层次分析法的详细步骤
层次分析法的详细步骤 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 层次分析方法 问题1 某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。在决策时需要考虑的因素主要有 (1) 调动职工劳动生产积极性； (2) 提高职工文化水平； (3) 改善职工物质文化生活状况。
请你对这些因素的重要性进行排序，以供厂领导作参考。
分析和试探求解 这个问题涉及到多个因素的综合比较。由于不存在定量的指标，单凭个人的主观判断虽然可以比较两个因素的相对优劣，但往往很难给出一个比较客观的多因素优劣次序。为了解决这个问题，我们能不能把复杂的多因素综合比较问题转化为简单的两因素相对比较问题呢运筹学家想出了一个好办法：首先找出所有两两比较的结果，并且把它们定量化；然后再运用适当的数学方法从所有两两相对比较的结果之中求出多因素综合比较的结果。具体操作过程如下： 1) 进行两两相对比较，并把比较的结果定量化。 首先我们把各个因素标记为 B1：调动职工劳动生产积极性；B2：提高职工文化水平；B3：改善职工物质文化生活状况。根据心理学的研究，在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级：相同、稍强、强、明显强、绝对强。因此我们可以按照下表用1～9尺度来定量化。 定性结果 定量结果 Bi 与Bj 的影响相同 Bi : Bj = 1:1 Bi 比Bj的影响稍强 Bi : Bj = 3:1 Bi 比Bj的影响强 Bi : Bj = 5:1 Bi 比Bj的影响明显强 Bi : Bj = 7:1 Bi 比Bj的影响绝对强 Bi : Bj = 9:1 Bi 与Bj的影响在上述两个等级之间 Bi : Bj = 2,4,6,8:1
Bi 与Bj的影响和上述情况相反 Bi : Bj = 1:1,2,…,9 假定各因素重要性之间的相对关系为：B2 比B1的影响强，B3 比B1的影响稍强，B2 比
B3的影响稍强，则两两相对比较的定量结果如下：
为了便于数学处理，我们通常把上面的结果写成如下矩阵形式，称为成对比较矩阵。
12312311/51/351331/31BBBBBB (1) 2) 综合排序 为了进行合理的综合排序，我们把各因素的重要性与物体的重量进行类比。设有n件物体：A1, A2, …, An ，它们的重量分别为：w1, w2, …, wn 。若将它们两两相互比较重量，
其比值(相对重量)可构成一个n×n成对比较矩阵
1,11,21,111212,12,22,21222,1,2,12/////////nnnnnnnnnnnnaaawwwwwwaaawwwwwwAaaawwwwww (2) 经过仔细观察，我们发现成对比较矩阵的各行之和恰好与重量向量 W = (w1, w2, …, wn)
T
成正比，即 1,12,21,jnjjnjnawawaw (3) 根据类比性，我们猜想因素的重要性向量与成对比较矩阵(1)之间也有同样的关系存在。由此，我们可以得到因素的重要性向量为
12311/51/323/15513931/3113/3wWww (4) 为了使用方便，我们可以适当地选择比例因子，使得各因素重要性的数值之和为1 (这个过程称为归一化，归一化后因素重要性的数值称为权重，重要性向量称为权重向量) ，这样就得到一个权重向量
1230.1030.6060.291wWww (5) 上式中元素的权重大小给出了各因素重要性的综合排序。 对(2)式的进一步分析还可以发现
1,11,21,112,12,22,22,1,2,nnnnnnnnaaawwaaawwAWnnWaaaww (6) 这说明W还是成对比较矩阵A的特征向量，对应的特征值为n，理论上已严格地证明了n是A的唯一最大特征值。按类比法，我们也可以用求解特征方程的办法来得到重要性向量。与(1)式对应的特征方程为
11223311/51/351331/31wwwnwww (7) 由此可以解出其最大特征值为 n’=，对应的特征向量为： W ’ = , , T (8) 一致性检验 既然存在误差，我们就需要知道误差的程度到底有多大会不会影响综合排序的结果理论上已经证明：对于具有一致性的成对比较矩阵，最大特征值为n；反之如果一个成对比较矩阵的最大特征值为n，则一定具有一致性。估计误差的存在破坏了一致性，必然导致特征向量及特征值也有偏差。我们用n’表示带有偏差的最大特征值，则n’与n之差的大小反映了不一致的程度。考虑到因素个数的影响，Saaty将 CInnn'1 (9) 定义为一致性指标。当CI = 0时，成对比较矩阵A矩阵完全一致，否则就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。为了确定不一致程度的允许范围，Saaty又定义了一个一致性比率CR，当 CRCIRI/.01 (10)
时，认为其不一致性可以被接受，不会影响排序的定性结果。(10)式中R I值如下表所示 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RI 0 0
应用上面的结果，我们可以算出成对比较矩阵(1)有 CI = ，CR = (11) 因此其不一致性可以被接受。 问题2 某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留成的利润。可供选择的方案有：I、发奖金；II、扩建食堂、托儿所；III、开办职工技校；IV、建图书馆；V、引进新技术。在决策时需要考虑到调动职工劳动生产积极性，提高职工文化水平和改善职工物质文化生活状况等三个方面。请你对这些方案的优劣性进排序，以便厂领导作决策。 解答 划分层次 显然这是一个多目标的决策，问题涉及到许多因素，各种因素的作用相互交叉，情况比较复杂。要处理这类复杂的决策问题，首先需要对问题所涉及的因素进行分析：哪些是要相互比较的；哪些是相互影响的。把那些要相互比较的因素归成同一类，构造出一个各因素类之间相互联结的层次结构模型。各因素类的层次级别由其与目标的关系而定。在上述问题中，因素可以分为三类： 第一是目标类，即合理地使用今年企业留利××万元； 第二是准则类，这是衡量目标能否实现的标准，如调动职工劳动积极性、提高企业的生产技术水平等等； 第三是措施类，指实现目标的方案、方法、手段等等。 按目标到措施自上而下地将各类因素之间的直接影响关系分不同层次排列出来，可以构成一个直观的层次结构图。如下图所示： 每一层中的各因素对上一层因素的相对重要性可以用问题1中的方法确定，由层次关系可以计算出措施层各方案最高层的相对权重，从而给出各方案的优劣次序。 层次单排序 不同准则对目标的影响已经在问题1中得到了解决，现假定不同措施对各准则的影响如下： 1．不同措施对调动职工劳动生产积极性影响的成对比较矩阵
11234512345135471/313251/51/311/221/41/22131/71/51/21/31BCCCCCCCCCC (12) 其权重向量为：WT104910232009201380046(.,.,.,.,.)
2．不同措施对提高职工文化水平影响的成对比较矩阵
22345234511/71/31/5715331/511/351/331BCCCCCCCC (13) 其中措施I（发奖金）对提高职工文化水平没有什么影响，在成对比较矩阵中不出现，重要性按零计算。其权重向量为：WT200055056401180263(,.,.,.,.)
3．不同措施对改善职工物质文化生活状况影响的成对比较矩阵
312341234113311331/31/3111/31/311BCCCCCCCC (14) 其权重向量为：WT304060406009400940(.,.,.,.,)
总排序 上述过程中求出的是同一层次中相应元素对于上一层次中的某个因素相对重要性的排序权值，这称为层次单排序。若模型由多层次构成，计算同一层次所有因素对于总目标相对重要性的排序称为总排序。这一过程是由最高层到最低层逐层进行的。设上一层次A包含m个因素A1, A2, …, Am，其总排序的权重值分别为a1, a2, …, am；下一层次B包含k个因素B1, B2, …, Bk，，它们对于Aj的层次单排序的权重值分别为b1,j , b2,j, …, bk,j (当Bi
与Aj无联系时，bi,j = 0 )；此时B层i元素在总排序中的权重值可以由上一层次总排序的
权重值与本层次的层次单排序的权重值复合而成，结果为：
wbaikiijjmj,,,,112 (15) 由此，各个方案相对于目标层的总排序可以用下表计算 C层对B层的 相对权值
B1 B2 B3
C层总排
序
C1 0 C2 C3 C4 C5 0
写成矩阵形式为
0.4910.0000.4060.1570.1050.2320.0550.4060.1460.6370.0920.5640.0940.3930.2580.1380.1180.0940.1130.0460.2630.0000.172 (16) 上式给出了5种措施对实现目标的权重向量，根据这个权重向量，我们可以看出措施（方案）III对实现目标的作用最大，因此是最佳方案。 结束语
层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。
层次分析法(AHP)建模
新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-
6
Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
新余高等专科学校 数学建模教练组 (设计制作: syllen
权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1
(完整版)层次分析法步骤
层次分析法实例与步骤结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游 区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁） 。
除了考虑经济效益外，还要考虑 社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1. 建立递阶层次结构应用 AHP 解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递 阶层次结构。
AHP 要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：：指问题的预定目标； ：指影响目标实现的准则； ：指促使目标实现的措施； 首先明确决策的目标，将该目标作为 这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的 准则层 因素，在复杂问题中，影响目标 实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有 些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次 元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一 层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配） 不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一 层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是 明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标） 、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措 施），并将它们作为 措施层 因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层） 。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合 效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高” 。
层次分析法的实施——五步骤
准则层
C1 调动职工生产
积极性
C2 提高企业
技术水平
C3 改善职工物质
文化生活
方案层
P1 发奖金
P2 扩建福
利设施
P3 办学校
P4 建图书
馆或俱
乐部
P5 技术改造
. #;
A
C1
C2
…
Ck
（2）建立判断矩阵 C1
a12
a11
…
a1k
参见（P136）标度
C2
a21
a22
…
a2k
判断矩阵A-C：
Ck
ak1
对Wi进行归一化处理： Wi
Wi
n
Wj
j 1
(i, j 1,2, , n)
. #;
（4）层次总排序
所谓层次总排序就是针对最高层目标而言，本层次 各要素重要性的次序排序。
C层
P层 P1 P2 … Pn
因素及权重
C1
C2
1（1） 2（1） …
CK
k（1）
11（2） 12（2）
…
21（2） 22（2）
P5 0.046 0.263
0
0.172
方案 排序
4 3 1 5 2
P1
P2
发奖金 扩建福
利设施
P3
P4
P5
办学校 建图书 技术改造
馆或俱
乐部
. #;
3. 层次分析法
（1）分析复杂系统所包含的因素及其相互关系，形成多层次的分析 结构模型；
（2）将各要素及上层要素进行两两比较判断，得到其相对重要程度 的比较标度，建立判断矩阵；
方案层
方案1 方案2 方案3
层次分析法(AHP)解析
精品层次分析法（ AHP ）对于草地农业生态系统这个涉及复杂的社会、经济、生态问题的系统，过去的系统分析与设计常常凭经验，靠主观判断进行，缺乏应有的科学性，因而往往造成重大失误。
层次分析法是一种新的定性分析与定量分析相结合的系统分析方法，是将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法，简称AHP（ The Analytic Hierarchy Process)法。
近年来，层次分析法在草地农业生态系统的系统分析、设计与决策中日益受到重视。
1层次分析法的基本方法和步骤层次分析法是把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。
通过两两比较的方式确定各个因素相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总排序。
运用层次分析法进行系统分析、设计、决策时，可分为 4 个步骤进行；（1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构；（2）对同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵；（3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序，2递阶层次结构的建立首先把系统问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。
在模型中，复杂问题被分解，分解后各组成部分称为元素，这些元素又按属性分成若干组，形成不同层次。
同一层次的元素作为准则对下一层的某些元素起支配作用，同时它又受上面层次元素的支配。
层次可分为三类；（1）最高层：这一层次中只有一个元素，它是问题的预定目标或理想结果，因此也叫目标层；（2）中间层：这一层次包括要实现目标所涉及的中间环节中需要考虑的准则。
该层可由若干层次组成，因而有准则和子准则之分，这一层也叫准则层；（3）最底层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
上层元素对下层元素的支配关系所形成的层次结构被称为递阶层次结构。
当然，上一层元素可以支配下层的所有元素，但也可只支配其中部分元素。
层次分析法spss教程
层次分析法spss教程
层次分析法是一种用于多准则决策的方法，在SPSS软件中可以通过以下步骤进行：
1. 首先，导入数据。
数据应包括准则层和方案层的信息。
准则层是决策的准则，而方案层是待选择的各个方案。
2. 接下来，创建层次分析模型。
在SPSS软件中，可以使用层次分析法专用的插件进行创建。
选择“Analyze”->“Decision Trees”->“Analytic Hierarchy Process”。
3. 在创建模型时，需要确定决策的目标和准则。
设置准则的权重，权重表示每个准则对决策的重要程度。
在SPSS中，可以使用主观方法或客观方法来确定权重。
4. 设置方案的比较矩阵。
比较矩阵是用于比较各个方案在每个准则上的优劣程度。
在SPSS中，可以通过填写矩阵来完成方案的比较。
5. 进行一致性检验。
一致性检验用于检查比较矩阵的一致性，确保所选权重的合理性。
在SPSS中，可以通过CR值来判断一致性程度，CR值越接近0，表示一致性越好。
6. 根据准则权重和方案比较矩阵，计算各个方案的决策得分。
得分表示每个方案在总体考虑下的优劣情况。
在SPSS中，可以使用加权平均法来计算得分。
7. 最后，进行结果分析和决策选择。
根据各个方案的得分，可以进行排序和比较，选择最合适的方案。
需要注意的是，在使用层次分析法进行决策时，确保准则权重和比较矩阵的一致性是非常重要的。
此外，还需要进行灵敏度分析，检验准则权重的重要程度对最终决策结果的影响。
层次分析法及真题讲解
随机构造500个成对比较矩阵 A1,A2, ,A500
则可得一致性指标 C1,C I 2,I ,C5I00
R IC1 IC2 I C50 I 0 125 0 0 50 0 n
500
n 1
Saaty的结果如下
随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 ： CR CI
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为 A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过 一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则
要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根
j 1
层次总排序的一致性检验
设 B层 B1,B2, ,对Bn上层( 层)中因A素
Aj(j1,2, ,m )
的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 ，
则层次RI 总j 排序的一致性比率为：
C R a a 1 1 C R1 1 IIa a2 2C R2 2 II a am m C Rm m II
0.3,0.24 ,06 .45 6可作为最后的决策依据。
即各方案的权重排序为 B3B1B2 又 B1,B2,B3 分别表示苏杭、北戴河、桂林，
故最后的决策应为去桂林。
2009 Problems High School Mathematical Contest in Modeling (HiMCM) Problem A: Water, Water Everywhere
AHP层次分析法算法流程
AHP层次分析法算法流程AHP（Analytic Hierarchy Process）层次分析法是一种用于决策问题的数学模型和方法，它通过对问题进行分析和层次化处理，准确地确定各影响因素的权重，从而帮助决策者做出最佳选择。
下面是AHP层次分析法的算法流程：1.确定决策的目标：明确待解决问题的最终目标。
例如，选择供应商、评估项目风险等。
2.建立层次结构：将问题分解成若干个层次，从最终目标开始逐级向下，形成一个层次结构。
最终目标位于最顶层，中间层次为各个子目标，最底层是各个可选方案或决策因素。
3.构建判断矩阵：对于每个相邻的层次，评价它们之间的相对重要性。
在层次结构矩阵中，将每一对子目标之间的相对重要性填入，构建一个判断矩阵。
判断矩阵的大小等于层次中的层数的平方。
4.设置标准化比较尺度：由于决策者往往无法准确比较不同层次之间的重要性，AHP引入了一套标准化比较尺度来帮助决策者进行判断。
常用的标准化比较尺度包括9级尺度和4级尺度。
5.一致性检验：在判断矩阵中填入各个单元格后，需要进行一致性检验，判断矩阵是否满足一致性。
一致性是指判断矩阵的矩阵元素之间的相互关系是否合理。
6.层次单排序：利用判断矩阵计算每个子目标的权重向量，通过对判断矩阵的特征向量进行归一化来获得权重向量。
7.一致性检验：再次进行一致性检验，验证计算得到的权重向量的一致性。
8.综合决策：将各个子目标的权重向量与它们对应的可选方案或决策因素进行综合，得出最终的决策。
9.灵敏度分析：根据实际情况进行灵敏度分析，检验得出的权重向量对最终决策的影响，以及各个决策因素的敏感程度。
10.结果分析与解释：对最终决策进行分析和解释，确保决策的科学性和合理性，为问题的解决和决策的执行提供支持。
AHP层次分析法通过逐层比较，将问题分解为易于理解和处理的小块，通过判断矩阵和权重向量计算，确定各个子目标的重要性和最终的决策。
它能够提供量化的决策依据，并具有一定的灵活性和可解释性。
AHP(层次分析法)基础教程讲解学习
1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 0.05 1 1 1/3 3 1 1 0.16 2 2 2 3 1 1 0.25
平
乙 1/3 1 1
p3
丙5 1 1
组织部门给三个人，甲、乙、丙对每 个目标的层性打分。
口
B4 甲 乙 丙
甲 1 1/3 5
才
乙3 1 7
p4
丙 1/5 1/7 1
组织部门给三个人，甲、乙、丙对每 个目标的层性打分。
政
B5 甲 乙 丙
策 水
甲1 1 7
平
乙1 1 7
p5
丙 1/7 1/7 1
组织部门给三个人，甲、乙、丙对每 个目标的层性打分。
健
B1 甲 乙 丙
康 状
甲 1 1/4 1/2
况
乙4 1 3
p1
丙 2 1/3 1
组织部门给三个人，甲、乙、丙对每 个目标的层性打分。
业
B2 甲 乙 丙
务 水
甲 1 1/4 1/5
平
乙 4 1 1/2
p2
丙5 2 1
组织部门给三个人，甲、乙、丙对每 个目标的层性打分。
写
B3 甲 乙 丙
作 水
甲 1 3 1/5
p2 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13 0.18
p3 0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13 0.20
p4 0.04 0.04 0.03 0.05 0.05 0.09 0.05
p5 0.16 0.17 0.05 0.15 0.14 0.26 0.16
p6 0.32 0.34 0.30 0.15 0.14 0.26 0.25
标度
层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例
判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
Z
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI。方法为
随机构造500个成对比较矩阵 A1, A2 , , A500
则可得一致性指标 CI1,CI2 , ,CI500
RI
CI1
定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
但允许范围是 多大？如何界 定？
Aw w
3. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经 归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。