2020届高考数学单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)单元检测理(含解析)新人教A版

单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝

3x

2

1－x

＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A ．(－∞，1)

B.? ????－13，1

C.????

??－13，1

D.????

??－13，＋∞ 答案 B

解析 要使函数有意义，则?

??

??

1－x >0，

3x ＋1>0，

解得－1

3

所以函数f (x )的定义域为? ??

??－13，1. 2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2

B ．y ＝x 2

x

C ．y ＝(x )2

D ．y ＝log a a x

(a >0且a ≠1)

答案 D

解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系，定义域均相同，是同一函数．

3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y ＝－1x

B ．y ＝? ??

??12x

C ．y ＝x 3

D ．y ＝log 2x

答案 C

解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y ＝? ????12x

在其定义域内既不是偶

函数，也不是奇函数；y ＝x 3

在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．

4．已知f (x )＝x －x 2

，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2

－x 4

B ．f (x )＝x －x 2

C ．f (x )＝x 2

－x 4

(x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0)

答案 C

解析 因为f (x )＝(x )2

－(x )4

， 所以f (x )＝x 2

－x 4

(x ≥0)．

5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2

－mx ＋5，对称轴x ＝－2，则f (1)的值为( )

A ．－7

B ．17

C ．1

D ．25 答案 D

解析 函数f (x )＝4x 2

－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2， 可得m

8＝－2，解得m ＝－16，所以f (x )＝4x 2

＋16x ＋5.

则f (1)＝4＋16＋5＝25.

6．若a ＝30.3

，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a

答案 A

解析 因为0<0.3<1，e>1， 所以c ＝log 0.3e<0，

由于0.3>0，所以a ＝30.3

>1， 由1<3<π，得0b >c .

7．已知f (x ＋1)＝－ln

x ＋3

x －1

，则函数f (x )的图象大致为( )

答案 A

解析 由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3

x －1

＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2，

所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2

x ＋2

. 由

x －2

x ＋2

>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B. 因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2

x －2

＝－ln

x －2

x ＋2

＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，排除C. 又f (3)＝ln 1

5

<0，故排除D.

8．已知函数f (x )＝－x 2

＋4x ，当x ∈[m,5]时，f (x )的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5]

答案 C

解析 f (x )＝－(x －2)2＋4， 所以当x ＝2时，f (2)＝4.

由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.

所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4]， 则－1≤m ≤2.

9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，

则满足f (3x ＋1)

??12的实数x 的取值范围是( ) A.??????－1

2，－16

B.? ????－1

2，－16

C.??????－1

3

，－16

D.? ????－1

3

，－16

答案 B

解析 由函数f (x )的图象关于y 轴对称， 且f (x )在(－∞，0]上单调递减， 得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

又f (3x ＋1)

??12， 所以|3x ＋1|<1

2，

解得－12

.

10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝?

????

log 3(x 2

＋t )，x <0，2(t ＋1)x

，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为

( )

A ．12

B ．18C.112D.1

18

答案 A

解析 ∵f (x )＝?????

log 3(x 2

＋t )，x <0，

2(t ＋1)x

，x ≥0，

∴f (1)＝2(t ＋1)＝6，解得t ＝2.

∴f (－2)＝log 3(4＋2)＝log 36，f (f (－2))＝12.

11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图象大致是( )

答案 D

解析 根据题意可得到

y ＝f (x )＝?????

14

x 2

，0≤x ≤2，2

2

x ＋1－2，2

－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋

2，

由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D.

12．(2019·成都龙泉驿区一中模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝ln ?

?

?

??

e x

＋x x ＋1，则函数g (x )＝f (x )＋1

3x 在区间[－6,6]上的零点

个数是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B

解析 由f (x )＋f (2－x )＝0，令x ＝1，则f (1)＝0， ∵f (x )＋f (2－x )＝0，∴f (x )的图象关于点(1,0)对称， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)， ∴f (x )是周期为2的函数． 当x ∈[0,1)时，

f (x )＝ln ? ????e x ＋x x ＋1＝ln ? ??

??e x

－1x ＋1＋1为增函数，

画出f (x )及y ＝－1

3

x 在[0,6]上的图象如图所示，

经计算，结合图象易知，函数f (x )的图象与直线y ＝－1

3x 在[0,6]上有3个不同的交点，

由函数的奇偶性可知，

函数g (x )＝f (x )＋1

3

x 在区间[－6,6]上的零点个数是5.

第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．幂函数f (x )＝(m 2

－m －1)xm 2

＋2m －3在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为________．

答案 2

解析 根据题意得m 2

－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，

所以当m ＝2时，m 2

＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5

，满足题意； 当m ＝－1时，m 2

＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4

，不满足题意． 综上，m ＝2.

14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x

＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________. 答案 －3

4

解析 易知f (－3)＝f (1)＝0， 由f (x )是奇函数，知f (0)＝0， 所以20

＋a ＝0，所以a ＝－1. 因为log 27＝2＋log 27

4

，

所以f (14－log 27)＝f ? ????－log 274＝－f ? ????log 274 ＝－? ??

??74－1＝－34，

则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－3

4

.

15．已知λ∈R ，函数f (x )＝?

??

??

|x ＋1|，x <0，

lg x ，x >0，g (x )＝x 2－4x ＋1＋4λ，若关于x 的方程

f (

g (x ))＝λ有6个解，则λ的取值范围为________．

答案 ? ??

??0，25

解析 函数f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[－1,0)和(0，＋∞)上单调递增，f (x )的图象如图所示．

由于方程g (x )＝n 最多只有两解， 因此由题意f (n )＝λ有三解，

所以0<λ<1且三解n 1，n 2，n 3满足n 1<－1，－11，n 1＝－1－λ， 所以g (x )＝x 2

－4x ＋1＋4λ＝－1－λ有两解，

(x －2)2

＝－5λ＋2>0，λ<25，

所以0<λ<2

5

.

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x

1＋e x －1

2，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________．

答案 {－1,0}

解析 因为f (x )＝e x

－1

2(e x ＋1)，

则f (－x )＝1－e

x

2(1＋e x )＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数．

因为函数f (x )＝e x 1＋e x －12＝12－1

e x

＋1， 又e x

＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，

故－12<12－1e x ＋1<12

.

当f (x )∈? ????－12，0时，[f (x )]＝－1，[f (－x )]＝0； 当f (x )∈? ??

??0，12时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝－1； 当f (x )＝0时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝0. 所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1,0}．

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知函数f (x )＝? ??

??12ax

，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．

(1)求常数a 的值；

(2)若g (x )＝4－x

－2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．

解 (1)由已知得? ????12－a

＝2，解得a ＝1.

(2)由(1)知f (x )＝? ??

??12x

，

因为存在x ，使g (x )＝f (x )，

所以4－x

－2＝? ????12x ，

即? ????14x －? ??

??12x

－2＝0， 即??????? ????12x 2－? ??

??12x

－2＝0有解， 令? ??

??12x ＝t (t >0)，则t 2

－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，

解得t ＝2，即? ??

??12x

＝2，解得x ＝－1，

故满足条件的x 的值为－1.

18．(12分)已知函数f (x )＝x 2

－2ax ＋5(a >1)．

(1)若函数f (x )的定义域和值域为[1，a ]，求实数a 的值；

(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－

f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．

解 (1)∵f (x )＝x 2

－2ax ＋5在(－∞，a ]上是减函数， ∴f (x )＝x 2

－2ax ＋5在[1，a ]上单调递减，

根据题意得?

??

??

f (1)＝a ，

f (a )＝1，解得a ＝2.

(2)∵f (x )在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.

综合(1)知f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，a ＋1]上单调递增， ∴当x ∈[1，a ＋1]时，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2

，

f (x )max ＝max{f (1)，f (a ＋1)}．

又f (1)－f (a ＋1)＝6－2a －(6－a 2

)＝a (a －2)≥0， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a . ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]， 总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，

即6－2a －(5－a 2

)≤4，整理得a 2－2a －3≤0， 解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围是[2,3]．

19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底

出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)

解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50 ＝－x 2

＋20x －50(0

)．

由－x 2＋20x －50>0，可得10－52

故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－?

????x ＋25x ≤19－2

x ×25

x

＝19

－10＝9，

当且仅当x ＝5时，等号成立．

∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 20．(13分)已知函数f (x )定义在区间(－1,1)内，且满足下列两个条件： ①对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ? ??

??x ＋y 1＋xy ；

②当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.

(1)求f (0)，并证明函数f (x )在区间(－1,1)内是奇函数； (2)验证函数f (x )＝lg 1－x 1＋x 是否满足这些条件；

(3)若f ? ????－12＝1，试求函数F (x )＝f (x )＋12的零点． 解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)， 所以f (0)＝0.

令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，

又f (x )的定义域(－1,1)关于坐标原点对称， 所以函数f (x )在区间(－1,1)内是奇函数． (2)由1－x

1＋x >0，得－1

所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．

①f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y

1＋y

＝lg ?

??

??1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝lg 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ＝lg 1－

x ＋y

1＋xy 1＋

x ＋y 1＋xy

＝f ? ????

x ＋y 1＋xy .

②当－11，所以lg 1－x 1＋x >0.

故函数f (x )＝lg 1－x 1＋x 满足这些条件．

(3)设－1

则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ? ??

?

?x 1－x 21－x 1x 2.

因为－1

所以x 1－x 2

1－x 1x 2

<0.

由条件②知f ?

??

?

?x 1－x 21－x 1x 2>0，

所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在区间(－1,0)内为减函数．

由奇函数性质可知，f (x )在区间(0,1)内仍是减函数， 所以f (x )在区间(－1,1)内单调递减，

因为f ? ????－12＝1，所以f ? ??

??12＝－1. 由F (x )＝f (x )＋1

2＝0，得2f (x )＝－1，

所以f (x )＋f (x )＝f ? ????2x 1＋x 2＝f ? ??

??12，

所以2x 1＋x 2

＝12

， 整理得x 2

－4x ＋1＝0，解得x ＝2－3或x ＝2＋ 3. 又x ∈(－1,1)，所以x ＝2－ 3. 故函数F (x )的零点为2－ 3.