高一第二学期物理竞赛辅导 第三讲 圆周运动

第三讲 圆周运动

一：知识要点：

1．质点的圆周运动

做圆周运动的质点，速度大小不仅可以变化，方向也在不断变化，如图1-4-1中，质点在沿圆周由A 到B 的过程中，其速度的增量△v=△v 1+△v 2，其瞬时加速度 a=1200lim lim n t t t v v a a t t

∆→∆→∆∆+=+∆∆ 上式中，a n 为法向加速度，它描述速度方向的变化快慢，大小为a n =2

v R

；a t 为切向加速度，它描述速度大小的变化快慢.对匀速圆周运动而方，a t =0,而对一般曲线运动，

a n =2

v ρ

,式中ρ为质点所在位置的曲线的曲率半径. 匀速圆周运动是一种周期性运动，其规律的描述不同于匀变速运动.在圆周运动中，位移、速度与时间的关系再不是研究的重点，其重点是研究周期、角速度、速率、半径等物理量与加速度的联系.从而进一步研究运动和力的关系.在一般圆周运动中，要注意加速度一方面描述了速度大小的变化快慢，另一方面又描述了速度方向的变化快慢.

2．力和圆周运动

力是使物体的速度发生改变的原因，速度有大小和方向的变化，在速度方向上的外力改变速度的大小，而与速度方向垂直的外力改变速度的方向.在圆周运动中，是将物体所受的外力沿切向和法向进行分解，在切向上的外力改变速度的大小，而法向上的外力改变速度的方向（即向心力）.高中阶段对圆周运动的分析关键是找出向心力的来源.向心力是做圆周运动的物体在指向圆心方向外力的合力，它是以力的作用效果来命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或这些力的合力.匀速圆周运动的向心力的计算公式是

F 向=m·a 向=m·2v R =m ω2R=m·224R T

π=m·4π2n 2R 对于变速圆周运动，上述计算向心力的公式也适用，只是使用公式时必须用物体的瞬时速度代入计算.

二、例题

例1、如图1-4-2所示，小球P 与穿过光滑水平板中央小孔的轻绳相连，用手拉着绳子另一端使P 在水平板内绕O 作半径为a 、角速度为ω的匀速圆周运动，求：（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉直，使P 绕O 作半径为b 的圆周运动，从放松到拉直经过多少时间？（2）P 作半径为b 的圆周运动的角速度为多大？

例2、有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB跳跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，P D⊥AB，且FD=L（如图1-4-4所示），试求此时猎犬的加速度的大小.

例3、如图1-4-6（甲）中的黑色圆盘上有一白点S，盘绕垂直于盘面的中心轴以f0=50Hz的频率旋转.如果用频率为f的频闪光去照射该盘，在盘上能稳定地出现如图1（乙）中的三个白点，试计算出两种可能的f 值，其一大于f0，另一种小于f0.又若取f为51Hz，那么在盘上能观察到什么现象？

例4、如图3-3-2所示，一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，小球和水平之间有摩擦，求：

（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小.

（2）小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小.

例5、一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l（l＜R）的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过

例6、质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质木架上的A 点和C 点，如右图所示，当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时杆子停止转动，则

A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动

B ．在绳被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大

C ．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动

D ．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动

例7、如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。则：

（1）当B 处绳子刚好被拉直时，小球的线速度v 多大？

（2）为不拉断细绳，转轴转动的最大角速度 多大？

例８、一辆质量为m 的汽车以速度v 在半径为R 的水平弯道上做匀速圆周运动.汽车左、右轮相距为d ，重心离地的高度为h ，车轮和路面之间的静摩擦因数为μ0.求

（1）汽车内外轮各承受多大支持力？

（2）汽车能安全行驶的最大速度是多少？

三：能力训练：

1.在平直轨道上匀速行驶的火车、机车主动轮的转速是车厢从动轮转速的

35，主动轮轮缘上的各点的向心加速度与从动轮轮缘上各点的向心加速度分别为a 1、a 2，求

12

a a 的值.

2.如图1-4-8所示，一个半径为R的纸质圆筒，绕其中心轴匀速转动，角速度为ω，一粒子弹沿AO 方向打进纸筒，从纸筒上的B点穿出，从子弹打入纸筒至穿出纸筒过程中，纸筒未转过一周，若AB弧对的圆心角为θ，求子弹的速度.

3.如图1-4-9所示，定滑轮半径为r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静

止开始释放，测得重物的加速度a=2m/s2，在重物下落1m瞬间，滑轮边缘上的点角速度

为rad/s，向心加速度为m/s2.

4.边长为a的正三角形板的水平面内朝一个方向不停地作无滑动的翻滚，每次翻滚都是绕着一个顶点（如图1-4-11中的A点）转动，转动角速度为ω常量.当一条边（例如AB边）触地时，又会立即绕着另一个顶点（如B点）继续作上述转动.

（1）写出（不必写推导过程，以下各问相同）三角板每一顶点的平均速率；

（2）指出三角板中哪些点作匀速率运动，并给出它们的速率；

（3）画出图中三角板的顶点C在T=2π/ω时间内的运动轨道.

5.如图1-4-12中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为L的A、B两固定轴沿图示方向在同一竖直面上转动.小环M套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求在以后的任意时刻（M未落地前的时刻）M 运动的速度大小和加速度大小.

6.xy平面上有一圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放有一细杆.从t=0开始，整根杆朝x轴正方向匀速运动，速度为v。.试求在细杆尚未离开圆周前它与圆周在第Ⅰ象限的交点沿圆周移动的向心加速度与时间的关系.