初中数学常见辅助线作法
初中数学：与线段中点相关的辅助线做法
线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的线段主要有中线和中位线，其中中线在三角形中经常遇到，而中位线一般出现在三角形和四边形中.这两种线段都是在作与中点有关的辅助线时的重要依据.下面结合具体例题，谈谈关于中点辅助线的几种作法.类型一：一个中点的辅助线作法方法1：倍长中线若图中出现中线或与中点有关的线段时，可以延长中线，使所延长部分与中线相等，再连接相应的顶点，则对应角、对应边都对应相等，其目的是构造全等三角形或平行四边形解题.例1如图1，在∆ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为∆ABC的角平分线，求证：BG=CF.图1图2证明：如图2，延长FE到点H，使HE=FE，连接BH.因为CE=BE，∠CEF=∠BEH，FE=HE，所以∆CEF≌∆BEH，所以∠F=∠H，CF=BH.因为EF∥AD，所以∠BGH=∠BAD，∠CAD=∠F.又∠BAD=∠CAD，所以∠H=∠BGH，所以BG=BH，所以BG=CF.方法2：构造“三线合一”在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线和高线，三条线互相重合，就简称为三线合一.因此，若题目条件中出现等腰三角形底边上的中点时，则连接底边中线，构造三线合一，运用等腰三角形“三线合一”的性质可以证明角相等、线段相等或垂直，进而减少证明三角形全等的次数，简化解题过程.例2如图3，点P是等腰RtΔABC底边BC上一点，过点P作BA，AC的垂线，垂足分别为点E，F，设点D为BC的中点.求证：△DEF 是等腰直角三角形.图3初中数学：与线段中点相关的辅助线做法图4证明：如图4，连接ME ，MD .因为BD 是∆ABC 的高，所以∠BDC =90°.在Rt∆BCD 中，BM =MC ，所以MD =12BC ，同理ME =12BC ，所以ME =MD .又因为PE =PD ，所以PM ⊥DE .类型二：两个及以上中点的辅助线作法当图中有多个中点时，除了上述利用中点的性质作辅助线外，同时还要考虑作中位线.若已知三角形的两边有中点，可以连接两点构造中位线；若已知三角形的一边中点，可以在另一边上取中点，连接两点构造中位线；若已知三角形的一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.例4如图5，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 为BC 的中点，求证：PM =PN.图5证明：如图5，分别取AB ，AC 的中点D ，Q ，连接DM ，DP ，QN ，QP .因为点P 为BC 的中点，所以DP ∥AC ，DP =12AC ，同理可得PQ ∥AB ，PQ =12AB .所以∠BDP =∠PQC =∠BAC ，因为△ABM ，△ACN 均为等腰直角三角形，且D ，Q 均为AB ，AC 的中点，所以MD =12AB ，NQ =12AC ，∠MDB =∠NQC =90°，所以MD =PQ ，PD =NQ ，∠MDP =∠PQN =90°-∠BAC ，所以△MDP ≌△PQN ，所以PM =PN .从上述几例含有中点条件的问题可以看出，在三角形中，如果已知一点或两点是三角形某边上的中点，或题目的已知条件中出现了中点与其它条件的组合，则要由中点联想到作三角形的中线、中位线或加倍延长线段等方法，添加辅助线，然后依据相关性质，即可迅速找到解题的思路．解析：如图3，连接AD . 由题意知，∠B =∠C =45°.因为D 为中点，所以AD =BD =DC ，且∠BAD =∠CAD =45°. 因为∠PEA =∠EAF =∠AFP =90°， 所以四边形AEPF 是矩形，所以PE =AF . 由∠PEA =90°，∠B =45°，所以∠B =∠BPE =45°，所以BE =PE =AF . 因为BD =AD ，∠B =∠DAF ，BE =AF ， 所以∆DBE ≌∆DAF ， 所以DE =DF ，∠BDE =∠ADF ， 所以∠BDA =∠EDF =90°， 所以△DEF 是等腰直角三角形. 方法3：连接斜边中线若题目条件中出现直角三角形斜边上的中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到三 条相等的线段和两对相等的角，还可以得到 两个等腰三角形，从而为解题创造条件.例3如图 4，∆ABC 中，BD 和 CE 是高，M 为 BC 的中点，P 为 DE 的中点.求证:PM ⊥DE .。
初中几何辅助线作法汇总(最全版)
初中几何辅助线作法汇总——必胜宝典等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
初中数学平行线分线段成比例常见辅助线作法题型大全
第9关 平行线分线段成比例常见辅助线作法（讲义部分）知识点1 平行线分线段成比例定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边．推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例．题型1 构造平行线【例1】如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ． （1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长；（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长．【解答】解：（1）////AD BE CF ，∴DE AB DF AC=， 6AB =，8BC =，21DF =， ∴62168DE =+， 9DE ∴=．（2）过点D 作//DG AC ，交BE 于点H ，交CF 于点G ， 则9CG BH AD ===， 1495GF ∴=-=， //HE GF ， ∴HE DE GF DF=， :2:5DE DF =，5GF =， ∴255HE =，2HE ∴=，9211BE ∴=+=．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例．【例2】如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，若:2:1AD BD =，点G 在DE 上，:1:2DG GE =，连接BG 并延长交AC 于点F ，则:AF EF 等于( )A ．1:1B ．4:3C ．3:2D ．2:3【解答】解：如图，作//DH BF 交AC 于H ．//DH BF ，::2:1AH HF AD DB ∴==，∴可以假设HF a =，则2AH a =， //FG DH ，::1:2FH EF DG EG ∴==， 2EF a ∴=， 3AF a ∴=，:3:23:2AF EF a a ∴==， 故选：C ．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解 决问题，属于中考常考题型．【例3】如图，已知点F 在AB 上，且:1:2AF BF =，点D 是BC 延长线上一点，:2:1BC CD =，连接FD 与AC 交于点N ，求:FN ND 的值．【解答】解：过点F 作//FE BD ，交AC 于点E ，∴EF AFBC AB=， :1:2AF BF =， ∴13AF AB =， ∴13FE BC =， 即13FE BC =，:2:1BC CD =，12CD BC ∴=， //FE BD ，∴123132BCFN FE ND CD BC ===． 即:2:3FN ND =．证法二、连接CF 、AD ，:1:2AF BF =，:2:1BC CD =，∴23BF BC AB BD ==， B B ∠=∠，BCF BDA ∴∆∆∽， ∴23FC BC AD BD ==，BCF BDA ∠=∠， //FC AD ∴，CNF AND ∴∆∆∽， ∴23FN CF ND AD ==． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题 具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．【例4】如图，点D 是等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上的一点，3AB BD =，AF CD ⊥于点F 交BC 于点E ．（1）求证：E 是BC 的中点； （2）求:AF CF 的值； （3）求:DF CF 的值．【解答】（1）证明：作BP BC ⊥交CD 的延长线于P ，如图1，90ACB ∠=︒， //AC BP ∴，∴BP ADAC BD =， 3AB BD =， 2AD BD ∴=， 2AC BP ∴=， 而AC BC =， 2BC BP ∴=，AF CD ⊥，90CAF ACF ∴∠+∠=︒， 而90ACF ECF ∠+∠=︒， CAF ECF ∴∠=∠， 在ACE ∆和CBP ∆中， ACE CBP AC CBCAE BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ACE CBP ∴∆≅∆， CE BP ∴=， 2BC CE ∴=，E ∴是BC 的中点；（2）解：CAF ECF ∠=∠， Rt ACF CEF ∴∆∆∽， ∴AF AC CF CE=， 而2BC AC CE ==， ∴2AF CF=； （3）解：作//DH AE 交BC 于H ，如图2， ∴13BH BD BE BA ==， 23EH BE ∴=，//EF DH ，∴2233BEDF EH CF CE CE ===．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例．也考查了三角形全等的判定与性质．【例5】如图，在ABC ∆中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF ，AC 于P ，Q ，D ，求::BP PQ QD ．【解答】解：过D 作//DG BC ，交AE 于G ，AH 于H ，D为AC中点，DH∴是AFC∆的中位线，12DH CF∴=，2CF DH=，BE EF CF==，24BF CF DH∴==，//DG BC，∴14DQ DHQB BF==，4QB DQ∴=，DG是AEC∆的中位线，12DG CE EF BE∴===，//DG BC，BP PD∴=，1.5PQ DQ∴=， 2.5BP DQ=，::5:3:2BP PQ QD∴=．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【例6】如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（）A.3:2:1B. 5:3:1C.25;12:5D.51:24:10【解答】ABC∆,D E BC::3:2:1BD DE EC=P AC :2:1AP PC=BP,AD AE,M N::BM MN NP【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，灵活运用定理、找准对应 关系是解题的关键．【例7】如图，矩形ABCD 的边长3AD =，2AB =，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且2BF FC =，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为( )A．BCD【解答】解：过F 作FH AD ⊥于H ，交ED 于O ，则2FH AB ==2BF FC =，3BC AD ==， 2BF AH ∴==，1FC HD ==，AF FH ∴===， //OH AE ， ∴13HO DH AE AD ==， 1133OH AE ∴==，15233OF FH OH ∴=-=-=，//AE FO ，AME FMO ∴∆∽，∴13553AM AE FM FO ==，38AM AF ∴==， //AD BF ，AND FNB ∴∆∆∽， ∴32AN AD FN BF ==，35AN AF ∴==MN AN AM ∴=-==故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出 辅助线，求出AN 与AM 的长是解题的关键．题型2 构造平行四边形【例8】如图，//AB CD 、//AD CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ， 求证：2MN PQ PN +=．【解答】证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形，F 是AC 的中点，DF ∴的延长线必过O 点，且13DG OG =． //AB CD ， ∴MN AN PN DN =． //AD CE ， ∴PQ CQ PN DN=． ∴MN PQ AN CQ AN CQ PN PN DN DN DN ++=+=． 又13DN DG OQ OG ==， 3OQ DN ∴=．33CQ OQ OC DN OC DN AD ∴=-=-=-，AN AD DN =-．2AN CQ DN ∴+=． ∴2MN PQ AN CQ PN PN DN ++==． 即2MN PQ PN +=．【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．【例9】已知如图，点D 是ABC ∆边BC 上一点，且:2:3BD DC =，过点C 任作一条直线与AB 、AD 分别交于点F 和E ，求证：53AE AFED BF=．【解答】证明：过D 点分别作//DG AB ，//DH FC ，得到四边形DGFH 是平行四边形， DG HF ∴=， //DG BF ，∴DG DCBF BC =，（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） 23BD CD =， ∴35CD BC =， ∴35DG BF =， 设3DG a =，则3FH DG a ==，5BF a =，2BH a =，35FH BF ∴=，//DG AF ， ∴AE AF ED DG =（如果一条直线截三角形的两边的延长线，所得的对应线段成比例）， DG FH =， ∴AE AF ED FH=， 35FH BF =，∴5335AE AF AFED BFBF ==， 即53AE AF ED BF=．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平 行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果 一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边．题型3 其它辅助线作法【例10】如图， 在ABC ∆中，2AF BF =，3CE AE =，4CD BD =． 连接CF 交DE 于P 点， 求:EP DP 的值 ．【解答】解： 如图， 连接EF 、DF ，则CPE FPECPD FPDS S EP DP S S ∆∆∆∆==， 2AF BF =，3CE AE =，4CD BD =， ∴34CE AC =，45CD BC =，23AF AB =，13BF AB =，∴323154344418553ABC ACF CPE FPE CEF CPD FPD CDFBCF ABC S SS S S EP DP S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆⨯+=====+⨯．【点评】本题主要考查比例线段的基本性质， 根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键 ．【例11】已知：如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，//AB CD ，AD ，BC 相交于点E ，过点E 作//EF AB 交BD于点F ，则：（1）111AB CD EF+=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出ABD S ∆，BED S ∆和BDC S ∆间的关系式，并给出证明．【解答】（1）成立．证明：//AB EF∴EF DFAB DB =//CD EF ∴EF BF CD DB= ∴1EF EF DF BF DB AB CD DB DB DB +=+== ∴111AB CD EF+=； （2）关系式为：111ABD BDC BEDS S S ∆∆∆+=证明如下：分别过A 作AM BD ⊥于M ，过E 作EN BD ⊥于N ，过C 作CK BD ⊥交BD 的延长线于K由题设可得：111AM CK EN+=∴222BD AM BD CK BD EN+=即111111222BD AM BD CK BD EN +=又12ABD BD AM S ∆=，12BCD BD CK S ∆=∴12BED BD EN S ∆= ∴111ABD BDC BEDS S S ∆∆∆+=．【点评】此题考查平行线分线段成比例定理的运用．第9关 平行线分线段成比例常见辅助线作法（题册部分）【课后练1】如图，D 是ABC ∆的边BC 的中点，且13AE BE =． （1）过点A 作DE 的平行线交BC 于G ，分别求出DG BD 和AFFC的值；（2）若CDF ∆的面积为3，求出四边形ABDF 的面积．【解答】解：（1）过点A 作//AG ED 交BC 于点G ，如图1所示．//AG ED ，∴13DG AE BD BE ==． D 是ABC ∆的边BC 的中点， ∴13DG DG DC BD ==， ∴13AF DG FC DC ==． （2）连接BF ，如图2所示． BD CD =，3BDF CDF S S ∆∆∴==．又13AF FC =，123ABF BCF S S ∆∆∴==，235ABF BDF ABDF S S S ∆∆∴=+=+=四边形．【课后练2】在ABC ∆中，BD 是ABC ∆的中线，点P 为BD 上一点，且2BP PD =，过点P 作//MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图一，若BA BC =，写出图中所有与PM 相等的线段，并分别给出证明；（2）如图二，过BA BC ≠，在（1）中与PM 相等的线段中找出一条仍然与PM 相等的线段，并给出证明．【解答】解：（1）PM PN BM ==．证明：过点M 作//ME AC ，BA BC =，BD 是ABC ∆的中线， BD AB ∴⊥，ABD CBD ∠=∠， BD ME ∴⊥， //MN BC ，CBD MPB ∴∠=∠， ABD MPB ∴∠=∠， PM BM ∴=；12BE PE PB ∴==， 2BP PD =，即12PD PB =，PD PE ∴=，在PME ∆和PND ∆中， 90PEM PDN MPE NPDPE PD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PME PND AAS ∴∆≅∆， PM PN ∴=．PM PN BM ∴==． （2）PM PN =．证明：过点M 作//ME AC ， ∴ME BM AD BA =， //MN BC ， ∴DN PD DC DB =， 2PB PD =， ∴13PD DB =， :1:3DN DC ∴=， 即3CD DN =，BD 是ABC ∆的中线， AD CD ∴=， :1:3CN AC ∴=， ∴13BM CN BA CA ==， ∴13EM BM AD BA ==， 即3AD EM =， 3CD EM ∴=，EM DN ∴=， //ME AC ，PME PND ∴∠=∠， 在PEM ∆和PDN ∆中， PME PND MPE NPD ME ND ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()PEM PDN AAS ∴∆≅∆， PM PN ∴=．【课后练3】如图，在ABC ∆中，::3:2:1CF EF BE =，:2:3BD AD =．求::CH HG DG 的比．【解答】解：作//DM AE 于M ，//DN AF 于N ，如图，//DM AE ，∴23BM BD ME DA ==， 设2BM x =，则3ME x =，5BE x =， ::3:2:1CF EF BE =， 15CF x ∴=，10EF x =， //GE DM ， ∴333101528DG ME x DC MC x x x ===++， 设3DG t =，则28DC t =， //DN AF ， ∴23BN BD NF DA ==， 而15BN NF BF x +==， 9NF x ∴=， //HF DN ， ∴DH NF DC NC =，即93289158DH x t x x ==+，212DH t ∴=，2115322GH DH DG t t t ∴=-=-=，21352822CH CD DH t t t =-=-=，3515::::335:15:622CH HG DG t t t ∴==．【课后练4】如图，M 、N 分别为ABC ∆中AB 、BC 边上的点，32AM BM =，45CN BN =，MN 与中线BD 相交于点O ，求DOBO的值．【解答】解：如图，作//AE NM ，交BD 的延长线于E ，作//CF NM 交BD 于F ，设OB a =， OD b =．//AE MN ，//CF MN ，//AE CF ∴，DAE DCF ∴∠=∠， BD 是中线， AD DC ∴=，在ADE ∆和CDF ∆中， DAE DCF AD DCADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ADE CDF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，设DE DF m ==， //OM AE ， ∴BM BO AM OE =， ∴23a b m =+， 322a b m ∴=+① //ON CF ， ∴OB BN OF NC=，∴54a b m =-， 455a b m ∴=-②①5⨯+②2⨯得，2320a b =， ∴2023a b =， ∴2320DO OB =．【课后练5】如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的点，BE 交AD 于点O ，完成下列解答：（1）当1AEEC=时，此时O 为 ，则AO OD 的值为 ； （2）当12AE EC =时，求证：AO OD =；（3）当13AE EC =时，求AO OD 值； （4）当E 是AC 上任意一点（点E 不与端点A 、C 重合）时，猜想AE EC 与AOOD之间的关系，并证明你的猜想．【解答】（1）解：1AEEC=， AE EC ∴=，BE ∴是ABC ∆的中线， 又D 为BC 边的中点， AD ∴是ABC ∆的中线， O ∴为ABC ∆的重心， 2AOOD=； 故答案为：重心；2；（2）证明：如图，过点D 作//DF AC 交BE 于F ， D 为BC 边的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，12DF EC ∴=， 12AE EC =， 12AE EC ∴=，∴1AE DF=， //DF AC ， ∴AO AE OD DF =， AO OD ∴=；（3）解：过点D 作//DF AC 交BE 于F ，D 为BC 边的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，12DF EC ∴=，13AE EC =， 13AE EC ∴=，∴23AE DF =， //DF AC ， ∴23AO AE OD DF ==； （4）解：过点D 作//DF AC 交BE 于F ， D 为BC 边的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，12DF EC ∴=，∴2AE AE DF EC =， //DF AC ， ∴2AO AE OD EC=．。
初中数学证明题常见辅助线作法规律
初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.求证：MN =12AC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点NM CBA∴AM = BM =12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB+BN =12AB + 12BC = 12(AB + BC) ∴MN =12AC 练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.求证：AM =12(AB + BC)2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.求证：MN =12BC3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点. 求证：MN = 12AB规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有12n(n －1)个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个.规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n (n －1)(n －2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.M C BAN M CB AN MCB A规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB ∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，若∠A = 45o ,∠C = 55o,求∠E 的度数.解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ②①＋②得 1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C BA +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 2()E D C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 3()ED C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 4()ED CBA +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 5()E DCB A+=∠CDE ∠ABC ∠BCD 6()CBAMEBAH G FE D B C A H GFE D B C A H GFE D BC A∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE ∵BE 平分∠ABC 、DE 平分∠ADC ， ∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C ∴∠E =12(∠A ＋∠C) ∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ①在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G, 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证：12(AB ＋BC ＋AC)＜PA ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内F GN M EDCBA角的一半.例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD 的延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE －∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A即：360o－2∠BDC =180o－∠A∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB ①2∠2 =∠A＋∠ABC ②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)21EDBADCBA2121CBA∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o－∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC∴∠EAD = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C)= 90o－12(∠B＋∠C)－90o＋∠C= 12(∠C－∠B)如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD = 12 (∠C－∠B).E D CBAAB CDEFFDCBA注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5ABC DE D C B A4321NF E DB AED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o∴∠3 ＋∠2 = 90o即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b②a ±b = c ③a ±b = c ±dMA BC D E F12345 12E DC B A例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD 2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.求证：BC = AB ＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全
人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
初中数学几何常见辅助线作法歌诀
初中数学几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初中数学几何常见辅助线作法歌诀
初中数学几何常有协助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在协助线。
协助线，怎样添?掌握定理和观点。
还要勤苦加研究，找出规律凭经验。
三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
要证线段倍与半，延伸缩短可试验。
三角形中两中点，连结那么成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心均分点。
梯形里面作高线，平移一腰试一试看。
平行挪动对角线，补成三角形常有。
证相像，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比率换，找寻线段很重点。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上边作高线，比率中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上假定有全部线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线认真辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角均分线梦圆假如碰到订交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
假定是添上连心线，切点一定在上边。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
协助线，是虚线，绘图注意勿改变。
假定图形较分别，对称旋转去实验。
根本作图很重点，平常掌握要娴熟。
我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。
为何在现代化教课的今日 ,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生 ,竟提起作文就头疼 ,写不出像样的文章呢 ?吕叔湘先生早在 1978 年就尖地提出 : “中小学文教课成效差,中学文生文水平低 , ⋯⋯十几年上数是9160,文是 2749 ,恰巧是 30%,十年的 ,二千七百多 ,用来学本国文,倒是大部分不关 ,非咄咄怪事 ! 〞根究底 ,其主要原由就是腹中无物。
初中数学关于添加辅助线的方法总结
初中数学关于添加辅助线的方法总结辅助线关于同学们来说都不生疏，解几何题的时候经常用到。
当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
因此我们要学会巧妙的添加辅助线。
添加辅助线的几种方法。
添辅助线有二种情形：▌1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
▌2、按差不多图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做差不多图形，添辅助线往往是具有差不多图形的性质而差不多图形不完整时补完整差不多图形，因此“添线”应该叫做“补图”!如此可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个差不多图形：当几何中显现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的差不多图形：当几何问题中显现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
显现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的差不多图形：显现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;显现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的差不多图形。
(4)直角三角形斜边上中线差不多图形显现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
显现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线差不多图形。
(5)三角形中位线差不多图形几何问题中显现多个中点时往往添加三角形中位线差不多图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当显现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线差不多图形;当显现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线差不多图形。
初中数学 几何常见辅助线作法歌诀素材 人教新课标版.
初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初中数学辅助线典型做法大汇总
1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形）,相交线型,旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
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辅助线作法
1
常见辅助线作法
一、与中线有关的辅助线作法
1．倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等
三角形，
例1 如图，AB=6，AC=8，D为BC 的中点，求AD的取值范围。
例2 如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。
2.运用中线构造等腰三角形
图形中出现中线与垂直，中线与角平分线合一时，或根据等腰、直角三角形性质来作辅助线，构造全
等三角形，找等量或倍分量。
例3、已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，120A，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求
证：CM=2BM．
例4、如图所示，在ABC中，AB=AC，90BAC，BE平分ABC，交AC于D，BECE于E点，
求证：BDCE21．
B E C
D
A
B
A
D
C
8
6
A
M
N
B
C
A
B
E
D
C
辅助线作法
2
二、与角平分线有关的辅助线作法
1. 根据
角平分线性质：a、对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；b、角平分线上的点到角两边的距
离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段。
例5 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
2.截长补短法
遇到求证一条线段等于另两条线段之和或差时，一般方法是截长补短法：
I、 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
II、 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
例6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
例7．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
B
E
C
D
D A
E C
B
A
B
C
D
辅助线作法
3
III、证明线段的不等关系：主要根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，把证明不等
关系的线段转化到同一个三角形中。
例8．如图所示，已知AM为ABC中线，AMB、AMC的平分线分别交AB于E，交AC于F，求证：
EFCFBE
．
例9．已知：如图所示，在ABC中，ACAB，AD是BAC的平分线，P是AD上任意一点．
求证：PCPBACAB．
A
D
M
B
C
F
E
A
D
B
C
P
辅助线作法
4
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．已知：如图AD为△ABC的中线，求证：AB﹢AC＞2AD
2.如图所示，已知ABC中，21，AD=DB，ACDC．求证：ABAC21．
3．已知AB=AC，∠BAC=120°，AB边的垂直平分线交AB于D，交CA的延长线于E，求证：BC=2DE
A
B
C
D
D
E
A
C
B
A
D
B
C
1
2