输电线舞动的有限元分析及边界条件_图文(精)

第 14卷第 2期

重庆电力高等专科学校学报

2009年 6月 Vol . 14 No . 2

Journal of Chongqing Electric Power College

Jun . 2009

输电线舞动的有限元分析及边界条件

陈仁全

1, 2

, 张占龙 1, 丁明亮 2, 王勇

1, 2

(1. 重庆大学电气工程学院 , 重庆 400030; 2. 重庆电力高等专科学校 , 重庆400053

【摘要】以有限个梁单元模拟输电导线状态 , 采用最小位能原理推导出有限元方程 , 最后利用强制边界条件给出单元位移和应力方程 , 并运用仿真系统进行模态和谐响应分析。其结果可为以后线路优化设计提供依据。【关键词】舞动 ; 有限单元法 ; 风荷载 ; 仿真

【中图分类号】 T M726. 3【文献标识码】 A 【文章编号】 100828032(2009 022*******

收稿日期 :2008211226

作者简介 :陈仁全 (1971- , 讲师 , 研究方向 :输电线路的运行、检修和设计。1输电线模型的有限元格式

2节点的梁单元是有限元方法中较早提出 , 并

且至今仍广泛应用的单元 , 拟仿真的应用极为广泛 , , 精确。

1. 1典型的 2节点平面梁单元 , 编码为 i, j 的位移

分量如图 1所示

。

图 1平面梁单元

在有限元方法中 , 单元的位移模式或称为位移函数一般采用多项式作为近似函数 , 因为多项式运算简单 , 并且随着项数的增多 , 可以逼近任何一段光滑的函数曲线 , 多项式的选取采用由低次到高次。

用节点位移表示梁单元的位移模式 , 轴向位移

的位移模式取的线性函数 , 而挠度则 V 用三次多项式表示 , 即 :

u =[h (x ]{a}

(1

v =[H (x ]{b}(2

{和 {, 可以。

i x , 、节点挠 {u}=[u i u j ]

T

(3 {v}=[v i θi v j θj ]T

(4 将节点坐标带入式 (1 和 (2 , 节点坐标可以

表示为 :

{u}=[Ai ]{a}

(5 {v}=[A2]{b}

(6 于是得到用节点位移表示的位移模式并改成矩阵形式 :

{f}=

Hu (x Hv (x [A]{δ}

e

=[N]{δ}

e

(7

式中 , 结点位移列阵形式 :

{δ}e =[u i v i θi u j v j θj ] T

(8 形函数矩阵 :

[N]=

N u 1

N u 20

0N v 1

N v 2

N v 3

N v (9

式中 :

N u 1=1-ξN u 2=ξ, ξ=x /l

N v 1=1-3ξ2+2ξ2N v 2=l ξ(1-ξ

2

N v 3=ξ2

(3-2ξ N v 4=-l ξ2

(1-ξ(10

由于一维杆单元位移模式 , 取线性代数函数 ; 梁单元的位移模式 , 取三次代数多项式 , 正好负荷

杆单元中常应变能真实反应梁单元的弯曲变形情况 , 因此求得的有限元解答是精确解 , 用上述位移模式通过虚位移原理推导出梁单元的单刚矩阵和由矩阵位移法推导的自由单刚矩阵完全相同。但一般情况 , 有限元设置的模式并非实际位移 , 故协调单元的位移解小于实际值。

1. 2应变矩阵和应力矩阵

确定了单元位移后 , 可以利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。用 (7 式带入位移 , 得到的单元应变为 :

ε= ε

x

ε

y

γ

=L u =LN δe =L [Ni N j ]δe

=[Bi B j ]δe =B δe (11 B 称为应变矩阵 , L 是平面问题的微分算子。应变矩阵B 的分块子矩阵是 :

B i =LN i 0 9

9y N i

x

0v 9y

9y 9 (12

当单元的结点坐标确定后 , B 矩阵中的参数也就确定下来。单元的结点坐标δe 确定以后 , 然后由 B 转换求得的单元应变 , 在载荷的作用下单元中各点具有同样的值。在应变梯度较大的部位 , 单元划分应适当密集 , 否则将不能反映应变的真实变化情况而导致较大的误差。

单元应力可以根据物理方程求得

σ= σ

x

σ

y

σ

=D ε=DB δe =S δe (13

其中 S =DB =D [B

i

B j ]=[S i S j ](14 S 称为应力矩阵 , 将平面应力或平面应变的弹性矩阵 (12 带入上式 (14 , 可以得到计算平面应力或平面应变问题的单元应力矩阵。

S i =DB i =

E

1(1-v 20

b i v 0

c i

v 0b i c i

1-v

2

c i

1-v

2

b

(i, j

(15

公式 15中将下标 i 改为 j 也同样成立 , 其中 E 0

和 v 0为材料常数。

对于平面应力问题 E

=E v 0=v

1. 3利用最小位能原理建立有限元方程最小位能原理的泛函数总位能∏ p 在平面问题中的矩阵表达式形式为

∏

p

=

Ω

2

T D εtdxdy -∫

Ω

u T f tdxdy -∫ s σ

u T tdS [1] (16 其中 , t 是二维体厚度 , f 是作用在二维体内的体积力 ; T 是作用在二维边界上的面积力。

,

, 16 7式 , 即得到离

p

e

e

p

=∑

e

(a eT

Ωe

2

B T DB tdxdy -∑e

(a eT ∫

Ωe

N T f tdxdy -∑e

(a eT ∫

S e

σ

N T T tdS (17 令K e =∫

Ωe

B T DB

P e f =∫

Ωe

N tdxdy

P e S =∫

S e

σ

N T T tdS

P e =P s f +P e S

(18

K e 和 P e 分别称之为单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵。引入单元结点自由度和结构结点自由度的转换矩阵 G, 从而将单元结点位移列阵δe 用结构结点位移列阵 a 表示 , 即

δe =Ga (19 将 (18 和 (19 式代入 (17 式 , 则离散形式的总位能可表示为

∏

p

=a T

2

∑

e

(G T K e G a -a T ∑ e

G T P e (20 并令

K =∑

e

G T K e

P =∑

e

G T P e

(21

和分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷列阵。这样一来 , (20 式就可以表示为

02重庆电力高等专科学校学报第 14卷

∏

p

=

2

a T Ka -a T

P (22

由于离散形式的总位能

∏ p

的未知变量是结构的

结点位移 a, 根据变分原理 , 泛函∏ p

取驻值的条件是它的一次变分为零, δ∏ p

=0, 即

9∏

9a

=0

(23 这样就得到有限元的求解方程

Ka =P

(24

其中 K 和 P 由 (21 式给出。可以看出 , 结构整体刚度矩阵 K 和结构点载荷列阵 P 都是基于单元刚度

矩阵 K e 和单元等效结点载荷列阵 P e

集合而成。

2引入位移边界条件

理 , 它要求场函数 u 程 , 满足的。出在边界上满足位移边界条件的要求 , 因此必须将这个条件引入有限元方程 , 使之得到满足。

在有限单元法中通常几何边界条件的形式是在若干个节点上给定场函数的值 , 即

a j =珔a j (j =c 1, c 2, … , c l

(25 珔 a j 可以是零值或非零值。

对于求解位移场的问题时 , 至少要提出足以约束系统刚体位移的几何边界条件 , 以消除结构刚度矩阵的奇异性。针对本文的梁单元采用直接代入法引入强制边界条件。

在方程 (24 中将已知节点位移的自由度消去 , 得到一组修正方程 , 用以求解其它待定的节点位移。其原理是按节点位移已知和待定重新组合方程

K aa

K ab K ba

K a a b

=

P a P b

(26

其中 , a a 为待定结点位移 , a b 为已知结点位移 ,

a T

b =[a

c 1, a c 2, … , a cl ];而且 K aa , K ab , K ba , K bb , P a , P b

等为与其相应的刚度矩阵和载荷列阵。由刚度矩阵

的对称性可知 K ba =ab

由上式可得出

K aa a a +K ab a b =P a

(27

由于输电线路边界条件为已知 , 最后的求解方程可写为

K 3a 3=P

3

(28 若总体结点位移为 n 个 , 其中已知结点位移 m 个 , 则得到的一组求解 n -m 个待定点位移的修正

方程组 , K 3

为 n -m 阶方阵。修正方程组的意义是在原来 n 个方程中 , 只保留与待定结点位移相应的 n -m 个方程 , 并将方程中左端的已知位移和相应刚度系数的乘积移至方程右端作为载荷修正项。

最小位能原理是有附加条件的变分原理 , 上面的推导过程只考虑到了节点和单元内部的情况 , 而在边界上并没有满足。因此 , , , , (又称为插值函可以计算出单元内部的位移和应力。

3仿真研究

采用以上所建立的模型 , 对一段具体输电线路进行计算。该线路的结构参数如下 :导线型号 LGJ95~400, 架设档距 L =200m 单位长度的质量为 m

=1348kg/km , 外径为 D =25. 2mm , 计算截面

为 S =377. 2mm 2, 弹性模量为 EX =7. 848×1010

Pa, 泊松比 PREX =0. 3, 激励风速为 v =30m /s, 地磁场磁感应输送功率为

10MW , 电压 U 为 100k V

。

得到的风速谱如图 2、图 3所示。

图 2导线弧垂 1/4处的风速

图 3导线弧垂 1/2处的风速

1

2第 2期陈仁全等 :输电线舞动的有限元分析及边界条件

通过输电线路舞动模态分析前 5阶固有频率

结果显示 , 如图 4所示

。

图 4前 5阶固有频率计算结果显示

将上述模拟的输电线舞动的风载荷作用于输

电线上做动力学分析 , 提取了输电线舞动最大的位移图如图 5、图 6所示

。图 5

舞动最大点垂直方向的位移

图 6舞动最大点垂直方向的位移

4结论分析

从以上模态分析结果可以看出来 :导线的位移能和上面推导出的位移吻合 , 虽然输电导线前 5阶模态频率很低 (0. 46886~2. 9695 , 但是频率却不是很密集 , 出现了明显的跳跃性。这是因为输电导线结构大 , 加之自身的阻尼作用 , 响应中的高阶部分衰减也很快 , 导致低阶频率在固有频率中占主导地位。

导线的位移在加上各输电线舞动的模拟风载荷之后 , 舞动不仅发生在垂直方向上 , 水平方向上也产生振动 , 在垂直方向上的最大位移约为 1017m , 6.

5m 。虽然 , 但是 , 垂直 , 这就是导线为。

参考文献 :

[1]王勖成 . 有限单元法 [M].北京 :清华大学出版社 ,

2003.

[2]李亚智 , 赵美英 , 万小朋 . 有限元法基础与程序设计

[M].北京 :科学出版社 , 2004.

[3]郭应龙 . 输电线路舞动 [M].北京 :中国电力出版社 ,

2003.

[4]田洪地 , 田洪雨 . 架空输电线舞动力学新模型 [J ].黑龙

江 :黑龙江电力技术 . 1993, (10 .

[5]林凤羽 . 我国输电线路杆塔设计风荷载与 I EC 标准比

较 [J ].中国电力 , 1997, (1 .

[6]于俊清 , 郭应龙 , 应小晖 . 输电导线舞动的计算机仿真

[J ].武汉大学学报 , 2002, (1 .

F i n ite Elem en t Ana lysis i n Tran s m issi on L i n e Ga llop i n g and Its Boundary Cond iti on s

CHE N Ren 2quan 1, 2

, Z HANG Zhan 2l ong 1

, D ING M ing 2liang 2

,WANG Yong

1, 2