高一数学下学期知识点复习+经典例题(解析)

知识点复习

知识点梳理

（一）正弦定理：

R C

B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R

C =

②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c

C R =

③ sin sin sin a b c

A B C

++++=2R

④::sin :sin :sin a b c A B C =

（二）余弦定理：2b =B ac c a cos 22

2-+（求边），cosB=ac

b c a 2222-+（求角）

适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。

（三）三角形的面积：①Λ=?=a h a S 21；②Λ==A bc S sin 2

；

③C B A R S sin sin sin 22=； ④R

abc

S 4=；

⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2

a b c

p ++=，r 为内切圆半径）

（四）三角形内切圆的半径：2S r a b c

=++，特别地，2a b c r +-=斜直

（五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ?+?=，… （六）三角边角关系：

（1）在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -

cos 2A B +=sin 2C ； 2

cos 2sin C

B A =+

（2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；（3）大边对大角：B A b a >?> 考点剖析

（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用

例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.

例1、解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴C

C a sin 2sin =

∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c

cocC 28-= ①

由余弦定理，得 C C c C

ab b a c 2

22222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②

入②，得 )舍(44或524516???==???

????==a c a c ∴516524==c a ，

例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB

于M ，交AC 于N ，求22

OM ON +

的最大值和最小值．例2、【解】由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3

AO a =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233

ππ

α≤≤

，在AOM ?中，由正弦定理得：sin sin[()]6

OM OA

MAO ππα=

∠-+， ∴36sin()6OM πα=+，在AON ?中，由正弦定理得：36sin()

ON πα=-，

∴2211OM ON +22

12[sin ()sin ()]66

a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时22

OM ON

+取得最大值218a ，所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时22

OM ON

+取得最小值215a ．变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=222,且，（１）求∠Ａ的大小；

（２）求c

b sin 的值

变式1、解（１）∵bc ac c a ac b -=-=222,∴bc a c b =-+222 在△ABC 中，由余弦定理得

22cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠Ａ＝060

（２）在△ABC 中，由正弦定理得a

b B 0

60sin sin =

∵0

260,=∠=A ac b ∴2

360sin 60sin sin 002===ca b c B b

变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I ）求的值；（II ）若，求的值。变式2、解（I ）∵为锐角， ∴ ABC ?A B 、A B C 、、a b c 、、510

sin 510

A B ==A B +21a b -=-a b c 、、A B 、510sin A B =

225310

cos 1sin 1sin A A B B =-=

=-=253105102

cos()cos cos sin sin 5105102

A B A B A B +=-=

∵ ∴

（II ）由（I ）知，∴

由，即又∵ ∴ ∴ ∴

（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用

例3、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？

例3、解：设AOB α∠=，在△AOB 中，由余弦定理得： 2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-??∠ 2212212cos 54cos αα=+-???=- 于是，四边形OACB 的面积为

S=S △AOB + S △ABC 213

sin 24

OA OB AB α=?+

21sin 4cos )24

αα=???+

- 5353

sin 32sin()3πααα=+=-因为0απ<<，所以当32ππα-=，56πα=，即56

AOB π

∠=时，

四边形OACB 面积最大．

例4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

．（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积．

例4、解：（1）由

∴ 4cos 2C －4cosC ＋１＝０

解得 ∵0°＜C ＜180°,∴

C =60° ∴ C ＝60°

（2）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即 7＝a 2＋b 2－ab ①

又a ＋b ＝5 ∴a 2＋b 2＋2ab ＝25 ②

由①②得ab ＝6 ∴ S △ABC ＝

变式3、已知向量(,)m a c b =+u r ，(,)n a c b a =--r

，且0m n ?=u r r ，其中,,A B C 是△

0A B π<+<4A B π

+=34

C π

=2sin 2C =sin sin sin a b c

A B C

==5102a b c ==2,5a b c b ==21a b -=-221b b -=-1b =2,5a c ==7,5,2

2cos 2sin 42

==+=-+c b a C B A 2

2cos 2cos 4,272cos 2sin 422

C C C B A -=-+得2

1cos =C 2

3sin 21

=C ab

ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小；

（2）求sin sin A B +的取值范围.

变式3、解：（1）由0m n ?=u r r

得()()()0a c a c b b a +-+-=222a b c ab ?+-=

由余弦定理得2221cos 222

a b c ab C ab ab +-===

∵0C π<< ∴3

C π

(2)∵3C π= ∴23

A B π

∴sin sin A B +=2sin sin()3A A π+-22sin sin cos cos sin 33

A A A ππ

=+-

sin 2A A =+1cos )2

A A =+

A π

∵203A π<< ∴5666

A πππ

<+<

∴1sin()126

A π

<+≤ )6A π<+≤

即sin sin 2

A B <+≤（三）考查三角形形状的判断

例5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b =acosC ,且△ABC 的最大边

长为12，最小角的正弦值为3

。

（1）判断△ABC 的形状；（2）求△ABC 的面积。例5、解：（1）Θ b=acosC ，∴由正弦定理，得sinB =sinAcosC , （#）

ΘB=)(C A +-π,

∴ sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC ，

∴cosAsinC=0,又A ，C ),0(π∈∴cosA=0，A=2

π，∴△ABC 是直角三角形。

（2）Θ△ABC 的最大边长为12，由（1）知斜边a =12，又Θ△ABC 最小

角的正弦值为31，∴Rt △ABC 的最短直角边为123

?=4，另一条直角边

为28

∴S △ABC =2842

1??=162

变式4、在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状；

(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。

变式4、解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+

可得12

sin 22=C

0cos =∴C 即C ＝90°

∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形

（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21

()1sin sin 2

-+=B A

2214sin 22-≤

-??? ?

?+=πA ∴内切圆半径的取值范围是???

? ??-212,

0 例7、在△ABC 中，已知2a b c =+，2

sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

变式8、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c

2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形

∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a

c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．答案：B

变式9、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状。

变式9、解:等腰直角三角形;

数列

知识点一：通项与前n项和的关系

任意数列的前n项和；

注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法

1.迭加累加法：

，

则，，…，

2.迭乘累乘法：

，

则，，…，

知识点三：数列应用问题

1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2.建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.

规律方法指导

1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；

2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：

（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；

（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.

经典例题精析

类型一：迭加法求数列通项公式

1．在数列中，，，求.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若

不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.

2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.

举一反三：

【变式1】已知数列，，，求.

【变式2】数列中，，求通项公式.

类型二：迭乘法求数列通项公式

2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.

总结升华：

1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.

2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.

举一反三：

【变式1】在数列中，，，求.

【变式2】已知数列中，，，求通项公式.

类型三：倒数法求通项公式

3．数列中，,，求.

总结升华：

1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.

2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.

举一反三：

【变式1】数列中，，，求.

【变式2】数列中，,，求.

类型四：待定系数法求通项公式

4．已知数列中，，，求.

总结升华：

1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,

则可设得，利用已知得即，从而将

数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.

2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.

举一反三：

【变式1】已知数列中，，求

【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.

类型五：和的递推关系的应用

5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .

(1)设,求证：数列是等比数列；

(2)设，求证：数列是等差数列；

(3)求数列的通项公式及前n项和.

总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.

举一反三：

【变式1】设数列首项为1，前n项和满足

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.

【变式2】若, ()，求.

【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的

前n项和.

类型六：数列的应用题

6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？

总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.

举一反三：

【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（）

A．B．C．D．

【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）

A．1.5万元B．2万元C．3万元D．2.5万元

【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量

（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，

需求量超过万件的月份是()

A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．9月、10月

【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）

【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；

（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）

高考题萃

1．设数列的前项和为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：是等比数列；

（Ⅲ）求的通项公式.

2．设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解集

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与一元二次不等式ax 2

＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集的关系，可归纳为：

Δ>0 Δ＝0 Δ<0

有两相异实根x ＝x 或有两相同实根

1．不等式x (1－2x )＞0的解集是( )

A.????－∞，12

B.????0，12 C ．(－∞，0)∪????12，＋∞ D.???

?12，＋∞ 答案：B

2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )

A.??????x ?? x ≠－13

B.??????－13

C.??????x ??

－13≤x ≤13 D ．R 答案：B

3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2.

4．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.

解析：因为|x ＋2|<3，即－5

答案：－1 1

5．不等式1

x －1＜1的解集为________．

解析：由1x －1＜1得1－1

x －1＞0，即x －2x －1

＞0，解得x ＜1，或x ＞2.

答案：{x |x ＜1，或x ＞2}

解一元二次不等式应注意的问题：

(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．

(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．

(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．

(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．一元二次不等式的解法典题导入

[例1] 解下列不等式：

(1)0＜x 2－x －2≤4；(2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [自主解答] (1)原不等式等价于

????? x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4??

????

x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ?????? (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0??????

x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .

综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a . 由题悟法

1．解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．

2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．以题试法

1．解下列不等式：

(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.

解得－2 ≤x ≤4

，

所以原不等式的解集为??????

x ?

－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，

因为a ＞0，所以????x －1

a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1

＜x ＜1；

当a ＝1时，解集为?；

当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1

综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为??????

x ?

1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为?；

当a ＞1时，不等式的解集为????

x ??

1a ＜x ＜1. 一元二次不等式恒成立问题典题导入

[例2] 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．

[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2

，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．

法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或????

Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.

解得－3 ≤a ≤1.

所求a 的取值范围是[－3,1]．

一题多变

本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围．

解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或????? Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0或????

Δ＞0，a ＞1，g (1)≥0.

解得－3≤a ≤1，

所求a 的取值范围是[－3,1] .

由题悟法

1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 2．一元二次不等式恒成立的条件：