2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-5 第三节 柯西不等式与排序不等式 Word版含解析
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第三章第三节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
又函数 f(x)在 x＝1 处有极值 12，
f′ 1 ＝0，
所以
1
f 1 ＝2
2a＋b＝0， .即 1
a＝ 2.
解得 a＝12， b＝－ 1.
(2)，其定义域是 (0，＋ ∞ )，
且
1 f′ (x)＝x－x＝
x＋ 1 x－1 x
.
当 x 变化时， f′ (x)， f (x)的变化情况如下表：
答案： m<－12
4π 5π 8．已知函数 f(x)＝xsin x，x∈R，则 f(－ 4)，f( 3 )，f(－ 4 )的大小关系为 ________(用
“ <连”结 )．
解析： f′(x)＝ sin x＋xcos x，当
x∈
[
54π，
4π 3 ]时，
sin
x<0，cos
x<0，∴
f′(
x)
＝sin
1
令 3x2＋6ax＋3(a＋2)＝ 0，即 x2＋ 2ax＋ a＋ 2＝ 0.
∵函数 f(x)有极大值和极小值， ∴方程 x2＋2ax ＋ a＋ 2＝ 0 有两个不相等的实根． 即 Δ＝4a2－4a－ 8>0，∴ a>2 或 a<－1.
答案： a>2 或 a<－1
5．已知函数 f(x)＝ 12x4－2x3＋3m，x∈R，若 f(x)＋9≥0 恒成立，则实数 m 的取
一、填空题 1．函数 y＝1＋3x－ x3 的极大值，极小值分别为 ________． 解析： 由 y＝ 1＋ 3x－x3， 得 y′＝－ 3x2＋3， 令 y′＝0，即－ 3x2＋ 3＝ 0. 得 x＝±1. ∵当 x<－1 时， y′ <0； 当－ 1<x<1 时， y′>0； 当 x>1 时， y′ <0. ∴当 x＝1 时，有 y 极大值 ＝ 1＋ 3－ 1＝3； 当 x＝－ 1 时，有 y 极小值 ＝ 1－ 3＋ 1＝－ 1. 答案： 3，－ 1 2．函数 y＝x3－3x2＋1 的单调递减区间为 ________． 解析： f′(x)＝ (x3－3x2＋1)′＝3x2－6x， ∵当 f′(x)<0 时， f( x)单调递减， ∴ 3x2－ 6x<0，即 0<x<2. 故单调递减区间为 (0,2)． 答案： (0,2) 3．已知 t 为常数，函数 f(x)＝|x3－3x－t＋1|在区间 [－ 2,1]上的最大值为 2，则实 数 t＝ ________. 解析： 由题意知－ 2≤ x3－3x－ t＋1≤2 在 x∈[ －2,1]上恒成立，不等式左右两边 分别分离变量，可得 x3－3x－ 1≤ t≤x3－ 3x＋3 在 x∈[ －2,1]上恒成立，得 1≤ t≤1， 所以 t＝1.本题还可以通过数形结合的方法讨论解决． 答案： 1 4．函数 f(x)＝x3＋ 3ax2＋3[( a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则 a 的取值范围 是 ________． 解析： ∵ f(x)＝ x3＋3ax2＋ 3[( a＋2)x＋1] ， ∴ f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式章末归纳提升
3 .
思想方法
新课标 ·数学 选修4-5
解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问 题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰 当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．
本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等转化手段， 转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．
已知a>b>c，求证：a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
新课标 ·数学 选修4-5
利用柯西不等式、排序不等式求最值 有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限 制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供 了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．
设a、b、c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
]【解】 由于a、b、c为正实数，根据柯西不等式，知 (a＋2b＋3c)(3＋1＋13) ＝[( a)2＋( 2b)2＋( 3c)2][( 3)2＋12＋( 13)2]
【证明】 因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝ ( 13a＋1， 13b＋1， 13c＋1)，
n＝(1,1,1)．
新课标 ·数学 选修4-5
则|m·n|2＝( 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2， |m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)] ＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48. ∵|m·n|2≤|m|2·|n|2， ∴( 13a＋1)＋ 13b＋1＋ 13c＋1)2≤48. ∴ 13a＋1＋ 13b＋1＋ 13c＋1≤4 3.
又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，
所以a＋a2 x＋b＋b2 y≥a＋2 b.
新课标 ·数学 选修4-5
排序原理在不等式证明中的应用
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习选修4-5 第一节 绝对值不等式 Word版含解析
．求不等式－＋＋<的解集．解析：由题意＝时，－＝，＝－时，＋＝(以下分类讨论)．所以①当<－时，原不等式等价于(\\(<－()，,－＋－－<.))得－<<－.②当－≤≤时，原不等式等价于(\\(－()≤≤，,－＋＋＋<.))得－≤<.③当>时，原不等式等价于(\\(>，－＋＋<.))得无解．由①②③得原不等式的解集为{－<<}．．设函数()＝＋－－.()解不等式()>；()求函数＝()的最小值．解析：()令＝＋－－，则＝(\\(－－，≤－()，－，－()<<，＋，≥.))作出函数＝＋－－的图象，它与直线＝的交点为(－)和(，)．所以＋－－>的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)．()由函数＝＋－－的图象可知，当＝－时，＝＋－－取得最小值－.．已知一次函数()＝－.()当＝时，解不等式()<；()解关于的不等式()<；()若不等式()≤对任意∈[]恒成立，求实数的取值范围．解析：()当＝时，则()＝－，∴()<⇔－<⇔－<－<⇔－<<⇔－<<.∴不等式的解集为{－<<}．()()<⇔－<⇔－<－<⇔－<<.当>时，不等式的解集为{－<<}；当<时，不等式的解集为{<<－}．()()≤⇔－≤⇔－≤－≤⇔－≤≤⇔(\\(≤，≥－.))又∈[]，∴－≤≤，且≠.．已知关于的不等式－＋－<.()当＝时，解上述不等式；()如果关于的不等式－＋－<的解集为空集，求实数的取值范围．解析：()∵＝，∴－＋－<，当<时，原不等式化为－<，解得>，∴<<；当≤≤时，原不等式化为<，∴≤≤；当>时，原不等式化为－<，解得<，∴<<.综上可知，原不等式的解集为{<<}．()作出＝－＋－与＝的图象，若使不等式－＋－<的解集为空集，则必有＝－＋－的图象在＝的图象的上方，或＝与＝重合，∴≤.∴的取值范围为(－∞，]．。
高二数学选修4-5 几个著名的不等式之一：柯西不等式
高二数学选修4-5 几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，ii b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i ni ib x b a x ax f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i n i i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni i n i i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
柯西不等式与排序不等式章末总结课件
利用排序不等式证明不等式 排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排序与其大小顺 序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利 用排序不等式解决往往很简捷．
已知 a，b，c∈R＋，求证a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≥a＋b ＋c. 【证明】 设 a≥b≥c＞0.于是 a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a. 由排序不等式得：
【解】 (1)因为(x＋2y＋· 3)2 ≤[x2＋( 2y)2＋( 3z)2]·[12＋( 2)2＋( 3)2]
＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18.
当且仅当x1＝
2y＝ 2
3z， 3
即 x＝y＝z 时，等号成立．
所以－3 2≤x＋2y＋3z≤3 2，
根据排序不等式，得 F＝xx221＋xx223＋…＋xx2n－n 1＋xx2n1 ≥x21·x11＋x22·x12＋…＋x2n·x1n＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)．当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝Pn时取等号． 即 F＝xx221＋xx223＋…＋xx2n－n 1＋xx2n1的最小值为 P.
a2·1a＋b2·1b＋c2·1c ≤a2·1b＋b2·1c＋c2·1a，① a2·1a＋b2·1b＋c2·1c ≤a2·1c＋b2·1a＋c2·1b.②
①＋②得 2a2·1a＋b2·1b＋c2·1c ≤a2·1b＋b2·1c＋c2·1a＋a2·1c＋b2·1a＋c2·1b， 即 2(a＋b＋c)≤a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2， 所以a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≥a＋b＋c 成立．
1111 等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad
bcda ⇔a＝b＝c＝d. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．
2019版高考新创新一轮复习理数江苏专版课时达标检测六
课时达标检测(六十二） 选修4-5《不等式选讲》1．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3. 解：(1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c＋(a ＋b ＋c ) ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎫ b 2a ·a ＋ c 2b ·b ＋ a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )． (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号)所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.2．(2018·南通模拟)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋xz . 证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以x 3＋y 3＋z 3≥3xyz ，x 3＋y 3＋1≥3xy ，y 3＋z 3＋1≥3yz ，x 3＋z 3＋1≥3xz .将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz ＋3xy ＋3yz ＋3xz ，又因为xyz ＝1，从而x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋xz .3．(2018·常州期初)设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12， 则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0. 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.4. (2018·苏南四市模拟)已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立，等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ，因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)·(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故常数a 的取值范围是(－∞，8)．5．(2018·盐城模拟)已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值． 解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z )＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y 3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，所以1x ＋2y ＋3z 的最小值为36. 6. (2018·宿迁模拟)已知a ，b ∈R ，a ＞b ＞e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a ＞a b .证明：因为b a ＞0，a b ＞0，a ＞b ＞e ，所以要证b a ＞a b ，只要证a ln b ＞b ln a ，只要证ln b b＞ln a a .取函数f (x )＝ln x x ，因为f ′(x )＝1－ln x x 2， 所以当x ＞e 时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以，当a ＞b ＞e 时，有f (b )＞f (a )，即ln b b ＞ln a a ，所以b a ＞a b .7．(2018·无锡期末)已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1.求证：1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d ≤2 6.证明：因()1＋2a＋1＋2b＋1＋2c＋1＋2d2≤(1＋1＋1＋1)×(1＋2a＋1＋2b＋1＋2c＋1＋2d)＝4×[4＋2×(a＋b＋c＋d)]，又a＋b＋c＋d＝1，所以(1＋2a＋1＋2b＋1＋2c＋1＋2d)2≤24，即1＋2a＋1＋2b＋1＋2c＋1＋2d≤2 6.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第三章 第三节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化
一、填空题1．函数y＝1＋3x－x3的极大值，极小值分别为________．解析：由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3，令y′＝0，即－3x2＋3＝0.得x＝±1.∵当x<－1时，y′<0；当－1<x<1时，y′>0；当x>1时，y′<0.∴当x＝1时，有y极大值＝1＋3－1＝3；当x＝－1时，有y极小值＝1－3＋1＝－1.答案：3，－12．函数y＝x3－3x2＋1的单调递减区间为________．解析：f′(x)＝(x3－3x2＋1)′＝3x2－6x，∵当f′(x)<0时，f(x)单调递减，∴3x2－6x<0，即0<x<2.故单调递减区间为(0,2)．答案：(0,2)3．已知t为常数，函数f(x)＝|x3－3x－t＋1|在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t＝________.解析：由题意知－2≤x3－3x－t＋1≤2在x∈[－2,1]上恒成立，不等式左右两边分别分离变量，可得x3－3x－1≤t≤x3－3x＋3在x∈[－2,1]上恒成立，得1≤t≤1，所以t＝1.本题还可以通过数形结合的方法讨论解决．答案：14．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]，∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1.答案：a >2或a <－15．已知函数f (x )＝x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取12值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 4－2x 3＋3m ，12所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －，272不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －≥－9，解得m ≥.27232答案：m ≥326．函数y ＝x ＋2cos x 在[0，]上取得最大值时x 的值为________．π2解析：y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，且x ∈[0，]时，x ＝.π2π6当x ∈[0，]时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数，π6当x ∈[，]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．π6π2∴f (x )max ＝f ()．π6答案：π67．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－.12答案：m <－128．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f (－4)，f ()，f (－)的大小关系为4π35π4________(用“<”连结)．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[，]时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )5π44π3＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[，]上为减函数，∴f ()<f (4)<f ()，5π44π34π35π4又函数f (x )为偶函数，∴f ()<f (－4)<f (－)．4π35π4答案：f ()<f (－4)<f (－)4π35π49．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <或x >2，f ′(x )<0⇒<x <2，2323故函数在(－∞，)及(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，∴x ＝2是极2323小值点．故c ＝2不合题意，c ＝6.答案：6二、解答题10．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值.12(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．解析：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋.bx 又函数f (x )在x ＝1处有极值，12所以Error!.即Error!解得Error!(2)由(1)可知f (x )＝x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，12且f ′(x )＝x －＝.1x (x ＋1)(x －1)x当x 变化时，f ′(x )， f (x )的变化情况如下表：x (0,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋f (x )极小值所以函数y ＝f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．11．已知函数f (x )＝(x >0，x ≠1)．xln x (1)求函数f (x )的极值；(2)若不等式>x 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)函数f (x )＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，xln x f ′(x )＝.ln x －1ln2x 令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1)(1，e)e (e ，＋∞)f ′(x )－－0＋f (x )极小值f (e)由表得函数f (x )的单调减区间为(0,1)和(1，e)，单调增区间为(e ，＋∞)．所以存在极小值为f (e)＝e ，无极大值．(2)当x ≤0时，对任意a ≠0，不等式恒成立．当x >0时，在不等式>x 两边同时取自然对数，得>ln x ．(*)xa ①当0<x ≤1时，ln x ≤0，当a >0，不等式恒成立；如果a <0，ln x <0，a ln x >0，不等式(*)等价于a <，xln x 由(1)得，此时∈(－∞，0)，xln x 不等于(*)不恒成立．②当x >1时，ln x >0，则a >0，不等式(*)等价于a <，由(1)得，此时的最xln x xln x 小值为e ，得0<a <e.综上所述，a 的取值范围是(0，e)．12．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解析：(1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)．12∴f (x )在[0，＋∞)上单调增加．而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >时，12f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调减少．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值范围为(－∞，]．12。
2019苏教版高考一轮优化探究理数练习：选修4-5 第一节 绝对值不等式 Word版含解析
单像空间后方交会姓名：学号：时间：Echo did this for you .2013/4/25目录一、作业任务 .............................................................................................................. - 4 -二、计算原理 .............................................................................................................. - 4 -三、算法流程 .............................................................................................................. - 8 -四、源程序 .................................................................................................................. - 9 -五、计算结果 .............................................................................................................. - 9 -六、结果分析 .............................................................................................................. - 9 -七、心得与体会 .......................................................................................................... - 9 -八、附页 ...................................................................................................................... - 9 -1.c++程序........................................................................................................... - 9 -2.C++程序截图..................................................................................................- 16 -3.matlb程序.....................................................................................................- 17 -一、 作业任务 已知条件：摄影机主距f=153.24mm ，x0=0，y0=0, 像片比例尺为1:40000，有四对点的像点坐标与相应的地面坐标如下表。
柯西不等式与排序不等式章末总结课件
【例 1】 设 x＋y＋z＝1，求 w＝2x2＋3y2＋z2 的最小值． 【 分 析 】 将 已 知 条 件 变 形 为 ： 12 ＝ (x ＋ y ＋ z)2 ＝
1 2·
2x＋
1 3·
3y＋1·z2
就可以应用柯西不等式．
【解】 ∵x＋y＋z＝1，
∴1＝(x＋y＋z)2
三 用柯西不等式解决实际应用问题 解决实际应用问题，主要在于数学模型的建立和目标函数的求 解，只要找好这两点问题便迎刃而解．
【例 5】 在半径为 R 的圆中，求周长最大的内接长方形． 【分析】 首先表示出内接长方形的周长，得出目标函数，再 利用柯西不等式求解．
【解】 如图，设内接长方形 ABCD 的长为 x，则宽为 4R2－x2.
a＋b＋c
求证：>0， 则 lga≥lgb≥lgc， 由排序不等式，得 alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc， alga＋blgb＋clgc≥algb＋blgc＋clga. alga＋blgb＋clgc≥algc＋blga＋clgb.
于是长方形 ABCD 的周长为 L＝2x＋ 4R2－x2 ＝21×x＋1× 4R2－x2 ≤2x2＋ 4R2－x2212·(12＋12)12 ＝2 2·2R＝4 2R. 当且仅当1x＝ 4R12－x2，即 x＝ 2R 时，取等号，此时宽为 2R. 所以，周长最大的内接长方形为正方形，其周长为 4 2R.
47<n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<
2 2.
由柯西不等式，有 n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21nn＋1＋n＋2＋…＋2n>n2， 于是n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
n2 >n＋1＋n＋2＋…＋2n ＝3n2＋n 1＝3＋2 1n≥3＋2 12＝47.
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式Wo
解：∵ (4 x2＋ 9y2)(2 2＋ 22) ≥ (4 x＋ 6y) 2＝ 4，∴ 4x2＋ 9y2≥1. 2
当且仅当 2×２x＝3y×2，即 2x＝ 3y 时，等号成立．
1
1
又 2x＋ 3y＝ 1，得 x＝ 4， y＝ 6，
故当
x＝
1 4，
1 y＝6时，
4x2＋
9y
2
的最小值为
1 2.
6．求函数 f ( x) ＝ x－ 6＋ 12－ x的最大值及此时 x 的值．
等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技 巧之一．
4．已知 2x2＋ y2＝ 1，求 2x＋ y 的最大值．
解： 2x＋ y＝ 2× 2x＋1× y≤
2 ＋ 12×
2 ＋ y2＝ 3× 2x2＋ y2＝ 3.
3 当且仅当 x＝ y＝ 3 时，等号成立．∴ 2x＋ y 的最大值为 3. 5．已知 2x＋ 3y＝1，求 4x2＋ 9y2 的最小值．
－
＋－
＋－
.
事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3 的坐标分别为 ( x1，y1) ，( x2，y2) ，( x3，y3) ，根据△ P1P2P3
的边长关系有 | P1P3| ＋ | P2P3| ≥ | P1P2| ，当且仅当三点 P1，P2， P3 共线，并且点 P1， P2 在 P3 点的异侧时，等号
a2＋ b2· c2＋ d2≥ | ac＋ bd|( a， b，c， d∈ R)；
a2＋ b2· c2＋ d2≥ | ac| ＋ | bd|( a， b， c， d∈ R)．
2．柯西不等式的向量形式
定理 2：设 α ， β 是两个向量，则 | α ·β | ≤ | α | ·｜β| ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019版一轮优化探究理数练习
苏教版
1、若n为大于1的自然数，求证：nnn＋1
＝2＋32＋43＋54＋…＋n＋1n
≥n·n2·32·43·…·n＋1n
＝n·nn＋1＝左边、
∵2≠32≠43，故不取等号、
∴不等式nnn＋1
(2)求函数y＝2x＋91－2x，x∈(0，12)的最小值、
解析：(1)证明：因为m，n>0，利用柯西不等式，得
(m＋n)(a2m＋b2n)≥(a＋b)2，
所以a2m＋b2n≥a＋b2m＋n.
(2)由(1)，y＝2x＋91－2x＝222x＋321－2x≥2＋322x＋1－2x＝25，
所以函数y＝2x＋91－2x(x∈ (0，12))的最小值为25，当且仅当x＝15时取得、
3、设△ABC的三边长分别为a，b，c，
(1)判定b＋c－a，a＋b－c，c＋a－b的符号；
2019版一轮优化探究理数练习
苏教版
(2)求证：a2b＋c－a＋b2c＋a－b＋c2a＋b－c≥a＋b＋c.
解析：(1)因为a，b，c为三角形的三边，
所以b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.
(2)证明：a2b＋c－a＋b2c＋a－b＋c2a＋b－c
＝1a＋b＋c(a2b＋c－a＋b2c＋a－b＋c2a＋b－c)·[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]
≥1a＋b＋c(a2b＋c－a·b＋c－a＋b2c＋a－b·c＋a－b＋
c
2
a＋b－c
·a＋b－c)2
＝1a＋b＋c(a＋b＋c)2＝a＋b＋c.
4、已知a，b，c∈(0，＋∞)，且1a＋2b＋3c＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最
小值时a，b，c的值、
解析：(1a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝[( 1a)2＋( 2b)2＋( 3c)2][(a)2＋(2b)2＋
(3c)2]≥( 1a·a＋2b·2b＋3c·3c)2＝36.
又1a＋2b＋3c＝2，∴a＋2b＋3c≥18，
当且仅当1aa＝2b2b＝3c3c，即a＝b＝c＝3时等号成立、
∴当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.
5、已知函数f(x)＝m－|x－2|， m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]、
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
2019版一轮优化探究理数练习
苏教版
解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，
所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，
且其解集为{x|－m≤x≤m}、
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b
＋3c)(1a＋12b＋13c)≥(a·1a＋2b·12b＋3c·13c)2＝9.
6、某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长
方形金属制箱材料(单位：m)：
①19×19；②30×10；③25×12.
请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；
②简便易行)、
解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m，
由题意，可得abc＝500，
长方体水箱的表面积为：S＝2bc＋2ac＋ab.
由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝300.
当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，
S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，
这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省、
如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成
长方体水箱的平面展开图、
逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，
宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形、因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方
2019版一轮优化探究理数练习
苏教版
案如图(3)、
可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行、
SJ