2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章+第6节+双曲线+Word版含解析

多维层次练50

[A 级 基础巩固]

1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 210－y 2

6

＝1 D.x 26－y 2

10

＝1 解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c

＝4，a ＝2，b 2＝12，焦点在x 轴上，所以双曲线方程为x 24－y

212

＝1，故

选A.

答案：A

2．(多选题)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐

近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．2x 2－y 2＝0

D ．4x 2－y 2＝0

解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2

a 2＝1＋

b 2a

2＝3，所以b

a ＝2，

所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x 2－y 2＝0.

答案：BC

3．(2020·济南市期末)方程x 2m －2＋y 2

m ＋3＝1表示双曲线的一个充

分不必要条件是( )

A ．－3

B ．－3

C ．－3

D ．－1

解析：根据题意，方程x 2m －2＋y 2

m ＋3＝1表示双曲线，

则有(m －2)(m ＋3)<0， 解得－3

要求方程x 2m －2＋y 2

m ＋3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件，

则所给集合必须是{m |－3

4．(2020·黄石市期末)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、

右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1

3，则E 的离

心率为( )

A. 2

B.32

C. 3

D ．2

解析：由题意可画下图，

设|MF 1|＝m ，则|MF 2|＝2a ＋m ， 因为MF 1与x 轴垂直，

所以(2a ＋m )2＝m 2＋4c 2，所以m ＝b

2a

，

因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以b 2

a ＝a ＝m ，

所以a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝c

a ＝ 2.

答案：A

5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2

＝1，O 为坐标原点，F

为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )

A.32 B ．3 C ．2 3

D ．4

解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±1

3

x .

设两渐近线夹角为2α，

则有tan α＝13＝3

3，所以α＝30°.

所以∠MON ＝2α＝60°.

又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．

在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.

则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B. 答案：B

6．(2020·馆陶一中月考)如果F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、

右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且|AB |＝6，则△ABF 2的周长是________．

解析：由题意知：a ＝4，b ＝3，故c ＝5. 由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|＝8， ① |BF 2|－|BF 1|＝8，②

①＋②得：|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝16，所以|AF 2|＋|BF 2|＝22， 所以△ABF 2的周长是|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝28. 答案：28

7．(2020·上海市期末)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2x ，且过点

(4，2)，则此双曲线的方程为________．

解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2x ，

可设双曲线方程为：4y 2－x 2＝m ， 双曲线经过点(4，2)， 可得：8－16＝m ，m ＝－8， 所求双曲线方程为：x 28－y 2

2

＝1.

答案：x 28－y 2

2

＝1

8．设双曲线x 24－y 2

2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线

l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为________．

解析：由双曲线的标准方程为x 24－y 2

2＝1，得a ＝2，由双曲线的定

义可得|AF 2|－|AF 1|＝4，|BF 2|－|BF 1|＝4，所以|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝8.因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，当|AB |是双曲线的通径时，|AB |最小，所以(|AF 2|＋|BF 2|)min ＝|AB |min ＋8＝2b 2

a

＋8＝10.

答案：10

9．(2020·福州市期末)已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx ＋1.

(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，且AB 中点横坐标为2，求AB 的长．

解：(1)由???x 2－y 2＝1，y ＝kx ＋1，

得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0，(*)

双曲线C 与直线l 有两个不同的交点． 则方程(*)有两个不同的实数根，

所以???1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8（1－k 2

）>0，

解得－

2

所以若C 与l 有两个不同交点，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－

1，1)∪(1，2)．

(2)设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由(1)得x 1＋x 2＝2k 1－k 2

＝22，即2k 2

＋k －2＝0， 解得：k ＝2

2或k ＝－ 2.

因为－2

2

2

. 所以Δ＝－4k 2

＋8＝6，所以|AB |＝

（1＋k 2

）Δ

1－k

2

＝6. 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．

(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→

＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．

(1)解：因为e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． 所以设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．

因为过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.

(2)证明：因为MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→

＝(23－3，－m )． 所以MF 1→·MF 2→＝(－23－3)(23－3)＋m 2＝－3＋m 2， 因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3，

所以MF 1→·MF 2→＝0.

(3)解：△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.

所以△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝1

2

×43×3＝6.

[B 级 能力提升]

11．(2020·西安市期末)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，点A 、F

分别为其右顶点和右焦点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，若B 1F ⊥B 2A ，则该双曲线的离心率为( )

A ．1＋ 5 B.5－12

C.

5＋1

2

D.5－1

解析：根据题意，已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，点A 、F 分别

为其右顶点和右焦点，

设A (a ，0)，F (c ，0)，则B 1F →＝(c ，－b )，B 2A →

＝(a ，b )， 若B 1F ⊥B 2A ，则有B 1F →·B 2A →

＝ac －b 2＝0， 又由c 2＝a 2＋b 2，则有c 2－a 2－ac ＝0， 变形可得：e 2－e －1＝0，

解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍)，故e ＝1＋5

2.

答案：C

12．(2020·泰州市期中)设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦

点分别是F 1、F 2，过点F 2的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N .若△MNF 1为正三角形，则该双曲线的离心率为________．

解析：由题意可知，MN ⊥x 轴，|NF 2|＝b 2

a ，|F 1F 2|＝2c ，

所以|NF 1|2

＝b 4a 2＋4c 2＝|MN |2

＝4b 4a

2.

所以4a 2c 2＝3b 4＝3(c 2－a 2)2＝3a 4－6a 2c 2＋3c 4， 整理得3e 4－10e 2＋3＝0， 解得e 2＝3或e 2＝1

3(舍去)，

所以e ＝3或e ＝－3(舍去)． 答案： 3

13．(2020·昆明外国语学校月考)双曲线C 以坐标轴为对称轴，渐近线方程为y ＝±3x ，且经过点P (2，3)．

(1)求双曲线C 的标准方程．

(2)是否存在直线l 过点M (2，2)交双曲线C 于A 、B 两点，且点M 是线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)依题意，设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 点P (2，3)代入，得λ＝3，

所以双曲线的方程是3x 2－y 2＝3，即x 2－y

23

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A 、B 都在双曲线上，

所以?????x 2

1－y 213＝1，

x 22－y 2

23＝1，

于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－1

3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，

所以1－13·y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2

x 1－x 2

＝0，

若点M (2，2)是线段AB 的中点，则?????x 1

＋x 22＝2，

y 1

＋y 2

2＝2.

所以13·44·k AB

＝1，得k AB ＝3，

于是直线l 的方程为y －2＝3(x －2)， 即3x －y －4＝0，

联立???3x －y －4＝0，3x 2－y 2－3＝0，

整理得6x 2－24x ＋19＝0，

此时Δ＝120>0，

所以方程有两个实数根，即l 与双曲线有两个交点，符合题意．

[C 级 素养升华]

14．(多选题)平面内与两定点A 1(0，－a )，A 2(0，a )(a >0)连线的斜

率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1，A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的为( )

A ．当m ＝－1时，曲线C 是一个圆

B ．当m ＝－2时，曲线

C 的离心率为

22

C ．当m ＝2时，曲线C 的渐近线方程为y ＝±2

2

x

D ．当m ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，曲线C 的焦点坐标分别为

?

?

???0，－a 1＋1m 和? ?

?

??0，a 1＋1m

解析：设动点为M (x ，y )，当x ≠0时，由条件可得 kMA 1·kMA 2＝y ＋a x ·y －a

x ＝m ，

即y 2－mx 2＝a 2(x ≠0)，

又A 1(0，－a )，A 2(0，a )的坐标满足y 2－mx 2＝a 2.所以当m ＝－1时，曲线C 的方程为y 2＋x 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆，故A 正确．

当m ＝－2时，曲线C 的方程为y 2a 2＋x 2

a

22＝1，C 是焦点在y 轴上的

椭圆，c ＝

a 2－a 22＝22a ，离心率为2

2

，故B 正确．

当m ＝2时，曲线C 的方程为y 2a 2－x 2

a

22＝1，表示焦点在y 轴上的双

曲线，其渐近线方程为y ＝±a

22

a x ＝±2x ，故C 错误．

当m ∈(－∞，－1)时，曲线C 的方程为y 2a 2＋x 2

a

2－m ＝1，表示焦点在

y 轴上的椭圆，由c ＝

a 2＋a 2m

＝a

1＋1

m

，可知焦点坐标分别为?

?

???0，－a 1＋1m 和? ?

?

??

0，a 1＋1m ；当m ∈(0，＋∞)时，C 是焦点在y 轴上的双曲线，方程为y 2a 2－x 2

a

2m

＝1，由c ＝

a 2

＋a 2

m

＝a

1＋1

m

，可知焦点坐标分别为?

?

???0，－a

1＋1m 和? ?

?

??

0，a 1＋1m ，故D 正确． 答案：ABD