信号分析与处理复习题

山东理工大学成人高等教育信号分析与处理复习题

一、简答题

1、判断系统)]()([)(n x n x n n y --=系统的线性、时不变性？

2、给出一种不用改变FFT 算法的计算程序可以实现IFFT 运算的方法？

3、在离散傅里叶分析中会出现什么问题？应如何改善这些问题？

二、计算题

1、dt t t )1()42(22-+⎰

∞

∞

-δ 2、求信号)]1()([--t u t u t 的拉氏变换

3、 dt t t t )2()]3cos(5[51

3-+⎰

∞

-δ 4、 求信号)sin()]1()([)(t t u t u t x π--=的拉氏变换 5、求正弦信号)sin()(θ+Ω=t A t x 的自相关函数

6、有一频谱分析仪用的FFT 处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：(1)频率分辨力≤10Hz (2)信号的最高频率≤4kHz 试确定以下参量：

(1)最小记录长度T ；(2)抽样点的最大时间间隔Ts ；(3)在一个记录中的最少点数N 。

7、导出用2个4点DFT 计算一个8点DFT 的按时间抽取的基－2FFT 算法，并画出运算流图？

8、设计FIR 低通滤波器，通带允许起伏1dB ，通带截至频率为0.3πrad ，阻带截止频率为0.6πrad ，阻带最小衰减大于40 dB 。

9、已知序列｝ 1 ,1 ,1 ,2{)(=n x ，｝2 ,1 ,2 ,2{)(h =n 1) 试计算出)(n x *)(n h

2) 试计算出)(n x 与)(n h 5点的循环卷积 3) 试计算出)(n x 与)(n h 8点的循环卷积

10、有限长序x(n )={1,2,-1,3}，采用FFT 运算流图求序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)。

11、设计FIR 低通滤波器，通带允许起伏1dB ，通带截至频率为0.25πrad ，阻带截止频

率为0.5π rad ，阻带最小衰减大于50 dB 。

12、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。已知三阶模拟巴特沃思滤波器的传递函数为：

3

2)()(2)(211)(c

c

c

a s

s

s

s H Ω+Ω+Ω+=

13、根据下列技术指标，设计一个数字FIR 低通滤波器：ωp=0.2π,p α=0.25dB ，ωs=0.4π, s α=50dB ，选择一个恰当的窗函数，确定该滤波器的冲激响应。

14、有一频谱分析仪用的FFT 处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为： (1)频率分辨力≤5Hz

(2)信号的最高频率≤1.25kHz 试确定以下参量：

(1)最小记录长度T ；

(2)抽样点的最大时间间隔Ts ；

参考答案及要点

一、简答题

1、解：.线性、时变系统

2、不改(FFT)的程序直接实现IFFT 的方法 ：

由∑-=--==

1

1,,1,0 ,)(1

)(N k nk

N N n

W

k X N

n x 得：

∑-==*-=*10

1101N k nk

N N ,,,n

,W )k (X N )n (x ∑-===-=***

*1011011N k nk N N ,,,n )]}k (X {FFT[N

]W )k (X [N )n (x

1)先取共轭 2)执行FFT 程序 3)对运算结果取共轭，并乘以常数N

1 3、1）.混叠现象：在采样前加抗混叠滤波器。

2).频谱泄漏：增加采样点数或其他类型的窗函数

3)栅栏效应：在数据的末端补零。 4)频率的分辨率：增加信号的长度。

二、计算题 1、

12

1)42(2)1()42(22

2==+=-+⎰

∞

∞

-t t dt

t t δ

2、 {}s

s e s

e s s t t t t t t 222111)]1([)]([)]1()([[----=

--=--εεεε 3、

dt t t t )2()]3cos(5[51

3-+⎰

∞

-δ＝0

4、解：2

2)

1()(ππ++=-s e s X s 当a

a 1

<

时： 5、 )sin()(θ+Ω=t A t x

t A d t t A dt t A t A T R T T T X Ω=θθΩ+Ωθθπ=θ+τ+Ωθ+Ω=τ⎰⎰π

π

--∞→cos 2

cos sin cos sin [sin 2])(sin[)sin(1lim

)(222

/2

/

6、解：(1)由分辨力的要求确定最小记录长度T. T=1/∆f=1/10=0.1(s)

故最小记录长度为0.1秒(2)从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T 。 fs ≥2fmax,Ts=1/fs ≤1/2fmax=0.125*10-3(s) (3)最小记录点数N ，它应满足 N ≥2fmax/∆f=800

该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点

7、先将x(n) 按n 的奇偶分为两组作DFT,设N=23

, 这样有: n 为偶数时: 3,,1,0 ),()2(1 ==r r x r x n 为奇数时: 3,,1,0 ),()12(2 ==+r r x r x

∑==-7

)()]([)(n nk

N W n x n x DFT k X

∑∑-=+-=++=

10

)12(1

22

2

)12()2(N N r k

r N r rk N

W r x W

r x ∑+∑===3

2230

21))(())((r rk

N k N r rk N W r x W W r x

令∑=∑===3

30

112

2

)2()()(r rk

r rk N N W r x W r x k X

∑+=∑===3

30

222

2

)12()()(r rk r rk N N W r x W r x k X

2

2

2)/(222N N N

W e

e

W j j N

===-*-ππ因为：

3,,1,0 )()()()()(3

23

122

=+=+=

∑∑==k k B W k A W r x W W

r x k X k

N r rk k N

r rk

N

N

因为： )()()()2

(1

1)

(1

12

2

22

2

k A W r x W

r x k N

A N N N

N N r rk k r r ==

=

+∑∑-=+-=

)()2

(

k A k N

A =+同理： 所以：)2

()2()2(212N k X W N k X N k X N

k N +++=+

+ 3,,1,0 ),()( =-=k k A W k A k

N

可见,X(k)的后一半，也完全由X1(k), X2 (k)的前一半所确定。

*N 点的

DFT 可由两个

N/2点的DFT 来计算。运算流下图所示：

A (0)

X (7)

X (0) X (1) X (2) X (3) X (4)

X (5) X (6)