2018中考二次函数综合题的解题思路

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

专题七二次函数综合题的解题思路

一、方法简述

二次函数综合题通常作为压轴题, 意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何, 其中函数的载体以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。

函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用. 随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．因此培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径．

二、解题策略

二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

三、典例分析

例2．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于点A 、

B 两点，与y 轴交于点

C ，其中A （1，0（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P ①如图1，当PBC ?的面积和 ABC ?面积相等时，求点P 的坐标；

②如图2，当PCB BCA ∠=∠时，

求直线CP 的解析式

解：（1）抛物线的解析式为2-=x y （2）①1P

(2,1), 237(

22P -

，337()22

P -+ ②∵)03(，B ，)3-0(，C ，∴3==OC OB

∴O OBC OCB 45=∠=∠ 设直线CP 的解析式为3-=lx y 解法1：作PD ⊥y 轴，垂足为D 如图2-1，由已知易得PCD OAC ∠=∠，又∵O CDP COA 90=∠=∠，

∴PDC ?∽COA ?，∴3==OA OC

CD PD ，

设m PD =，则m CD 31=，m OD 3

3-= ∴)3

3-(m m P +，，将其代入抛物线解析式342-+-=x x y

得311=

m 或0=m （舍去）. ∴)916-311(，P ，∴直线CP 的解析式为33

1-=x y . 解法2：过P 作PM ⊥x 轴，过C 作CN ⊥y 轴，交PM 于N .

易证: ACO ?∽PCN ?,求得)9

-311(，P

分析：以上两种方法通过构造两个直角三角形相似去求直线CP 上另一点)9

16-311(，P

解法3：如图2-2，延长CP 交x 设α=∠OCA ，则α-=∠O ACB 45 ∵BCA PCB ∠=∠ ∴α-=∠O PCB 45

∴--=∠-∠=∠45(45O O PCB OBC OQC ∴OQC OCA ∠=∠又∵COQ AOC =∠=∠∴AOC Rt ?∽COQ Rt ? ∴OQ OC OC OA = ∴OQ

31= ∴9=OQ ∴)0,9(Q 直线CQ 的解析式为331-=

x y ，即直线CP 的解析式为33

-=x y . 分析：延长CP 交x 轴于点Q ，通过构造两个直角三角形相似去求直线CP 上另一点)0,9(Q

解法4：如图2-3，过点B 作x 轴的垂线，交CP 于点. ∵O ABC 45=∠ ∴O CBQ 45=∠ ∴CBQ ABC ∠=∠

又∵ACB QCB ∠=∠，BC BC = ∴CBA ?≌CQB ? ∴2==AB BQ

∴点Q 的坐标为)2,3(-

解法5：如图2-3，作点A 关于BC 的对称点Q ，则点Q 在直线CP 上，连接BQ ，则2==AB BQ .∵O ABC 45=∠ ∴O CBQ 45=∠, ∴O ABQ 90=∠，∴点Q 的坐标为)2,3(-

解法6：作BE ∥y 轴交CP 于Q ，作CE ∥x 轴交BE 于E ，可得四边形OCEB 是正方形，由此得到ACO Rt ?≌QCE Rt ? ,可求Q (3，-2 )

分析：以上三种方法本质是通过点B 作x 轴的垂线交CP 于点Q ，从而构造两个直角三角形全等去求直线CP 上另一点解法7：如图2-4，过点A 作x 交CB 于点Q ，交CP 于点G . 则O ABQ AQB COG 45=∠=∠=∠ ∴2==AB AQ

∴22=BQ ，又∵23=BC ∴22223=-=-=BQ BC CQ 又∵QCG ACQ ∠=∠，O ABC CGQ 45=∠=∠ ∴CAB ?∽CGQ ? ∴

QG AB QC BC = ∴QG

223= ∴32=QG ∴38322=+

=+=QG AQ AG ∴)3

1(-，G 解法8：过点A 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线相交于点D ，AD 交CP 于点

Q ，如图2-5，

∵O OCB 45=∠， ∴O BCD 45=∠, ∵PCB ACB ∠=∠， ∴OCA DCQ ∠=∠，又∵O CDQ COA 90=∠=∠ ∴DCQ ?∽DCA ?

∴

31==CO CD OA DQ ∴31=DQ ,∴3

=AQ ∴)3

1(-，Q

分析：以上两种方法是通过点A 作x 轴的垂线交CB 于点Q ，从而构造两个三

角形相似去求另一点)3

1(-，Q .

解法9：过点B 作BQ //AC 交CP 于点Q ，作QD ⊥AB ，垂足为D ,连接OQ 如图2-6.

则QCB ACB QBC ∠=∠=∠ ∴QC QB = 又∵OC OB =，OQ OQ =

∴OBQ ?≌OCQ ?，∴O

QOC QOB 45=∠=∠∴OD QD =

∵COA QDB ∠=∠，CAO QBD ∠=∠ ∴QDB ?∽COA ? ∴

31==OC AO DQ BD .设x BD =，则x QD OD 3== ∴33=+x x 得43=x ，)4

,49(-Q 分析：以上方法是通过点B 作BQ //AC 交CP 于点Q ，从而构造两个三角形相似

去求另一点)4

9,49(-Q