作业-北京理工大学现代教育技术研究所

(30)北京理工大学继续教育学院2004～2005学年第一学期

“数字信号处理”习题集

第三章习题

1．图P3-1的序列1()x n 是具有周期为4的周期序列。试确定傅立叶级数的系数

1()X k 。

2．(a)试证明下面列出的周期序列离散傅立叶级数的对称性。在证明中，可以利

用离散傅立叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质3时可以利用性质1和2。

序列 离散傅立叶级数

1）*

()x n *

()X k - 2）*()x n -

*

()X k 3）()e R x n ???? ()e X k 4）()m jI x n ????

0()X k

(b) 根据已在(a)部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅立叶级数

的下列对称特性成立 1）()()e e R X k R X k ????=-???? 2）()()m m I X k I X k ????=--????

3）

()()

X k X k =-

4）arg ()arg ()X k X k ?

???=--????

3．在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期序列，确定这两个学列的周期卷积

的结果3()x n ，并画出草图。

31

P -图n

1

n

4．求下列序列的DFT (a) {}1111， ，－，－ (b) {}11j j ， ，－，－

(c) (),01n x n c n N =≤≤-

(d)

2()sin(

),01n

x n n N N

π=≤≤- 5．计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长为N ）：

(a) ()()x n n δ=

(b) 00()(),0x n n n n N δ=-<<

(c)

(),01n x n a n N =≤≤-

6．在图P3－4中表示了一有限长序列()x n ，画出序列1()x n 和2()x n 的草图。（注

意：1()x n 是()x n 的圆周位移两各点）

144()((2))()x n x n R n =- 144()(())()x n x n R n =-

7．在图P3-5中表示了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。

8．列长为8的一个有限长序列具有8点离散傅立叶变换()X k ，如图3－7－1

所

n ()

x n 34P -图

35P -图

示。列长为16点的一个新的序列()y n 定义为

()()20

n n n

x y n ??=???为偶数

为奇数

试从图P3－7－2的几个图中选出相当于()y n 的16点离散傅立叶变换序列图。

9．图P3-8表示一个四点序列()x n

371

P -图－

n

()

X k 37P -图－2

k

(a k

(b

k

(

c k

(d k

(e k

(f

(a) 试绘出()x n 同()x n 线性卷积略图；

(b) 试绘出()x n 同()x n 四点圆周卷积略图； (c) 试绘出()x n 同()x n 十点圆周卷积略图；

(d) 若()x n 同()x n 的某个N 点圆周卷积同其线性卷积相同，试问此时N 点的

最小值是多少？

10．现有一伪随机信号谱分析所使用的处理器，该处理器所用的取样点数必须是

2的整数次方，并假设没有采取任何特殊的数据处理措施。已给的条件是：(1)频率的分辨率5Hz ≤，(2)信号的最高频率 1.25kHz ≤，要求确定下列参量：a)最小记录长度；b)取样点间隔的最大间隔；c)在一个记录中的最少点数。

第四章习题

1．如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算1024N =点的[]()DFT x n ，问直接运算需多少时间，用FFT 运算需多少时间？

2．书中图4－2给出了首先计算两个4点DFT 来完成一个8点DFT 的流图，试画出首先计算8点DFT ，来执行一个16点DFT 的对应流图。

3．试用基－2按时间抽取与按频率抽取法分别作出N=16时的信号流图。 4．把16点序列(0),(1),

,(15)x x x 排成反序序列。

5．试画出4点按时间抽取的FFT 算法流图，要求利用本书图4－8的蝶形，具有反序的输入序列，并且表示成“原位”计算。

6．在下列说法中选取正确的结论。线性调频z 变换可以用来计算一个有限长序

列()h n 在z 平面实z 轴上诸点{}k z 的z 变换()H z ，使 (a),0,1,,11k k z a k N a a ==-≠±为实数。，。 (b) ,0,1,

,10k z ak k N a a ==-≠为实数。，。

(c) (a)和(b)两者都行。

38

P -图

(d) (a)和(b)两者都不行，即线性调频z 变换不能计算()H z 在z 为实数时的

取样。

11．设对列长N ＝64及列长N ＝48的两序列用(1)直接计算法，(2)快速卷积法求

线性卷积，试比较它们的运算量。

第五章习题

1．按照下面所给出的系统函数，求出该系统的两种形式的实现方案：直接型I 和直接型Ⅱ。

12

12

3 3.60.6()10.10.2z z H z z z

----++=+- 2．就题1系统给出：级联和并联实现方案。

3．用一阶和二阶的级联形式实现下面所给出的系统函数

22

2(1)( 1.41421361)

()(0.5)(0.90.81)

z z z H z z z z -++=+-+ 4．给出题3系统函数的并联实现方案。 5．已知滤波器单位取样响应为

0.205

()0

n

n

n h n ?≤≤=?

?其它

求FIR 滤波器直接型结构。

6．已知FIR 滤波器的16个频率取样值为

(0)12(1)3(2)1(3)(14)1(15)3H H H j H H H j

H ==--=+=-=-+到（13）都为零 计算滤波器的频率取样结构，设选择修正半径r=1（即不修正极点位置）。

7．已知FIR 线性系统的系统函数，111111

()(1)(12)(1)(14)24

H z z z z z ----=++--画

出下列每种型式的实现流图

1）级联型 2）直接型

3）线性相位型 4）频率取样型。

8. 设有一模拟滤波器21

()1

a H s s s =++，取样周期T ＝2，试用双线性变换法将以

上模拟系统函数转变为数字系统函数()H z 。

9．试用脉冲响应不变法将上题中模拟系统函数转变为数字系统函数()H z 。 10．图P5－3表示一数字滤波器的频率响应，(a)确定采用脉冲响应不变变换法

映射成数字频率响应的模拟频率响应，并作图。(b)当采用双线性变换法时画出映射成此数字频率响应的模拟频率响应。

11. 要求从二阶巴特渥斯模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知

3dB 截止频率为50Hz ，系统的采样频率为500Hz 。

12. 以上题所给要求，利用脉冲响应不变变换法设计低通滤波器。 13. 设某FIR 数字滤波器的系统函数为

12341

()(1242)10

H z z z z z ----=

++++ 试求()j H e ω的振幅响应和相位响应，并求出()h n 的表示式，画出该滤波器的直接结构和线性相位结构形式。

14．用矩形窗口法设计FIR 线性相位低通数字滤波器。已知:0.5,21,c N ωπ==要

求：(1) 画出h(n)；(2) 给出H(z)；(3) 给出滤波器的任意一种结构图。 15．用频率取样设计法设计FIR 线性相位低通数字滤波器。已知:ωc=0.25π,

取样点数N=17,要求：(1) 给出H(k)；(2) 给出H(z)；(3) 给出滤波器的任意一种结构图。

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P -图