全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

延长AD 到E,使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD /

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12

CD AB

3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 ~

证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所

以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

B

A

D

B

C

C

(

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC

证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，

∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE

12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,

则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.

C

"

B

A

B

A C

D

F

} 1 E

）

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C

·

AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ，

所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD

是射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角B=角C.

15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE ∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F （

因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC

作AG ∥BD 交DE 延长线于G

]

AGE 全等BDE

AG=BD=5AGF ∽CDF AF=AG=5

所以DC=CF=2

D

C

B A F E A

C

D P D A

.

B

F

A

E

D C B

18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 》

延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC;

三角形ABD 全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC

19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．

求证：∠OAB =∠OBA

因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 【

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交

AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．

证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF 与三角形BEC

为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B

证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，

AD=AD ∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD ，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，

∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B

~

P

E

D

C B

A

D C

B

A

22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF

（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt △DEC ≌Rt △BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论． 解答：解：（1）连接BE ，DF ．∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，∵AF=CE ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，∴DE=BF ．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD ，ME=MF ； （2）连接BE ，DF ．∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，∵AF=CE ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，∴DE=BF ．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD ，ME=MF ． 23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， %

（1）求证：△AED ≌△EBC ．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相

等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

(1)DC ∥AE ，且DC=AE ，所以四边形AECD 是平行四边形。于是知AD=EC ，且∠EAD=∠BEC 。由AE=BE ，所以△AED ≌△EBC 。 （2）△AEC 、△ACD 、△ECD 都面积相等。

>

24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．

求证：BD =2CE ． 证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F ∵BE ⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC

∴△BEF ≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE

O

E

D C B

A

F

E D

C

B

A

25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。

26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

）

求证：AM 是△ABC 的中线。

证明：∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM

∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.

27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。

三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角ADB 和角CDB

相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD 垂直AC

28、（10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中AB=ACBD=DCAD=AD

，

∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与

△FDC 中

BD=DC ∠BDF=∠FDCDF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。

因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥

M F

E

C

B

A

F

E D

C

B

A

D

C

B

A F

D

C

B

A

F

E D C

B

A

CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.

证：∵AB 平行CD （已知）∴∠B=∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴EM=FM （中点定义）在△BME 和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF （SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上

31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．

…

证明：∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE ≌⊿CDF （SAS ）

32.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等腰

△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF >

得AE=AF

33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.所以BC 等于DC ，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠6

34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．

因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE ，BC 平行EF 所以角A+角EDF ，角BCA=角F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等

35．已知：如图，AB =AC ，BD AC ，CE AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：

BE =CD ．

D

B

C A F

E

654

32

1E D

C

B

A

*

A

C B D

E

F

证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD

36、

如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF

37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长

角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC ≌△DAE AD=AB=5

[

38．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC 证明∵AB=AC

∴△ABC 是等腰三角形∴∠B=∠C

又∵ME=MF ，△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC

39.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证：

证明：

已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD ，在四边形ADBC 中，连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C <

以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD 中，∠D=∠C ，∠A=∠B ，求证：AD=BC 因为

B

C

A B

∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以2(∠A+∠D)=360°，∠A+∠D=180°，所以AB?

=

∠90

ACB BC

AC=MN C MN

AD⊥D MN

BE⊥E1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC

?≌CEB

?；②BE

AD

DE+

=；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）@

（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，

∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

（1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90

度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角

EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形

FAB全等所以EC=BF角ECA=角F

（2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已

证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）

AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，

∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，

CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN

（2）

∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=

90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

—

连接BF、CE，

证明△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF

F

A

M

N

E

1

2

3

4

A

E

B

M

C

F

（

从而求得BC 平行于EF

44．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗请说明理由 ~

在AB 上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBNBE 为公共边, 所以三角形EBN 全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．

证明：∵AD 是中线∴BD=CD ∵DF=DE ，

∠BDE=∠CDF ∴△BDE ≌△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF

%

46、(10分)已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥．

证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，DE=BF ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，

∴∠C=∠A ，∴AB ∥CD ．

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

【待定】

·

48、 (10分)如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，

A

C

E

D

B

A D

E

C

B

. .

3

4

21

D

C

B

A

AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB中

∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°

∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE

49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.

先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB

A

D

在证明△ABE≌△DCE

得出AE=DE

B E C

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=

∠DCG=45°∵∠ACB=90°

AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠

ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB ∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE

∵∠DCG=∠B CD=BD∴△CDG

≌△BDE∴∠ADC=∠BDE A B

C

D

E

F

图9