数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)

1(2)

(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)

1()

1(111q q q

a a q q a

q na S n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6

12++==

∑=n n n k S n

k n 5、 213)]1(2

1[+==∑=n n k S n

k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=n n

S n S

n f 的最大值.

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·

b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列

??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a

a a n ，…

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 [例9] 求数列

???++???++,11,,321,211n n 的前n 项和.

[例10] 在数列{a n }中，1

1211++???++++=

n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

[例11] 求证：

sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

1111111111个n ???+???+++之和 [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=1

1))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.