题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )

A.152 B.314 C.334 D.172 (2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4

解析 (1)显然公比q≠1，由题意得 a1q·a1q3＝1，a1－q31－q＝7，

解得 a1＝4，q＝12，或 a1＝9q＝－13(舍去)， ∴S5＝a1－q51－q＝－1251－12＝314. (2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 则 a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25， 即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.

所以 a1＝1，q＝2，或 a1＝－16，q＝12.故a3＝4或a3＝－4. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． WORD格式 可编辑 专业技术 知识共享 (1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32 (2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.

答案 (1)D (2)3n－1 解析 (1)设公比为q，则由题意知0＜q＜1，

由 a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，得a4＝3，a6＝2， 所以a5a7＝a4a6＝32. (2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1. 题型二 等比数列的判定与证明

例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

又 Sn＋1＝4an＋2， ①Sn＝4an－1＋n， ② ①－②，得an＋1＝4an－4an－1 (n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1) (n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1 (n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

∴an＋12n＋1－an2n＝34，

故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列． ∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14， WORD格式 可编辑 专业技术 知识共享 故an＝(3n－1)·2n－2. 引申探究 例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变探求数列{an}的通项公式． 解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1， 当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证． 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列． (1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， ∴当n＝1时，a1＝2×1＝2； 当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4， ∴a2＝4； 当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6， ∴a3＝8. 综上，a2＝4，a3＝8. (2)证明 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① ∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．② ①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，

∴Sn＋2Sn－1＋2＝2， 故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质及应用

例3 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.