代数基本定理sard定理证明
代数学基本定理的几种证明方法
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA84数学学习与研究2019.10代数学基本定理的几种证明方法◎柴凤娟（河南大学数学与统计学院，河南开封475002）【摘要】代数学基本定理是数学各学科经常用到的一个基本定理．它的证明有很多版本．根据抽象代数中代数闭域的5个等价命题，给出了代数学基本定理的5个等价定理，从而可以通过证明等价定理来证明代数学基本定理．本文总结了它在复变函数和抽象代数中的三种证明方法．【关键词】代数学基本定理；复变函数；代数MＲ（2000）主题分类号11C08，12E05，12E12，12F10，13B25代数学基本定理就是下面这个定理．代数学基本定理：在复数域C 上的n 次多项式方程p （z ）=a 0z n +a 1z n －1+…+a n =0（a 0≠0）．在C 中有且只有n 个根（几重根就算作几个根）．因为方程的根也是相应多项式的零点．我们也可以证明n 次多项式有且仅有n 个零点．因为n =0时，定理显然成立，因此，下面始终假定n ≥1．证明代数学基本定理与证明复数域C 上的任意n 次多项式p （z ）=a 0z n +a 1zn －1+…+a n （a 0≠0）在C 中至少有一个零点是等价的．这是因为找到这样的一个零点z 1后，根据［1］中定理Ⅲ．6．1与定理Ⅲ．6．6知p （z ）可以写成p （z ）=（z －z 1）p'（z ）的形式，其中p'（z ）为n －1次多项式，如果p'（z ）不为常数，对p'（z ）执行相同的步骤，递归下去，直到p'（z ）为一常数a 0．这时p （z ）=a 0（z －z 1）·…·（z －z n ），这样的过程能且仅能执行n 次，即n 次多项式p （z ）有且仅有n 个零点．在抽象代数中，设F 是一个域，用F ［x ］表示域F 上的多项式环（下面都用这种形式表示一个域上的多项式环），f 是F ［x ］中一个n 次多项式．如果f 能写成F ［x ］中线性因子的积，即f =u 0（x －u 1）（x －u 2）·…·（x －u n ）（u i F ），则称f 在F ［x ］中分裂．可见此时f 有且仅有n 个根．因此，证明代数学基本定理也与证明复数域C 上的每个多项式都在C ［x ］中分裂等价．令域F 是域E 的扩域，如果域F 中元素u 是K ［x ］中非零多项式f 1的零点，就称u 是K 上代数的．如果F 中每个元素都是K 上代数的，就称F 是K 的代数扩域．关于域有如下5个等价命题（它的证明参见［1］中定理V.3．3）：（1）F ［x ］中每个正次数多项式f （x ）都在F 中有一个根．（2）F ［x ］中每个正次数多项式f （x ）都在F ［x ］中分裂．（3）F ［x ］中每个不可约多项式次数都是1．（4）域F 有子域K ，F 于其上是代数的且K ［x ］中每个多项式在F ［x ］中分裂．（5）域F 没有除了它自己以外的代数扩域．如果域F 满足上面5个等价条件之一，则称F 为代数闭域．因为证明代数学基本定理与证明复数域C 满足上述命题（1）与（2）等价，因此，要证明代数学基本定理只要证明复数域C 满足上述5个等价命题之一即可，即证C 是代数闭域即可．下面分别给出它在复变函数和抽象代数中的证明方法．一、复变函数中的证明复变函数中复数域C 与复平面即z （z =x +iy ，x ，y ∈Ｒ）平面等同．因此，定理中的复数域C 可以用z 平面来代替，即定理中方程的系数和根都在z 平面上．在复变函数中有两种证明方法．一种是应用刘维尔定理证明，一种是应用儒歇定理证明．下面分别给出这两种证明方法．（一）应用刘维尔定理的证明下面给出应用刘维尔定理来证明代数学基本定理的第一种证法（参见［2］124－125页）．这里通过证明复数域C 满足上述第一个等价命题来证明．这需要应用复变函数中如下定义与定理．定义1．1（整函数）在整个复平面上解析的函数称为整函数．定理1．2（刘维尔定理）有界整函数f （z ）必为常数．证明一反证法，显然p （z ）=a 0z n +a 1zn －1+…+a n （a 0≠0）是z 平面上的整函数．设p （z ）在z 平面上无零点．由于p （z ）在z 平面上解析，1p （z ）在z 平面上也必解析．下面我们证明1p （z ）在z 平面上有界．由于lim z →ɕp （z ）=lim z →ɕz n a 0+a 1z +…+a n z()n =ɕ，lim z →ɕ1p （z ）=0，故存在充分大的正数Ｒ，使当|z |＞Ｒ时，1p （z ）＜1．又因为1p （z ）在闭圆|z |≤Ｒ上连续，故可设JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法85数学学习与研究2019.101p （z ）≤M （M 为正常数），从而，在z 平面上1p （z ）＜M +1，于是，1p （z ）在z 平面上是解析且有界的．由刘维尔定理，1p （z ）必为常数，即p （z ）必为常数，这与定理的假设矛盾．故定理得证．（二）应用儒歇定理的证明定理1．3（儒歇定理）设C 是一条围线，函数f （z ）及φ（z ）满足条件．（1）它们在C 的内部均解析，且连续到C ，在C 上，|f （z ）|＞|φ（z ）|，则函数f （z ）与f （z ）+φ（z ）在C 的内部有同样多（几级算作几个）的零点，即N （f +φ，C ）=N （f ，C ）．这里用N （f ，C ）来表示函数f （z ）在C 内部的零点的个数（算重数）．下面给出用上述定理证明代数学基本定理的方法．这里直接证明（参见［2］205－261页）．证明二令f （z ）=a 0z n ，φ（z ）=a 1z n －1+…+a n ，当z 在充分大的圆周C ：|z |=Ｒ上时，例如，取Ｒ＞max|a 1|+…+|a n ||a 0|，{}1，有|φ（z ）|≤|a 1|Ｒn －1+…+|a n －1|Ｒ+|a n |＜（|a 1|+…+|a n |）Ｒn －1＜|a 0|Ｒn =|f （z ）|，由儒歇定理即知在圆|z |＜Ｒ内，方程a 0z n +a 1z n －1+…+a n －1z +a n =0与a 0z n =0有相同个数的根．而a 0z n=0在|z |＜Ｒ内有一个n 重根z =0．因此原n 次方程在|z |＜Ｒ内有n 个根．另外，在圆周|z |=Ｒ上，或者在它的外部，任取一点z 0，则|z 0|=Ｒ0≥Ｒ，于是|a 0z n 0+a 1z n －10+…+a n －1z 0+a n |≥|a 0z n 0|－|a 1z n －10+a 2z n －20+…+a n |≥|a 0|Ｒn 0－（|a 1|Ｒn －10+|a 2|Ｒn －20+…+|a n |）＞|a 0|Ｒn 0－（|a 1|+|a 2|+…+|a n |）Ｒn －10＞|a 0|Ｒn 0－|a 0|Ｒn 0=0，这说明原n 次方程在圆周|z |=Ｒ上及其外部都没有根．所以原n 次方程在z 平面上有且只有n 个根．定理得证．二、抽象代数中的证明下面通过证明C 满足第二个等价命题来证明．因为要用到的抽象代数中的定义、引理和定理比较多，这里不一一列出．直接引用它们在［1］中的编号．证明三首先，我们假定下面的命题是成立的．实数域Ｒ上的每个奇数次多项式在Ｒ中至少有一个根．这是初等微积分中中值定理的一个引理．这里我们直接应用．根据定理V．1．10知要证明复数域C 上多项式环C ［x ］中每个正次数多项式f 都在C ［x ］中分裂，只要证明C 没有除了它自己以外的有限扩域即可，即证C 的任意有限扩域都与C 相等．因为［C ʒＲ］=2，char Ｒ=0，根据定理V．1．2、定义V．3．10及其下面的评论知C 的每个有限扩域E 1都是实数域Ｒ的有限维可分扩张，则根据定理V ．3．16知E 1被包含在Ｒ的有限维伽罗华扩域F 中．要证E 1=C ，只要证F =C．由定理V ．2．5知，F 于Ｒ上的伽罗华群Aut ＲF 是有限群，又由定理Ⅱ．5．7与定理V．2．5知Aut ＲF 有一个奇数（设为m ）阶的秩为2n （n ≥0）的Sylow 2－子群H ，H 的固定域E 是Ｒ上的奇数（m ）维向量空间，即［E ʒＲ］=［Aut ＲF ʒH ］=m （m 为奇数）．因为char Ｒ=0，所以E 是Ｒ的可分扩域，则由引理V ．3．17知E =Ｒ（u ）．再由定理V ．1．6知u 是Ｒ［x ］中m 次不可约多项式的根．因为m 为奇数，则由证明开始给出的命题知这个次数m 一定为1，即uＲ，Aut ＲF =H ，|Aut ＲF |=2n．因为Aut CF 是Aut ＲF 的子群，所以|Aut CF |=2m （0≤m ≤n ），只要证m =0即证得F =C．反证法，假设m ＞0，则由定理Ⅱ．5．7知Aut CF 有一个阶为2的子群J．令E 0是J 的固定域，由定理V ．2．5知E 0是C 的维数为［Aut CF ʒJ ］=2的扩域．这与引理V ．3．18矛盾．因此，m =0，即Aut CF =1，则由定理V ．2．5知［F ʒC ］=|Aut CF |=1，即F =C．定理得证．三、结论与展望本文列出了代数学基本定理的3个证明，并且证明中给出了代数学基本定理的一系列等价命题，显然抽象代数中的证明前给出的代数闭域的4个等价命题都可以转化为代数学基本定理的等价命题．这里给出的证明并不一定是全部的，只是希望对大家有所帮助．如果还有其他证明方法，知道的读者可与笔者联系，不胜感谢！【参考文献】［1］Thomas W．Hungerford ，Algebra （GTM 73），the United ［M ］．America ：Springer －Verlag ，1998．［2］钟玉泉．复变函数论［M ］．北京：高等教育出版社，2000：124－125，205－261．。
利用儒歇定理证明代数学基本定理
利用儒歇定理证明代数学基本定理
儒歇定理（稳定儒歇定理）是数论中的一个重要定理，它断言如果一个整系数多项式 f(x) 至少有一个复数根z0，那么存在
一个整系数多项式g(x)，使得 f(x) 可以被表示为 f(x) = (x -
z0)g(x)。
现在我们要利用儒歇定理来证明代数学的基本定理，即任何一个非常数的复系数多项式都有至少一个复数根。
假设存在一个非常数的复系数多项式 f(x) = a_nx^n + a_{n-
1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n ≠ 0，且 f(x) 没有复数根。
根据儒歇定理，对于任意复数 z0，存在一个整系数多项式
g(x)，使得 f(x) 可以被表示为 f(x) = (x - z0)g(x)。
假设 f(x) = (x - z0)g(x) 成立，那么 f(z0) = (z0 - z0)g(z0) = 0，所以 z0 是 f(x) 的一个根。
但是根据我们的假设，f(x) 没有复数根，与儒歇定理相矛盾。
因此，我们的假设是错误的，也就是说任何一个非常数的复系数多项式都有至少一个复数根。
这就是儒歇定理证明了代数学的基本定理。
代数学基本定理的证明
代数学基本定理的证明代数学基本定理，又称为代数基本定理，是代数学中的一个重要定理，它可以用于描述复数域上的多项式方程。
该定理的核心内容是：每个复系数n次多项式方程，都有n个复数根（重根算多个）。
这个定理的证明是非常有趣和精妙的，下面我们将详细介绍代数学基本定理的证明过程。
为了证明代数学基本定理，我们需先引入一个重要引理：复数域上的非零多项式方程必然有根。
这个引理可以这样证明：假设存在一个复系数多项式方程P(x)没有根。
然后我们考虑P(x)的系数a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0。
由于P(x)没有根，所以对于任意的复数x，都有P(x)≠0。
然后我们构造一个新的多项式方程Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，显然Q(x)也没有根。
但是我们可以发现，当x取非常大的复数时，Q(x)的绝对值也会变得非常大，这与复系数多项式方程的性质是矛盾的。
所以我们得出结论：复数域上的非零多项式方程必然有根。
接下来，我们来证明代数学基本定理。
我们可以采用数学归纳法来证明这个定理。
首先，当n=1时，我们只需要考虑一次多项式方程a_1x+a_0=0即可。
根据前面的引理，这个方程必然有根，所以代数学基本定理在n=1时成立。
假设当n=k时，任意一个k次多项式方程都有k个复数根。
现在我们来考虑一个k+1次多项式方程P(x)=a_{k+1}x^{k+1}+a_kx^k+...+a_1x+a_0=0。
我们可以先找到一个复数根x_1，使得P(x_1)=0成立。
根据多项式除法的原理，我们可以将P(x)除以(x-x_1)，得到一个k次多项式方程Q(x)=a_{k+1}(x-x_1)^k+b_k(x-x_1)^{k-1}+...+b_1(x-x_1)+b_0=0。
现在我们来证明Q(x)至少有k个复数根。
假设Q(x)没有根，那么根据前面的引理，Q(x)必然是一个常数，即b_k=b_{k-1}=...=b_1=b_0=0。
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
代数基本定理的八种证明方法
维普资讯
代 数 基 本 定 理 的 八 种 证 明 方 法
潮 兰萍
（安徽 广播 电视 大学安庆 市分校 ，安 徽 安庆 ２４６００１）
摘 要：本文应用复变函数的知识 ，引进多项式的分析性质 ，从复变函数 的解析性 出发 ，分别利用指数 函数的 性质 ，最大模原理 ，最小模原理 和复积分的有关定理中的柯西积分定理 ，平均值定理和残数定理对代 数基本定理给出了八种证 明方法。
上解 析 ，根据柯 西积分定理 有
ｆ 出＝ｏ （ ．１２ｌ …
另一方 面 ，令 Ｍ＝ｍａｘ｛Ｊ ａ．Ｊ，ｉ＝０，ｌ…． 一１Ｉ， 我 们可 推知
ｆ ＝０
与 （２）矛盾 【证 法三 ］ 记ｍ＝ｉｎｆｌ Ｐ（ｚ）ｌ 因 ｌ Ｐ（＝）ｌ一 ＋∞
Ｉ 一号ｌ＜
（ｚ一 ＊）所 以存在 ｏ使 Ｊ Ｐ（ ）ｌ＿ 现证 明 ｍ＝０，
≥Ｊ口 Ｊ ｝ 一｝ ＋．一·＋乎
Ｉ ｌ州－一（１ ｌ＋－．·＋ｌ乎
』
（其 中 ０ ＝ｍ／Ｄ ，ｉ＝０，１，… ，Ｒ一１）。取正数 使 当
（其中 ａ，６为任意 给定 的复数 ，ＦＲ：Ｉ ｚｌ： 包 Ｉ ｚＩ 时有
围 。．６）。由残 数定 理
，（４ ６）：击 （－，（６）一－，（ｄ））
界 ）。令 Ａ为 ０（Ｃ ）的一个 连通分支 、则 ＯＡ［ ０（０
（Ｃ １）。于是存 在 Ｚ０Ｅ Ａ使 Ｉ Ｐ（Ｚ０）ｓ Ｉ Ｐ（ｚ）Ｉ，Ｖ Ｅ
且ｕ Ｍ 。又 Ｐ（ｚ）在 以 内不 为常数 ，故 由最小 模原理 ，
Ｐ（ ）在 以 内至少存 在一个零 点 。
从证 明中可 以看 出 ，对 Ｖｍ＞ ０，集合 ０（Ｃ ）的每
浅谈代数基本定理的证明
浅谈代数基本定理的证明前言代数史本身就是一串解方程式的历史，我们从最简单的开始看起。
一元一次方程式100a x a +=其中011,(0)a a a ≠为复数，则明显地有一个解01ax a =-。
而二次方程式22100a x a x a ++=，其中0122,,(0)a a a a ≠为复数的时候，我们知道有两个解1222x x ==对任一个一般的三次方程式32321030,0a x a x a x a a +++=≠, 透过233a y x a =+的转换，可以让它变成30y py q ++=。
于是，在下列方程式 ()3333()()0u v uv u v u v +-+-+=中只要33u v q +=-，3puv =-，那么y u v =+就是答案了。
经过计算，3322q q u v =-=-0,1,2.u v i ωω===(31x =的三根为21,,ωω) 其中要取u 和v 使3puv =-而这就是卡当诺(Cardano)公式123y y y ωω===其中231,4272q p D ω=+=-。
例：解31540x x --=则()()2323415121427427q p D --=+=+-因()1553-⋅====-故三个解分别为1234y y y ωω====我们会发现对1次的复系数多项式方程会有1个解，2次的复系数多项式方程会有2个解，3次的复系数多项式方程会有3个解。
那4次、5次以及更高的次数呢?在1545年的时候，费拉里(Ferrari)找到了4次的多项式方程的根式解，但5次的多项式方程一直没有办法找到，在那之后阿贝尔(Abel)和葛罗瓦(Galois)，证明了5次以上的多项式没有一般的根式解。
那么5次以上的n 次多项式是不是有n 个解呢?这就必须用到了代数基本定理。
代数基本定理代数基本定理是代数上很重要的一个定理，它说明了任意一个复数多项式方程，都会有一个复数的解。
完整的定理说明如下：这个定理最早是被高斯(Gauss)在1799年在他的博士论文中提出来，直到现在，都一直不断有人再提出各种不同的证明，其中有利用复变函数、分析、代数拓朴等等方法。
代数基本定理高斯证明
高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理，即一个带有复数系数的n次代数方程g(x)=0，其中n为正整数，至少有一个复数解。
高斯给出了四种不同的证明方法，其中第一种方法是在他的博士论文中首次提出的。
高斯的第一种证明方法是通过纯粹的存在性证明，他并没有具体构造出多项式方程的解，而是证明了这样的解一定存在。
他的证明基于复数域的完备性，即任何复数多项式都可以表示为一次因式的乘积。
他通过考虑多项式的根和系数的关系，以及多项式的因式分解，证明了代数基本定理的正确性。
高斯的第二种证明方法是通过几何论据来证明的，但这种方法相对复杂，不是很容易理解。
第三种证明方法是通过判别式来证明的，即证明每两个根之差的乘积可以表示成多项式和它的导数的线性组合，这种方法也不易理解。
第四种证明方法是基于前三种方法的变种，但高斯更自由地使用了复数，使得证明更加简洁和易于理解。
总之，高斯的代数基本定理证明在数学史上具有重要地位，它不仅解决了长期以来数学家们对于多项式方程解的存在性的疑惑，而且为复数域的研究奠定了基础。
高斯的证明方法也展示了他在数学领域的卓越才华和创新思维。
复变函数理论证明代数学基本定理的几种方法
复变函数理论证明代数学基本定理的几种方法引言：复变函数理论是数学中的一个基础性理论，广泛应用于许多学术领域。
它可以用来证明代数学基本定理，它的定理表明如果一个复变函数在定义域上是复数可分解的，则它的极值点必定去恰好存在。
复变函数理论在证明代数学基本定理方面起着巨大的作用，那么如何利用复变函数理论去证明代数学基本定理是一个值得深入讨论的话题。
1.纵向分解的方法：这种方法基于复变函数的纵向分解定理，也叫极限定理，它指出如果一个复变函数在定义域上可被纵向分解，且其纵向分解系数不被0所限制，那么复变函数必有极大值或极小值。
即对一个复变函数，如果在定义域上可以被纵向分解，且纵向分解系数不被0所限制，则它必定有极大值或极小值。
这一定理用于证明代数学基本定理具有重要意义，因为它使得可以使用复变函数的纵向分解定理来证明代数学基本定理的正确性。
2.拉格朗日方法：拉格朗日方法是一种可以使用复变函数的方法，它利用复变函数的幂级数和其他相关的定理，从而证明某一复变函数的绝对值的极值点存在。
拉格朗日方法可以被用来证明代数学基本定理，通过研究一些复变函数，我们可以用这种方法证明代数学基本定理的正确性。
3.泰勒公式：泰勒公式是一种纯数学方法，它可以用来求出某一复变函数的可导程度和极值。
利用泰勒公式，我们可以计算出复变函数在某一定义域上的极值，而且这个极值是准确的，而且这一方法可以用来证明代数学基本定理的正确性。
4.积分的方法：这种方法可以用复变函数的积分法则来证明代数学基本定理的正确性。
积分法则表明，在定义域上，如果一个复变函数积分可以被积累，那么在定义域上存在有极大值或极小值。
因此，用积分法则可以证明一个复变函数在定义域上存在极值，从而得出代数学基本定理的结论。
结论：以上四种方法都可以用来证明代数学基本定理的正确性，其中纵向分解的方法基于复变函数的纵向分解定理，拉格朗日方法利用复变函数的幂级数和其他相关的定理，泰勒公式利用了复变函数的可导程度和极值，而积分的方法则用积分法则来证明代数学基本定理的正确性。
代数基本定理的严格证明
代数基本定理的严格证明代数基本定理，听起来是不是有点高大上？其实它就像一块大蛋糕，里面藏着各种美味的果馅儿。
想想吧，这个定理说的是，任何一个多项式方程，最多有那么多根，根的个数跟方程的次数一模一样。
比如说，你有个二次方程，最多就两个根，简简单单。
没错，听起来像数学课上老师的口头禅，但它的意义可大了。
说白了，这就像是数学界的万有引力，给我们提供了一个框架，让我们知道，哎，方程的根总是会以某种方式存在。
想象一下，你在一个热闹的集市上，四处逛荡，碰到了各种各样的小摊位。
每个摊位都有自己的特色，但无论哪个摊子，它们的存在都是为了让你挑选，最后带走一些美味。
代数基本定理就像这个集市，告诉你，无论多复杂的方程，总会有它的解，别担心，你总能找到一两个，甚至是几个。
数学这玩意儿，听起来冷冰冰，但其实充满了温暖，就像冬天里的一杯热巧克力。
我们知道，古希腊的数学家们可是对这个定理下了不少功夫。
那些伟大的头脑们，像阿基米德和欧几里得，花了多少个不眠之夜，试图解开方程的奥秘。
到了17世纪，德国的卡尔达诺就像个数学侦探，偷偷摸摸地研究起了三次方程。
再后来，阿贝尔和盖尔法特就把这个故事推向了新的高度，渐渐地，大家意识到，这些复杂的方程根本逃不过代数基本定理的法眼。
现在，很多人可能会觉得，哎，这玩意儿离我很远，毕竟我又不做数学研究，和我有什么关系呢？可是，你想啊，生活中到处都是方程，像做饭的时候调味料的配比，或者在理财时算利息，甚至是你玩游戏时的分数计算，这些都是方程啊。
代数基本定理就在这儿，悄悄地陪伴着我们，保证我们不会迷失在数学的迷雾中。
有趣的是，这个定理不仅仅适用于实数，它还扩展到了复数，仿佛给了我们一把钥匙，打开了更大的宝库。
想象一下，复数就像一个神秘的岛屿，充满了奇妙的生物和未知的风景。
而代数基本定理就像那张详细的地图，带你一路探险，发现那些原本以为根本不存在的解，简直让人兴奋得不得了。
代数基本定理的证明，不仅仅是一个数学问题，更是对我们思维方式的一种启发。
刘维尔定理和鲁歇定理证明代数基本定理
刘维尔定理和鲁歇定理是代数学中的两个重要定理，它们在证明代数基本定理中起着至关重要的作用。
以下就这两个定理的证明过程进行详细介绍。
一、刘维尔定理的证明1.1 定理表述：对于任意次数大于1的复系数多项式，存在至少一个复数根。
1.2 证明思路：我们可以通过数学归纳法来证明刘维尔定理。
当多项式次数为1时，其根即为多项式的系数比。
假设对于次数为n-1的多项式，定理成立，即存在复数根。
现在，来证明对于次数为n的多项式也存在复数根。
1.3 证明过程：设多项式为f(x)，次数为n，如果f(x)有根，即存在复数a，使得f(a)=0。
那么我们可以将f(x)表示为f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)是次数为n-1的多项式。
根据数学归纳法的假设，g(x)存在复数根，即存在复数b，使得g(b)=0。
f(x)也存在复数根，刘维尔定理得证。
1.4 总结：通过数学归纳法的证明，我们可以得出刘维尔定理成立的结论。
这个定理为证明代数基本定理奠定了重要的基础。
二、鲁歇定理的证明2.1 定理表述：如果多项式的所有系数都是实数，则存在实数或复数根。
2.2 证明思路：鲁歇定理是一个重要的代数学定理，它为证明代数基本定理提供了重要的依据。
证明思路是通过复系数多项式的实部和虚部进行分离，并通过构造新的实系数多项式来证明定理。
2.3 证明过程：假设f(x)为一个复系数多项式，其所有系数都是实数。
我们将f(x)表示为f(x)=g(x)+ih(x)，其中g(x)和h(x)分别为f(x)的实部和虚部。
现在，我们构造一个新的实系数多项式F(x)=g(x)^2+h(x)^2，不难验证F(x)存在实数或复数根。
根据鲁歇定理，原复系数多项式f(x)也存在实数或复数根。
2.4 总结：通过构造新的实系数多项式，我们成功地证明了鲁歇定理。
这个定理为证明代数基本定理提供了重要的工具。
三、代数基本定理的证明3.1 定理表述：任何次数大于1的复系数多项式都有至少一个复数根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代数基本定理sard定理证明
首先，我们应该了解卡德里和萨德定理（以下简称Sard定理）。
它指出，对任何非负实数函数f，其零点的贝尔和必然为零。
这一定理的早期表述是：当f（x）= 0时，它的积分必然为零。
证明这一定理需要使用一些
基本的集合论概念，如紧数集，连续函数及其断点。
Sard定理可以从几何角度来理解。
f（x）= 0时，其值为零，而多元
变量函数的积分不仅对变量x，而且还对变量y有意义，因此在多元场景中，表示的意思是如果f（x，y）= 0，那么多元积分的结果必然也为零。
接下来，我们将解释证明Sard定理的方法。
根据此定理，当f（x）=
0时，它的积分必然为零，所以要证明Sard定理，就要证明f（x）= 0。
首先，对于给定的非负实数函数f，我们假设它在区间[a，b]内恒定但不全为零。
可以证明，存在一组紧数集M={xi}，其常数ε＞0 使得若x在[a, b]内，则f（x）≤ε。
我们知道，存在紧数集使得f（x）＜ε，也就
是说，我们可以将紧数集M称之为“ϵ小集”。
另外，我们也可以知道，任何连续函数都有断点，也就是说存在x0，
使得f（x0）= 0。
显然，这也证明了f（x）= 0这一主张。
最后，要想让f（x）= 0，非负实数函数f必须连续且必须存在---小集。
也就是说，一旦我们找到了紧数集M，那么证明它就满足Sard定理的条件。
综上所述，我们可以看出，Sard定理是正确的，并可以用几何角度来理解，也可以用集合论概念证明它。
即，如果存在紧数集M使得该函数f 满足xεM，则f（x）＝0，因此Sard定理可以被证明。