离散小波变换

2018年11月24日11时2分
南京大学 软件学院
小波分析与付里叶变换的比较
1.付里叶变换是把能量有限的信号f (t )分解到以{e jt }为正交基的空间上去， 小波变换的实质是把该信号分解到W j 所构成的空间上去。 2.付里叶变换用到的基本函数只有 sin(t； 小 波 函 数 具 有 不 唯 一 性， 小 波 函 数 的 选 用 是 小 波 分 析 应 用 中 的 一 个 难 点。 3. 在 频 域 中， 付 里 叶 变 换 具 有 较 好 的 局 部 化 能 力， 特别是对于 频 率 成 分 简 单 的 确 定 性 信 号， 付里叶变换很容易把信号表示 为 各 频 率 成 分 的 叠 加 和 的 形 式， 但 是在 时 域 中， 付里叶变换 没 有 局 部 化 能 力。 4. 小 波 分 析 中，尺 度a 的 值 越 大 相 当 于 付 里 叶 变 换 中 的 值 越 小。
窗函数w根据ґ进行了时移，扩展傅里叶变换 表达式
X ( , F ) x(t )w(t )e j 2 Ft dt

短时傅里叶变换操作示意
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问题
•实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反： 给定一个信号，希望能够在时域和频域上定 位信号发生的事件，因此时间ґ和频率F都是 不确定的，即按上述的分析不可行（结果不 确定或有误差） •分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)的 时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的； 测不准定理 •信号不能同时在时域和频域准确定位
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小波的特点
具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波
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部分小波波形
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时频展开
希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬 时傅里叶变换，记为X(ґ,F) 如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函 数，该基函数必须包括两个基本变量时间ґ和 频率F
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时频展开主要内容
1. 短时傅里叶变换STFT 2. Gabor变换GT 3. 连续小波变换CWT 4. 小波变换WT
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Gabor变换引言
STFT将一个连续时间变量t的信号x(t)变换 为有两个连续时间变量的X(ґ,F) 意味着STFT包含了很多的冗余信息 将频率F离散化，F=Kf0 将时间离散化，在ґ=mT0采样
Gabor变换：X[m,k]=X(mT0,kF0)
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基本小波
也称为小波母函数 定义如下：
令 （t )为一平方可积函数，即 （t ) L2 ( R ), 如其傅里叶变换 （w)满足条件： | （w) |2 R w dw 则称 （t )是小波。
容许性条件
紧支性:在有限区域内迅速衰减到0
Gabor变换
Gabor变换公式：
X [m, k ] x(t ) w(t mT0 ) e j 2 kF0t dt
______________
通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：
x(t ) X [m, k ]em,k (t )
m,k
其中： em,k (t ) w(t mT0 )e j 2 kF0t
小波分析 深圳大学信息工程学院
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小波分析
小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可 获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度 (或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母 小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数， 这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。 连续小波变换 离散小波变换
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主要内容
引言 时频展开 使用Matlab 若干应用场景
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引言
小波变换的动机
福利叶变换是非常有效地计算工具 但是是时间亚元变换，在很多场合不满足需求 （石油勘探、乐谱分析）
小波的含义
“小”+“波” 时频展开 数学显微镜
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将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
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缩放(scaled)的概念
示例：正弦波的Scaled算法
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示例：小波的缩放
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平移(translation)的概念
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小波基函数
将小波母函数 （t )进行伸缩和平移， 令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为 ，则： t a（ ), a 0, R , t ) a ( a 则称 a（ , t )是依赖参数a , 的小波基函数。
小波基函数
将小波母函数 （t )进行伸缩和平移， 令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为 ，则： t a（ ), a 0, R , t ) a ( a 则称 a（ , t )是依赖参数a , 的小波基函数。
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将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
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小波变换
小波变换是强有力的时频分析 (处理 )工具，是 在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已 成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、 模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
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短时傅里叶变换STFT
确定信号局部频率特性的比较简单的方法是 在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。
X(ґ,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t- ґ)}
百度文库
其中，w(t-ґ)是一个以时刻ґ为中心的窗函数， 注意信号x(t)中的时间t和X(ґ,F)中的ґ。
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