高三数学专项训练:一元二次不等式的解法小题练习
高中数学一元二次不等式练习题(最新-编写)11436

一元二次不等式及其解法1.形如的不等式称为关于的一元二次不等式.)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或x 2.一元二次不等式与相应的函数、相应的方程20(0)ax bx c a ++>>2(0)y ax bx c a =++>之间的关系:20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2()的图象0>a ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax3、解一元二次不等式步骤:1、把二次项的系数变为正的。
(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正)2、解对应的一元二次方程。
(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根)3、求解一元二次不等式。
(根据一元二次方程的根及不等式的方向)不等式的解法---穿根法一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0 ≤1x 2-4x +13x 2-7x +2解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2)变形为≥0(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)根据穿根法如图 不等式解集为{x |x<或≤x ≤1或x>2}.1312一、解下列一元二次不等式:1、 2、 3、0652>++x x 0652≤--x x 01272<++x x4、 5、 6、0672≥+-x x 0122<--x x 0122>-+x x 7、 8、 9、01282≥+-x x 01242<--x x 012532>-+x x 10、 11、 12、0121632>-+x x 0123732>+-x x 071522≤++x x 13、 14、 15、0121122≥++x x 10732>-x x 05622<-+-x x 16、 17、 18、02033102≤+-x x 0542<+-x x 0442>-+-x x 19、 20、 21、2230x x --+≥0262≤+--x x 0532>+-x x 22、 23、 24、02732<+-x x 0162≤-+x x 03442>-+x x 25、 26、 27、061122<++x x 041132>+--x x 042≤-x 28、 29、 30、031452≤-+x x 0127122>-+x x 0211122≥--x x 31、 32、 33、03282>--x x 031082≥-+x x 041542<--x x 34、 35、 36、02122>--x x 021842>-+x x 05842<--x x 1.(2012年高考上海卷)不等式>0的解集是________.2-xx +42.已知不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)的解集是R ,则( )A .a <0,Δ>0B .a <0,Δ<0C .a >0,Δ<0D .a >0,Δ>03.不等式<0的解集为( )x2x +1A .(-1,0)∪(0,+∞) B .(-∞,-1)∪(0,1)C .(-1,0)D .(-∞,-1)4.已知集合P ={0,m },Q ={x |2x 2-5x <0,x ∈Z },若P ∩Q ≠∅,则m 等于( )A .1B .2C .1或D .1或2X k b 1 . c o m255.如果A ={x |ax 2-ax +1<0}=∅,则实数a 的集合为( )A .{a |0<a <4}B .{a |0≤a <4}C .{a |0<a ≤4}D .{a |0≤a ≤4}6.不等式≥0的解集是( )x +1x -2A .{x |x ≤-1或x ≥2} B .{x |x ≤-1或x >2} C .{x |-1≤x ≤2} D .{x |-1≤x <2}二.填空题1、不等式的解集是 ;(1)(12)0x x -->2.不等式的解集为____________. 3、不等式的解集是 ;2654x x +<2310x x -++>4、不等式的解集是 ; 5、不等式的解集是 ;2210x x -+≤245x x -<9、已知集合,,则集合= ;2{|4}M x x =<2{|230}N x x x =--<M N 10、不等式的解集为,则实数的取值范围为 ;220mx mx +-<R m 11、不等式的解集为__________. 12、不等式0<x 2+x -2≤4的解集是9)12(2≤-x ___________ .13、若不等式对一切恒成立,则的取值范围是______________.2(2)2(2)40a x a x -+--<x R ∈a 三、典型例题:1、已知对于任意实数,恒为正数,求实数的取值范围.x 22kx x k -+k(1) (2)03222<--a ax x 0)1(2<--+a x a x。
高三数学 一元二次不等式及其解法(一)

其中解集为R的是( B )
(A)④ (C)② (B)③ (D)①
7.不等式2x2-3x-35>0的解集是( A ) 7 (A){x | x 或x 5} 2 7 (B){x | x 0或x 5} (C){x | 5 x 5或x 7} (D){x| x>5或x<-5}
14.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是 {x| -3<x<1},求a的值。
a=3
3.3一元二次不等式及其解法(一)
1.不等式x2>3x的解集是( B ) (A){x| x>3} (B){x| x<0或x>3}
(C){x| 0<x<3} (D)R
2.不等式2x+3-x2>0的解集是( A )
(A){x| -1<x<3}
(B){x| -3<x<1} (C){x| x<-1或x>3}
2
2
m 8.不等式 x mx 0 恒成立的条件是 2
2
( D ) (A)m>2 (B)m<2
(C)m<0或m>2 (D)0<m<2
9.方程x2+(m-3)x+m=0有两个实根,则 m的取值范围是 m≥9或m≤1 。
10.已知不等式x2+mx+n>0的解集是{x| x<
-1或x>2},则m= -1
; n= - 2 .
11.已知集合A={x∈R| x2-x-2≤0},
一元二次不等式练习题

一元二次不等式练习题解题前的准备工作:在进行一元二次不等式的解题过程之前,我们需要掌握求解一元二次方程和确定一元二次不等式的解集的基本方法。
一、求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有两种:因式分解法和配方法。
1. 因式分解法:对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程,如果存在两个数$m$ 和 $n$ ,使得 $ (x - m)(x - n) = 0 $ 成立,那么 $m$ 和 $n$ 就是方程的解。
2. 配方法:对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程,可以通过“配方法”将方程转化为一个完全平方的形式。
二、确定一元二次不等式的解集的方法确定一元二次不等式的解集的方法有两种:图像法和区间表达法。
1. 图像法:绘制一元二次不等式的图像,观察曲线与x轴的交点和曲线的凹凸性,从而确定不等式的解集。
2. 区间表达法:通过对一元二次不等式进行运算和化简,确定解在实数集中的范围,采用区间的方式表示解的范围。
综上所述,我们可以通过掌握以上求解一元二次方程和确定一元二次不等式解集的方法,来解决一元二次不等式练习题。
以下是一些一元二次不等式的练习题及其解题过程:练习题一:求解不等式 $2x^2 - 5x - 3 > 0$ 的解集。
解题过程:首先,我们可以通过因式分解或配方法求得该一元二次方程的解为$x_1 = -\frac{1}{2}$ 和 $x_2 = 3$ 。
接下来,我们可以绘制函数 $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ 的图像,观察曲线与x轴的交点和曲线的凹凸性。
通过观察图像,我们可以看到曲线 $f(x)$ 在 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ 和 $(3, +\infty)$ 区间上均大于0。
因此,不等式 $2x^2 -5x - 3 > 0$ 的解集为 $(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (3, +\infty)$ 。
高三数学一元二次不等式及其解法试题

高三数学一元二次不等式及其解法试题1.已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|< 3a2-7a+4.(1)当a=2时,解上述不等式;(2)如果关于x的不等式| x-3|+|x-4|< 23a2-7a+4的解集为空集,求实数a的取值范围.【答案】(1)。
(2)的取值范围是。
【解析】(1)原不等式,当时,原不等式化为,当时,原不等式化为;当时,原不等式化为综上,原不等式解集为 5分(2)∴当时,关于的不等式的解集是空集,即有的取值范围是 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法。
点评:中档题,解含绝对值不等式的基本方法,是“去绝对值符号”,思路一般有:平方法、分类讨论法或利用绝对值的几何意义。
(II)是一个不等式解集为空集问题,转化成求函数最值后,利用绝对值不等式的性质得解。
2.已知为常数,若不等式的解集为,则不等式的解集为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为不等式的解集为,所以的根为-1,,,1。
又因为方程和方程根分别互为倒数,所以方程的根为-1,-3,2,1,有穿根法知不等式的解集为。
【考点】分式不等式的解法;高次不等式的解法。
点评:解分式不等式的主要步骤是:移项---通分---分式化整式。
此题的关键是找出方程和方程根之间的关系。
3.选修4-5:不等式选讲:若关于的方程有实根(Ⅰ)求实数的取值集合(Ⅱ)若对于,不等式恒成立,求的取值范围【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)。
【解析】(I)方程转化为,然后求出的值域,则根据|a-3|是其值域内的值解不等式即可.(II)转化为一次函数在上恒成立问题解决即可.(Ⅰ)-------------------------------------5分(Ⅱ)---------------------------------------10分4.已知函数,则满足不等式的实数的范围是_____________;【答案】【解析】依题意分两种情况讨论:或,解得5.不等式的的解集是【答案】:【解析】:则或【考点】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法6.不等式x2-5x+6≤0的解集为______.【答案】【解析】由x2-5x+6≤0,得,从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.7.已知a+b=1,对任意的实数a,b∈(o,+∞),那么的最小值为________.【答案】9【解析】;当且仅当时,等号成立;所以S的最小值为9.8.不等式的解集为,则的值是 .【答案】【解析】略9.解关于X的不等式:,a∈R【答案】解:(x–a)(x–1)>0(1)当a>1时,解为x<1或x>a(2)当a=1时,解为x∈R且x≠1当a<1时,解为x<a或x>1【解析】略10.(本题满分12分)已知函数的零点为,(1)试求的值;(2)解不等式。
一元二次方程、不等式 高考数学小题训练好题

2
19.已知关于 x 的方程 ax + bx + c = 0 ( a 0 ) ,下列说法正确的是( )
A.若方程有两个互为相反数的实数根,则 b = 0
B.若方程 ax2 + bx + c = 0 没有实数根,则方程 ax2 + bx − c = 0 必有两个不相等的实数根
16.下列说法正确的是(
C. (−, 2]
D. [2, +)
)
A.已知 x R ,则“ x 0 ”是“ x − 1 1 ”的充分不必要条件
B.若不等式 ax2 + 2 x + c 0 的解集为 x −1 x 2 ,则
C.若 a b c ,则
1
1
b−c a−c
C.若已知二次函数 y = ax2 + bx + c ,则 y 经过点 (1, 0 ) 的充要条件是 a + b + c = 0 ;
2
D.“ ac 0 ”是“二次函数 y = ax + bx + c ( a, b, c R ) 有两个异号零点”的必要不充分条件.
18.下列说法正确的是(
)
3
为(
)
1
A. − ,1
3
(
)
1
C. −1,
3
1
B. −, − (1, + )
3
9.函数 y = x − x( x 0) 的最大值为(
1
D. ( −, −1) , +
高三数学一元二次不等式试题答案及解析

高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.如果命题“关于的不等式的解集是空集”是假命题,则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由已知,有解,所以,解得实数的取值范围是.【考点】命题,一元二次不等式的解法.2.已知函数则满足的实数的取值范围是 .【答案】【解析】或,∴或,∴.【考点】不等式的解法.3.不等式≤x-2的解集是()A.(-∞,0]∪(2,4]B.[0,2)∪[4,+∞)C.[2,4)D.(-∞,2]∪(4,+∞)【答案】B【解析】①当x-2>0,即x>2时,不等式可化为(x-2)2≥4,∴x≥4;②当x-2<0,即x<2时,不等式可化为(x-2)2≤4,∴0≤x<2.4.已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)【答案】C【解析】∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点.因此f(-2)f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0.∵-<a<-.又a∈Z,∴a=-1,不等式f(x)>1即为-x2-x>0,解得-1<x<0.故选C.5.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;(2)若a>0,且0<x<m<n<,比较f(x)与m的大小.【答案】(1)当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.(2)f(x)<m.【解析】解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,即a(x+1)(x-2)>0.当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.(2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),∵a>0,且0<x<m<n<,∴x-m<0,1-an+ax>0.∴f(x)-m<0,即f(x)<m.6.对于满足0≤a≤4的实数a,使x2+ax>4x+a-3恒成立的x取值范围是________.【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】原不等式等价于x2+ax-4x-a+3>0,∴a(x-1)+x2-4x+3>0,令f(a)=a(x-1)+x2-4x+3,则函数f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示直线,∴要使f(a)=a(x-1)+x2-4x+3>0,则有f(0)>0,f(4)>0,即x2-4x+3>0且x2-1>0,解得x>3或x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).7.(2013•重庆)设0≤α≤π,不等式8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为_________.【答案】[0,]∪[,π]【解析】由题意可得,△=64sin2α﹣32cos2α≤0,得2sin2α﹣(1﹣2sin2α)≤0∴sin2α≤,﹣≤sinα≤,∵0≤α≤π∴α∈[0,]∪[,π]8.若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx>2的解集相等,则实数a、b的值分别为()A.a=-8,b=-10B.a=-4,b=-9C.a=-1,b=9D.a=-1,b=2【答案】B【解析】根据题意可得|8x+9|<7⇒-2<x<,故由{x|-2<x<}是不等式ax2+bx>2的解集可知x1=-2,x2=是一元二次方程ax2+bx-2=0的两根,根据根与系数的关系可知x1x2==⇒a=-4,x1+x2==⇒b=-9,故选B.9.不等式3x2-x-4≤0的解集是__________.【答案】【解析】由3x2-x-4≤0,得(3x-4)(x+1)≤0,解得-1≤x≤.10.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是________.【答案】(-7,3)【解析】解f(x)=x2-4x<5(x≥0),得0≤x<5.由f(x)是定义域为R的偶函数得不等式f(x)<5的解集是(-5,5),所以不等式f(x+2)<5转化为-5<x+2<5,故所求的解集是(-7,3).11.不等式x2-5x+6≤0的解集为.【答案】{x|2≤x≤3}【解析】x2-5x+6≤0,即(x-2)(x-3)≤0,故2≤x≤3.12.设f(x)=x2-bx+c,不等式f(x)<0的解集是(-1,3),若f(7+|t|)>f(1+t2),求实数t的取值范围.【答案】-3<t<3【解析】∵x2-bx+c<0的解集是(-1,3),∴>0且-1,3是x2-bx+c=0的两根,∴得∵函数f(x)=x2-bx+c图象的对称轴方程为x==1,且f(x)在[1,+∞)上是增函数,又∵7+|t|≥7>1,1+t2≥1,则由f(7+|t|)>f(1+t2),得7+|t|>1+t2,即|t|2-|t|-6<0,亦即(|t|+2)(|t|-3)<0,∴|t|<3,即-3<t<3.13.不等式(x-1)·≥0的解集为________.【答案】{x|x≥2或x=-1}【解析】原不等式等价于(x-1)>0①或(x-1)·=0②,解①,由得x>2;解②,由x2-x-2=0或x-1=0且有意义,得x=-1或x=2.综上可知,原不等式的解集是{x|x≥2或x=-1}.14.已知x>0,y>0,若恒成立,则实数m的取值范围是()A.m≥4或m≤-2B.m≥2或m≤-4C.-2<m<4D.-4<m<2【答案】D【解析】因为,要使恒成立,则,解得-4<m<2,选D.【考点】基本不等式、一元二次不等式的解法.15.己知函数.(I)若关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围;(II)若关于的一元二次方程有实根,求实数的取值范围.【答案】(I);(II)【解析】(I)由题意知,只需,解出即可,根据绝对值不等式的性质知,故,解得或;(II)由题意方程有实根,则,即,化简得,提出得,,根据绝对值的几何意义知,此式表示的是到的距离与到的距离之和小于,从数轴上易知.试题解析:(I)由题意,,,解得或,所以的取值范围为.(II)由题意,,化简得,即,所以,故的取值范围为.【考点】1.绝对值不等式的解法;2.一元二次方程根的判断.16.已知不等式的解集为,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知得且2,4为一元二次方程两根,由韦达定理得①,②.①除以②,得由②得注意到不等式或.故选D.【考点】一元二次不等式的解法.17.设与是定义在同一区间上的两个函数,若对任意的,都有,则称和在上是“密切函数”,称为“密切区间”,设与在上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意由,得,解之得,故选D.【考点】1.含绝对值的一元二次不等式的解法;2.函数新定义题18.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】.【考点】1.指数不等式的解法;2.一元二次不等式的解法;3.集合的运算.19.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的的值之和是()A.13B.18C.21D.26【答案】C【解析】设,其图象是开口向上,对称轴是x=3的抛物线,如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数,则,即,解得,又则所有符合条件的的值之和是6+7+8=21.故选C.【考点】一元二次不等式解法,二次函数的图象和性质.20.已知不等式>0的解集为(-1,2),是和的等比中项,那么=A.3B.-3C.-1D.1【答案】D【解析】根据题意,由于不等式>0的解集为(-1,2),那么可知-1是因式ax+b=0的根,所以a=b,又因为是和的等比中项,则有,可知,故答案为1,选D.【考点】一元二次不等式的解集点评:解决的关键是对于等比中项以及二次不等式的解集的准确表示,属于基础题。
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一元二次不等式及其解法(含详解)题组一 一元二次不等式的解法1.不等式x +5(x -1)2≥2的解集是 ( ) A .[-3,12] B .[-12,3] C .[12,1)∪(1,3] D .[-12,1)∪(1,3] 解析:法一:首先x ≠1,在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x +5≥2(x-1)2,即2x 2-5x -3≤0,即(2x +1)(x -3)≤0,解得-12≤x ≤3,故原不等式的解集是[-12,1)∪(1,3]. 法二:特殊值检验法.首先x ≠1,排除B ,显然x =0,x =2是不等式的解,排除A 、C.答案:D2.解关于x 的不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R).解:由12x 2-ax -a 2>0⇔(4x +a )(3x -a )>0⇔(x +a 4)(x -a 3)>0, ①a >0时,-a 4<a 3, 解集为{x |x <-a 4或x >a 3}; ②a =0时,x 2>0,解集为{x |x ∈R 且x ≠0};③a <0时,-a 4>a 3, 解集为{x |x <a 3或x >-a 4}. 题组二 一元二次不等式的实际应用3.某产品的总成本+20x -0.1x 2(0<x <240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A .100台B .120台C .150台D .180台解析:依题意得25x ≥3 000+20x -0.1x 2,整理得x 2+50x -30 000≥0,解得x ≥150或x ≤-200,因为0<x <240,所以150≤x <240,即最低产量是150台.答案:C4.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应地提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应在什么范围内?解:(1)由题意得y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1000(1+0.6x )(0<x <1),整理得y =-60x 2+20x +200(0<x <1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y -(1.2-1)×1000>0,0<x <1, 即⎩⎪⎨⎪⎧-60x 2+20x >0,0<x <1. 解得0<x <13. ∴投入成本增加的比例应在(0,13)范围内.5.若不等式ax 2+4x +a >1-2x 2对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是( )A .a ≥2或a ≤-3B .a >2或a ≤-3C .a >2D .-2<a <2解析:原不等式可化为(a +2)x 2+4x +a -1>0,显然a =-2时不等式不恒成立,所以要使不等式对于任意的x 均成立,必须有a +2>0,且Δ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a +2>0,16-4(a +2)(a -1)<0, 解得a >2.答案:C6.(20XX·宁波模拟)设奇函数f (x )在[-1,1]上是单调函数,且f (-1)=-1,若函数f (x )≤t 2-2at +1对所有的x ∈[-1,1]都成立,当a ∈[-1,1]时,则t 的取值范围是________. 解析:∵f (x )为奇函数,f (-1)=-1,∴f (1)=-f (-1)=1.又∵f (x )在[-1,1]上是单调函数,∴-1≤f (x )≤1,∴当a ∈[-1,1]时,t 2-2at +1≥1恒成立,即t 2-2at ≥0恒成立,令g (a )=t 2-2at ,a ∈[-1,1],∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2t ≥0,t 2+2t ≥0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0,t ≤-2或t ≥0, ∴t ≥2或t =0或t ≤-2.答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)7.已知函数f (x )=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围.(2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围.解:(1)f (x )≥a 恒成立,即x 2+ax +3-a ≥0恒成立,必须且只需Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,∴-6≤a ≤2.(2)f (x )=x 2+ax +3=(x +a 2)2+3-a 24. ①当-a 2<-2,即a >4时,f (x )min =f (-2)=-2a +7, 由-2a +7≥a 得a ≤73,∴a ∈∅. ②当-2≤-a 2≤2,即-4≤a ≤4时,f (x )min =3-a 24, 由3-a 24≥a ,得-6≤a ≤2.∴-4≤a ≤2. ③当-a 2>2,即a <-4时,f (x )min =f (2)=2a +7, 由2a +7≥a ,得a ≥-7,∴-7≤a <-4.综上得a ∈[-7,2].8.不等式x 2-|x |- ( )A .{x |-2<x <2}B .{x |x <-2或x >2}C .{x |-1<x <1}D .{x |x <-1或x >1}解析:原不等式⇔|x |2-|x |-2<0⇔(|x |-2)(|x |+1)<0⇔|x |-2<0⇔-2<x <2. 答案:A9.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0的解集是不等式2x 2-9x +a <0的解集的子集,则实数a 的取值范围是________.解析:因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0的解集是{x |2<x <3},设f (x )=2x 2-9x +a ,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0,f (3)≤0,解得a ≤9. 答案:a ≤910.已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },(1)求a ,b ;(2)解不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0.解:(1)因为不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两个实数根,且b >1.由根与系数的关系,得 ⎩⎨⎧ 1+b =3a ,1×b =2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2. (2)所以不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0,即x 2-(2+c )x +2c <0,即(x -2)(x -c )<0.①当c >2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |2<x <c };②当c <2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |c <x <2};③当c =2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为∅.综上所述:当c >2时,不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0的解集为{x |2<x <c }; 当c <2时,不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0的解集为{x |c <x <2};当c =2时,不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0的解集为∅.。
高三数学一元二次不等式试题答案及解析
高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数m的值为A.25B.-25C.50D.-50【答案】C【解析】由函数的值域为知,=,所以=,不等式,即,即的解集为,设方程=0的两根为,,则,=,所以10=|n+10-n|=|-|===,所以=50,故选C.【考点】二次函数性质,二次函数与不等式的关系,根与系数关系2.已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)【答案】C【解析】∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点.因此f(-2)f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0.∵-<a<-.又a∈Z,∴a=-1,不等式f(x)>1即为-x2-x>0,解得-1<x<0.故选C.(ax2-x+a),3.设a≠0,对于函数f(x)=log3(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.【答案】(1)a>.(2)0<a≤【解析】解:(1)f(x)的定义域为R等价于ax2-x+a>0对一切实数x都成立,即,解得a>.(2)f(x)的值域为R等价于ax2-x+a能取遍大于0的所有实数值,即,解得0<a≤.4.已知同时满足下列条件:①;②.则实数的取值范围 .【答案】【解析】①说明给定一个的值,中至少一个的值小于0.对,当时;当时.所以当时必有,从而.由得.由得.当时,的解为或,此时应有.当时,的解为或,此时应有,所以.时,此时,不满足②.当时,都满足②.故实数的取值范围是.【考点】函数与不等式.5.(5分)(2011•广东)不等式2x2﹣x﹣1>0的解集是()A.B.(1,+∞)C.(﹣∞,1)∪(2,+∞)D.∪(1,+∞)【答案】D【解析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根;利用二次方程解集的形式写出解集.解:原不等式同解于(2x+1)(x﹣1)>0∴x>1或x<故选:D点评:本题考查二次不等式的解法:判断相应的方程是否有根;若有根求出两个根;据二次不等式解集的形式写出解集.6.不等式的解集为 .【答案】.【解析】由题意可知不等式的解集为.【考点】一元二次不等式的解法7.已知不等式x2-2x+k2-3>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是________.【答案】k>2或k<-2【解析】由Δ=4-4(k2-3)<0,知k>2或k<-2.8.已知不等式(2+x)(3-x)≥0的解集为A,函数f(x)=(k<0)的定义域为B.(1)求集合A;(2)若集合B中仅有一个元素,试求实数k的值;(3)若B A,试求实数k的取值范围.【答案】(1)A=[-2,3](2)k=-4(3)-4≤k≤-【解析】(1)由(2+x)(3-x)≥0,得(2+x)(x-3)≤0,解得-2≤x≤3,故A=[-2,3].(2)记g(x)=kx2+4x+k+3,则g(x)≥0在R上有且仅有一解,而k<0,所以Δ=0.由k<0与16-4k(k+3)=0,解得k=-4.(3)记g(x)=kx2+4x+k+3,首先g(x)≥0在R上有解,而k<0,所以Δ=16-4k(k+3)≥0,解之得-4≤k<0.①设g(x)=0的两个根为x1,x2(x1<x2),则B=[x1,x2].由BA,得即②由①与②,解得-4≤k≤-.9.不等式2x2-x-1>0的解集是()A.(-,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(1,+∞)【答案】D【解析】由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,∴2x2-x-1>0的解集为(-∞,- )∪(1,+∞).故选D.10.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(-∞,-6]C.[-6,2]D.(-∞,-6]∪[2,+∞)【答案】D【解析】由已知得方程x2-ax-a+3=0有实数根,即Δ=a2+4(a-3)≥0,故a≥2或a≤-6.11.不等式(x-1)·≥0的解集为________.【答案】{x|x≥2或x=-1}【解析】原不等式等价于(x-1)>0①或(x-1)·=0②,解①,由得x>2;解②,由x2-x-2=0或x-1=0且有意义,得x=-1或x=2.综上可知,原不等式的解集是{x|x≥2或x=-1}.12.已知不等式的解集为,则,且的值为 .【答案】4【解析】设,最小值为1,因此(如果,则的解集由两个区间构成),于是有,而由得,或,而函数的对称轴为,故只能有,变样,得(另一解舍去),所以.【考点】二次函数与一元二次不等式.13.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是().A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)【答案】A【解析】由题意知f(1)=3,故原不等式可化为或所以原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞).14.已知一元二次不等式的解集为,则的解集为()A.B.C.}D.【答案】D【解析】由题意一元二次不等式所对应的二次函数开口向下,则会有,解得,故选D.【考点】1.一元二次不等式与二次函数的关系;2.不等式的求解.15.若不等式组的解集中所含整数解只有-2,求的取值范围 .【答案】【解析】由不等式,解得或,由不等式,解得或,则不等式组的解为或或,因为解集中所含整数解只有,则原不等式的解集应为,所以,解之得,故所求的取值范围为.【考点】二次不等式组16.已知集合,则( )A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得,而,所以.【考点】1.一元二次不等式;2.集合的交集.17.设函数,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】B.【解析】当时,,解得或;当时,,解得.综上所述,不等式的解集是,故选B.【考点】简单不等式的解法.18.不等式的解集为___________.【答案】【解析】不等式的解集为.【考点】二次不等式的解法19.若集合,则实数a的取值范围是A.B.1<a<4C.0<a<3D.0<a<4【答案】C【解析】根据题意,由于集合,因此可知B中的两个元素都在集合A中,即可知得到-1<a<3,-1<a-1<3,那么得到a的范围是0<a<3,故选C.【考点】一元二次不等式的解法点评:主要是考查了二次不等式的求解,以及方程解的问题的运用,属于中档题。
高三数学每日一题试题及答案86. 一元二次不等式及其解法
努力的你,未来可期! 公众号:小升初数学压轴题天天练 解关于x的不等式:2230()xaaxaaR.
1.已知集合2{|20}Axxx,则
A
Rð
A.{|12}xx B.{|12}xx C.{|1}{|2}xxxxU D.{|1}{|2}xxxxU 2.记函数2()6fxxx的定义域为D.在区间[4,5]上随机取一个数x,则xD的概率是
_______________. 努力的你,未来可期!
公众号:小升初数学压轴题天天练 【参考答案】见试题解析.
【解题必备】1.解答本题时,首先,不等式对应的一元二次方程可以因式分解,由此得出一元二次方程的根后分类讨论根的大小;其次,与不等式对应的方程的根的大小不确定时,必须讨论根的大小.学科&网 2.求解一元二次不等式的步骤: (1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,且二次项系数为正; (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根; (4)根据一元二次方程根的情况,画出对应的二次函数的大致图象; (5)根据图象写出不等式的解集. 3.解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)若二次项含有参数,应先讨论参数是等于0、小于0,还是大于0,然后整理不等式; (2)当二次项系数不为0时,讨论判别式与0的关系,判断方程的根的个数; (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.
1.【答案】B 【名师点睛】本题考查了一元二次不等式的解法及集合的补集运算,在解题的过程中需要明确一元二次不等式的解集的形式及补集中元素的特征. 2.【答案】59 努力的你,未来可期! 公众号:小升初数学压轴题天天练 【解析】由260xx,即260xx,得23x,根据几何概型的概率计算公式得xD的概率是3(2)55(4)9.
高三数学一元二次不等式试题答案及解析
高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.不等式≤x-2的解集是()A.(-∞,0]∪(2,4]B.[0,2)∪[4,+∞)C.[2,4)D.(-∞,2]∪(4,+∞)【答案】B【解析】①当x-2>0,即x>2时,不等式可化为(x-2)2≥4,∴x≥4;②当x-2<0,即x<2时,不等式可化为(x-2)2≤4,∴0≤x<2.2.已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为()A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)【答案】C【解析】把原不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,易知只需f(-1)=x2-5x+6>0①,且f(1)=x2-3x+2>0②即可,联立①②解得x<1或x>3.故选C.3.若不等式ax2+bx+2>0的解集为-<x<,则不等式2x2+bx+a<0的解集是________.【答案】(-2,3)【解析】由题意,知-和是一元二次方程ax2+bx+2=0的两根且a<0,所以,解得.则不等式2x2+bx+a<0即2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2<x<3}.4. [2014·皖南八校联考]不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【答案】A【解析】x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4,故选A.5.已知f(x)=,则不等式x+xf(x)≤2的解集是________.【答案】(-∞,1]【解析】(1)当x≥0时,原不等式可化为x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,即0≤x≤1;(2)当x<0时,原不等式可化为x2-x+2≥0,得≥0恒成立,即x<0.综合(1)(2)知x≤1,所以解集为(-∞,1].6.若关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】由题设得,且,所以不等式可变为,解这得.【考点】一元二次不等式的解法.7.若不等式对满足的所有都成立,则x的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】不等式化为:,令,则时,恒成立所以只需即,所以x的范围是,选D.8.不等式3x2-x-4≤0的解集是__________.【答案】【解析】由3x2-x-4≤0,得(3x-4)(x+1)≤0,解得-1≤x≤.9.关于x的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是________.【解析】方程x2-ax-20a2=0的两根是x1=-4a,x2=5a,则由关于x的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,得|x1-x2|=|9a|≤9,即-1≤a≤1,且a≠0,故填0.10.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意知x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-8a2,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又x2-x1=15,可得36a2=152,又a>0,则a=.故选A.11.不等式2x2-x-1>0的解集是()A.(-,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(1,+∞)【答案】D【解析】由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,∴2x2-x-1>0的解集为(-∞,- )∪(1,+∞).故选D.12.关于的不等式的解集为.【答案】;【解析】由得(x-6)(x+1),解得.【考点】一元二次不等式的解法.13.若命题“”是真命题,则实数的取值范围是。
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试卷第1页,总6页 高三数学专项训练:一元二次不等式的解法小题练习 1.若不等式220axbx的解集为1{2xx或1}3x,则aba的值为( ) A.61 B.61 C.65 D.65 2.不等式(1)(2)0xx+-A.|12xx B.|12xxx或 C.|12xx D.|21xx 3.若集合A=01/2axaxx,则实 数a的取值集合为 ( ) A.40/aa B.40/aa C.40/aa D. 40/aa 4.若集合BBAaxaxxBxxxA且}0)1)((|{},3)2(|{,则实数a的取值范围是 A.31a B. 1
5.若不等式022aaxx,对Rx恒成立,则关于t的不等式132122tttaa 的解集为( ) A.}21{tt B.}12{tt C.}22{tt D.}23{tt
6.若关于x的不等式4104822xaxx在内有解,则实数a的取值范围是( ) A.12a B.4a C.12a D.4a
7.不等式(1)(3)0xx的解( )
A.(1,3) B.[1,3] C.(,1)(3,) D.{|13}xxx且 8.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是-12,-13,则不等式x2-bx-a<0的解集是( ). A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)
C.13,12 D.-∞,13∪12,+∞ 9.不等式214xx-->0的解集是 A.(2,+∞) B.(-2,1)∪(2,+∞) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
10.已知不等式baxx2>0的解集为(-1,2),m是a和b的等比中项,那么33223baam= 试卷第2页,总6页
A.3 B.-3 C.-1 D.1 11.不等式2320xx的解集为( ) A,21, B.2,1 C.,12, D.1,2 12.当m>1时,关于x的不等式x2+(m-1)x-m≥0的解集是 (A) {x|x≤1,或x≥-m} (B) {x|1≤x≤-m } (C) {x|x≤-m,或x≥1} (D) {x|-m≤x≤1 }
13.若不等式022aaxx,对Rx恒成立,则关于t的不等式132122tttaa 的解集为 ( ) A.}21{tt B.}12{tt
C.}22{tt D.}23{tt 14.若关于x的不等式220xax在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为( ) A.),523( B.]1,523[ C.(1,+∞) D.)523,(
15.不等式022xx的解集为( ) A. }12|{xxx或 B. }21|{xx C. }12|{xx D. }21|{xxx或 16.若不等式2(2)2(2)40axax对一切xR恒成立,则实数a取值的集合( ) A.{|2}aa B.{|22}aa C.{|22}aa D.{|2}aa
17.不等式0322xx的解集是( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|x>3或x<-1} C.{x|-3<x<1} D.{x|x>1或x<-3}
18.对任意的实数x,不等式210mxmx恒成立,则实数m的取值范围是
A.(4,0] B.(4,0) C.[4,0] D.[4,0) 19.不等式- x2-3 x -4>0的解集为 ( ) A.{|14}xx B.{|41}xxx或 C.|14xxx或 D.{|41}xx 试卷第3页,总6页
20.不等式20(0)axbxca的解集为R,那么( ) A. 0,0a B. 0,0a C. 0,0a D. 0,0a 21.不等式0)86)(1(22xxx的解集是 A.}4{}1{xxxx B.}4{}21{xxxx C.}21{}1{xxxx D.1{xx或21x或}4x 22.不等式0)2x)(3x(的解集为( ) A. 2xx B. 23xx C. 23xxx或 D. 3xx 23.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集为R,则实数m的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2)
24.若不等式220axbx的解集是1123xx,则ab的值为( ) A.-10 B. -14 C. 10 D. 14 25.若0<a<1,则不等式 )(ax)1(ax>0的解集是
A.(a,1a) B.(1a,a) C.(-∞,a)∪(1a,+∞) D.(-∞,1a)∪(a,+ ∞) 26.下列不等式的解集是R的为 A.0122xx B.02x
C.01)21(x D.xx131 27.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是( ) A、{x | x≤-1或x≥29} B、{x |-1≤x≤29}
C、{x | x≤-29或x≥1} D、{x |-29≤x≤1} 28.已知集合220Axx,2430Bxxx则AB=( ) A. R B.21xxx或 C.12xxx或} D.23xxx或 29.“2540xx”是“21x”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 试卷第4页,总6页
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 30.不等式220xx的解集是 A.,12,U B.1,2 C.,12,U D.1,2
31.不等式03121xx的解集是
A. 21,31 B. ,2131, C. 31,21 D. ,3121, 32.不等式2210xx的解集是( ) A.1(,1)2 B.(1,) C.(,1)(2,) D.1(,)(1,)2 33.不等式x2+x-12≥0的解集是( ) A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4
34. 设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是( )
A.),3()1,3( B.),2()1,3( C.),3()1,1( D.)3,1()3,( 35.不等式052xx的解集是( ) A. B.}50/{xxx或 C.}0/{xx D }50/{xx 36.已知全集U=R,集合2{|20},{|lg(1)},AxxxBxyx则()UCAB( ) A.{|20}xxx或 B.{|12}xx
C.{|12}xx D.{|12}xx 37.不等式13()()022xx的解集是( ) A. 13{|}22xxx或 B. 13{|}22xxx或 C. 13{|}22xx D. 13{|}22xx 试卷第5页,总6页
38.设偶函数()fx满足()24xfx(x0),则20xfx= ( ) A.24xxx或 B.04 或xxx C.06 或xxx D.22 或xxx 39.二次不等式02cbxax的解集是实数集R的条件是( ) A.00a B.00a C.00a D.00a
40.设全集是实数集R,0,037222axxBxxxA,若BBACR)(,则实数a的取值范围是
A.,41- B.41-, C.,41- D.41-, 41.已知集合2|213,|60MxxNxxx,则MN等于( ) A.(3,2][1,2] B.(3,2)(1,) C.[3,2)(1,2] D.(,3)(1,2] 42.若二次不等式 062bxxa 的解集是 baxx则,}32|{( ) A. -1 B.1 C.6 D.-6 43.不等式2620xx的解集是( )
A.1{|}2xx B.23xx C.2132xx D.2132xxx或
44. 在R上定义运算☆:baabba2☆,则满足0)2(xx☆的实数x的取值范围为( ) A.)2,0( B.)1,2( C.),1()2,( D. )2,1(
45.不等式2252xxx的解集是( ) A、51xxx或B、51xxx或 C、15xxD、15xx
46.已知不等式)0(02acbxax的解集是,则 A、0,0a B、0,0a C、0,0a D、0,0a