初二数学辅助线常用做法及例题含答案)

D

C

B A

常见的辅助线的作法

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可

以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或

40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二

条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知 AB-BE <2AD

E

D

F

C

B

A

例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD 至G 使FG ＝2EF ，连BG ，EG, 显然BG ＝FC ，

在△EFG 中，注意到DE ⊥DF ，由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF

在△BEG 中，由三角形性质知 EG

例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.

E

D

C

B A

解：延长AE 至G 使AG ＝2AE ，连BG ，DG, 显然DG ＝AC ， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC ，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG

故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE

有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC ，BD ⊥AC 于D ，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：（方法一）作∠BAC 的平分线AE ，交BC 于E ，则

∠1 = ∠2 =

1

2

∠BAC 又∵AB = AC ∴AE ⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD ⊥AC

∴∠DBC ＋∠ACB = 90o

∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略）

（方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，

求证：DE = DF

2

1E

D B

A

F E D

C

B

A

证明：连结AD.

∵D 为BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC 中，

AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ，

求证：EF ⊥BC

证明：延长BE 到N ，使AN = AB,

连结CN,则AB = AN

= AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o

∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o

∴∠BCA ＋∠ACN = 90o

即∠BCN = 90o

∴NC ⊥BC

∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD =

CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF

证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，

∠NDE = ∠E ，

∵AB = AC ，

∴∠B = ∠ACB

∴∠B =∠DNB

N F

E C

B

A 2

1

N

F

E

D C B

A

∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF

∴DF = EF

（证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B （过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，

D 在BA 延长线上，且AD = A

E ，连结DE 求证：DE ⊥BC

证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，

则

∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC

∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE

又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE ⊥FE

又∵EF ∥BC

∴DE ⊥BC

（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N ，（过程略）

（证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）

2

1

M

F

E

D

C

B

A

N M F E D C

B

A