数学竞赛——函数
初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)
一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。
奥数-取整函数-竞赛专题
初中数学竞赛辅导 专题六:取整函数一、基础知识定义：设x R ∈，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数；任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，这里，[]x 为x 的整数部分，记{}[]x x x =-为x 的小数部分。
性质：由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （2）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（3）显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。
}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[。
从函数的图象可以看出，][x y =的图象由成阶梯形的等长平行线段组成，函数不减，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －1；}{x y =的图象由端点位于x 轴上整点的无数条与(011)y x =<≤平行的线段组成，I －2.图Ⅰ—1 图Ⅰ—2（4）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中,x R n Z ∈∈.（5）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （6）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（7）[][][]1(x x x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩不是整数）（是整数）（8）若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； （9）若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（9）x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；（10）设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
高一数学竞赛：函数与方程
高一数学竞赛：函数与方程模块一：易错试题精选【例1】若,a b c <<则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间()A (),a b 和(),b c 内()B (),a -∞和(),a b 内()C (),b c 和(),c +∞内()D (),a -∞和(),c +∞内【例2】若函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x x x f ，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数是___________.【例3】已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当()+∞∈,0x 时，()x x f x2017log 2017+=，则函数()x f 的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于()A.14B.10C.7D.3【例5】设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【例7】设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（）A.()22-B.322⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()2,-+∞【例8】已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的解a b c d ,,,,且a b c d <<<,则的()21a b c c d++取值范围为()A.(]1,1- B.[)1,1- C.(1,)-+∞ D.(,1)-∞【例9】已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑()（注111221()()()()mim m i x y xy x y x y =+=++++++∑L ）A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m模块二：培优试题精选【例1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()log 1,12,1a x x x g x x ⎧->=⎨≤⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．（2，4）B ．（2，5）C ．（1，5）D ．（1，4）【例2】关于x 的方程()242200x m x m ++++=有两个正根()1212,x x x x <，下列结论错误的是（）A ．102x <<B ．226x <<C ．1212x x x x +的取值范围是{01}xx <<∣D ．2212x x +的取值范围是{440}xx <<∣【例3】设函数21,0()ln ,0ax ax x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()y f x a =+在R 上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．[)1,0-D ．4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【例4】已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m【例5】已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()211,0212,22x x f x f x x ⎧--<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为（）A ．8B ．32C ．0D ．18【例7】已知函数23e ,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()()2g x f x kx x =--有两个零点，则k 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例8】设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【例9】已知函数()()211x xf x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（）A ．αββα=+B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．1αβ->-【例10】设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【例11】设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.【例12】已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()221f x x x =-++，若关于x 的方程()()230f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是_____.【例13】已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有(4)4()f x f x +=，(]0,4x ∈时2()22x f x -=-；若函数2()()()g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为________.【例14】已知函数212,2()2ln(1),2x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数1()()4g x f f x m ⎛⎫=+- ⎝⎭有6个不同的零点，求m 的取值范围___________.【例15】已知函数2|2|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()0f x k -=有4个不相等的实数根a ，b ，c ，d ，则+++a b c d 的取值范围是___________，abcd 的取值范围是___________.【例16】已知函数()1ln ,1121,1x f x x x x ⎧⎛⎫-<-⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-⎩，则函数()f x 的零点是__________；若函数()()()g x f f x a =-，且函数()g x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【例17】已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．【例18】已知函数()()2ln ,068,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的各个零点之和为______；若方程1f x mx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭恰有四个实根，则实数m 的取值范围为______．模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（全国竞赛题）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。
高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
高中数学竞赛辅导04 (四)函数
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 5
思考 1 解: ⑴令 F ( x ) f ( x ) x 因为 x 1 , x 2 是方程 f ( x ) x 0 的根，
所以 F ( x ) a ( x x 1 )( x x 2 )
分析 答案
从形入手: 抛物线 y=f(x)-x 开口向 上，因此在区间［x1,x2］的外部，f(x)-x ＞0， 的左端得证。 （1） 其次， 抛物线 y=f(x) 的开口也向上，又 x1=f(x1)，于是为了证 得 （1） 的右端， 相当于要求证明函数 f(x) 在区间［0,x1］的最大值是 f(x1)，这相当 于证明 f(0)≤f(x1)，也即 C≤x1，利用韦 达定理和题设，立即可得.
2.二次函数的图像和性质 ⑴ f ( x ) ax 2 bx c ( a 0) 的图像是一条抛物线, 顶点坐标是 ( 口与 a 有关. ⑵ 单 调 性 : 当 a 0 时 , f (x) 在
[ b 2a ( , b 2a ]
b 2a
,
4ac b 4a
2
)
,对称轴方程为 x
2012-8-28
妙!
b 2a
,
x1 x 2 2
b1 2a
都是二次函数二次方程的基础知识
6
高中数学竞赛辅导
思考 2(2002 年全国高中数学联赛) 2 设二次函数 f ( x ) ax bx c ( a , b , c R , a 0) , 且满足条件: ⑴当 x R 时, f ( x 4 ) f ( 2 x ) ,且 f ( x ) ≥ x ; ⑵当 x (0, 2 ) 时,
初中数学竞赛教案函数
初中数学竞赛教案函数教案内容：一、教学目标1. 让学生掌握初中数学竞赛的基本题型和解题方法。
2. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 培养学生的团队合作精神和挑战自我的勇气。
二、教学内容1. 初赛阶段：涵盖初中数学全部内容，重点考查代数、几何、概率、数论等基本知识。
2. 复赛阶段：侧重考查学生的数学思维能力，包括分析问题、解决问题的方法。
3. 决赛阶段：考查学生的综合素质，包括数学知识、逻辑思维、创新能力等。
三、教学方法1. 采用案例教学法，让学生通过分析典型题目，掌握解题方法。
2. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
3. 采用竞赛激励法，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
四、教学安排1. 初赛阶段：共计10课时，每个课时解决1-2个典型题目，让学生熟悉各种题型和解题方法。
2. 复赛阶段：共计10课时，每个课时围绕一个主题，让学生掌握分析问题、解决问题的方法。
3. 决赛阶段：共计10课时，每个课时进行一场模拟竞赛，培养学生的综合素质。
五、教学评价1. 学生自评：学生根据自己在课堂上的表现，评价自己的学习效果。
2. 同伴评价：学生互相评价，共同进步。
3. 教师评价：教师根据学生的课堂表现、作业完成情况、竞赛成绩等方面进行评价。
六、教学资源1. 教材：选用权威的初中数学竞赛教材。
2. 题库：收集各类初中数学竞赛题目，形成题库。
3. 教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔等。
七、教学建议1. 注重基础知识的积累，提高学生的数学素养。
2. 培养学生的逻辑思维能力，教会学生分析问题、解决问题的方法。
3. 鼓励学生参加各类数学竞赛，锻炼学生的综合素质。
4. 注重学生的心理健康，调整学习压力，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
5. 教师要不断提高自己的专业素养，关注学生的个体差异，因材施教。
八、教学反思本教案旨在通过初中数学竞赛辅导，提高学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，激发学生的学习兴趣。
高中数学竞赛函数辅导
高中数学竞赛 函数及其应用求函数表达式：例题1：设()f x 为定义在(0,+)∞上的函数，且满足()()22222111(1-)+1+lg -2012=1+lg -2013+2014-2012-2013-2013()f f x f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求的表达式 解：令21++1x -2013=,f +lg =2014+1t t t t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 令=+1t x t ，则 11()+lg =2014f x f x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 再用 1x x 替代，得1+()lg =2014f f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭解得：()220141+lg ()=-1+lg x f x x例2：若函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且满足1()()+=1,f x f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭求 f(1)求的值解：令x=1得()(1)(1)+1=1f f f 1((1)+1)=(1)f f f ⇒ 再令=f(1)+1x ()1((1)+1)f (1)+1+=1(1)+1f f f f f ⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦ ()111(1)+1+=1((1)+1)=(1)(1)+111+(1)(1)+1f f f f f f f f f f ⎡⎤⇒⇒⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 1111=(1)=+(1)(1)(1)+111(1)(1)+1f f f f f f f f ⎡⎤⇒⇒⎢⎥⎡⎤⎣⎦+⎢⎥⎣⎦ 注意f 是单调递增,故111=+(1)(1)+1ff (1)=f ⇒若()()()(1)=>1(1)+1>(1)=1(1)+1=122f f f f f f f ⇒和矛盾故(1)=2f 例题3：是否存在在x ()R f x ∈中的可导函数使得 2435(())=1+x +--f f x x x x ，若存在，请给出一个例子，若不存在，请给出证明。
高中数学竞赛0710试题之三角函数教师版
高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量一、选择题1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x−c )=2，于是取21==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x−c )=1，由此得1cos -=acb 。
一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是af (x )+bf (x−c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。
由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b≠0。
所以，由(2)知sin c =0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k ∈Z )。
当c=2kπ时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。
故c=2kπ+π(k ∈Z )，cos c =−1。
由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b 。
2.（08全国）ABC ∆中，边,,a b c 成等比数列，则sin cot coscos A C A B+的取值范围是（ C）A. (0,)+∞B.C. D. )+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 3．（08江苏）如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22A π， cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 4.（08河北）已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣ D⎡⎣答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t ≤ 5.（08湖南）设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（ ）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<解：因为00002818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.6.（08江西）若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2kkkx kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 解：记()sin sin cos cos cos 2k k k f x x kx x kx x =⋅+⋅- ，则由条件，()f x 恒为0，取2x π=，得()sin12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此n 为偶数，令2n m =，则41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．二、填空题1.（08江西）0sin 20sin 40sin80⋅⋅= .解：()0000008sin 20sin 40sin804cos 20cos60sin80⋅⋅=-()0004sin80cos202sin802sin100sin 602sin80=-=+-02sin 60==所以0sin 20sin 40sin 80⋅⋅=． 2.（08湖北）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 3.（08湖北）若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 3 ．4．（08湖北）在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为16715．5．（08湖北）已知a OA =，b OB =，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，6π=∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．6．（07全国）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+。
高一数学竞赛辅导(函数)
高一数学竞赛辅导（函数部分）一．选择题：1.设有三个函数，已知第一个函数是y=f(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，则第三个函数的解析式为 （ ） A ．y=f(-x ) B.y =- f (- x ) C. y=f(x) D. y =- f ( x )2.已知x 1, x 2是关于x 的方程x 2-(k-2)x+k 2+3k+5=0的两个实根，那么x 12+x 22的最大值为 （ ） A ．19 B. 17 C. D.183.已知f(x)=，则和f()+f()+…+f()+f()+f()+…+f()+…+f()+f()+…+f()的值等于 （ ）A ．10000 B. 5000 C.1000 D.1004．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910---- 等于( ). A ．125 B.21 C.2011 D.1075、如图：已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，交于顶点A 的三条棱长别为AD=3，AA 1=4,AB=5。
一天，小强观察到在A 处有一只蚂蚁,发现顶点C 1处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A 、74B 、25C 、54D 、 1036、如图:正三棱锥S －ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A.90° B.45° C.60° D.30°二．填空题：1．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n)2004＝_________.2. Let f be a function such that22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and0)1(≠f , then (2007)f is equal to _____________.3．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。
初升高竞赛数学函数讲义
【例1】若函数2()1g x x =-，[]221()x f g x x -=，求3()4f ．【例２】函数()f x 的定义域是全体实数，并且对任意实数x 、y ，有()()f x y f xy +=．若(19)99f =，求(2008)f ．【例3】若对任意实数x ，221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义，求实数a 的取值范围．【例4】若y m 的取值范围．【例5】已知二次函数2()f x x px q =++，且方程()0f x =与(2)0f x =有相同的非零实根． （1）求2qp 的值； （2）若(1)28f =，解方程()0f x =．【例6】如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-， 求(1)f ，(2)f ，(4)f 之间的大小关系． 【例7】若()f x 是一次函数，（1）若[](1)47f f x x +=+，求函数()f x 的表达式； （2）若(1)1f =，且[]4(2)2bf f k-=⋅，求函数()f x 的表达式． 【例8】求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点． 【例9】已知m 、n 、c 为常数。
220m n -≠，并且(1)(1)mf x nf x cs -+-=，求()f x ．【例10】已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围． 【例11】如图，设1()(1)f x mx x m=+-，其中0m >，记()f x 在01x ≤≤的最小值为()g m ，求()g m 及其最大值，并作()y g m =的图像．【例12】（1）设抛物线22y x =，把它向右平移p 个单位，或向下平移q 个单位，都能使得抛物线与直线4y x =-恰好有一个交点，求p 、q 的值；初升高竞赛数学函数讲义（2）把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）与（4，9），求p 、q 的值；（3）把抛物线2y ax bx c =++向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得图像是经过点1(1,)2--的抛物线2y ax =，求原二次函数的解析式． 【例13】不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上．求这条直线的函数解析式．【例14】设二次函数2()f x ax bx c =++满足条件：(0)2f =，(1)1f =-，且其图像在x 轴上所截得的线段长为【例15】已知点A 、B 的坐标分别为(1,0)A 、(2,0)B ，若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图像与线段AB 恰有一个交点，求a 的取值范围．【例16】设b ax x f +=)(，其中b a ,为实数，)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n =+， ,3,2,1=n ，若381128)(7+=x x f ，求a b +．【例17】若函数21321)(2+-=x x f 在区间[]b a ,上的最小值为a 2，最大值为b 2，求[]b a ,． 【例18】(1)证明：对任意[]11x ∈-，，均有3431x x -≤； （2）设a 、b 、c 为实数，M 是函数324y x ax bx c =+++在[]11x ∈-，上的最大值．证明：1M ≥，并求等号成立时，a 、b 、c 的值．【例19】设2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，已知(1)1,(0)1,(1)1f f f -≤≤≤，求证：当[1,1]x ∈-时，5()4f x ≤． 【例20】已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点1(,0)x 、2(,0)x ，且1212383(1)(1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，求a 的值．【例21】求所有的整系数二次函数2()()f x ax bx c a b =++≠，使得()f a b =，()f b a =．【例22】设m 、n 为正整数，且2m ≠，如果对一切实数t ，二次函数2(3)3y x mt x mt =+--的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求m 、n 的值．【例23】设m 、n 为正整数，且2m ≠，二次函数2(3)3y x mt x mt =+--的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数2(2)2y x t n x nt =-+-+的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d ．如果12d d ≥对一切实数t 恒成立，求m 、n 的值．【例24】设a 、b 是实常数，当是取任意实数时，函数2222(1)2()3y k k x a k x k ak b =++-++++的图象与x 轴都交于点(1,0)A ． （1）求a 、6的值；（2）若函数图象与x 轴的另一交点为B ，当k 变化时，求AB 的最大值． 【例25】求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值．【例26】若()1f x x =-+x R ∈，求()f x 的最小值．【例27】对任意不全为零的实数x 、y ，设()22min x f x y x x y ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，，．证明：存在00x y ∈R ，，使得对任意x y ∈R ，均有()()00f x y f x y ，，≤．并求()00f x y ，的值．【例28】求使得不等式22x px q ++≤，当15x ≤≤时恒成立的实数对(,)p q ．【例29】给定二次三项式2()f x x ax b =++．已知方程(())0f f x =有四个不同实根，且其中两个根的和等于1-．证明：14b ≤-．【例30】（1）证明：若二次函数2y ax bx c =-+的值当10x =，21x =，32x =时均是整数，则对任何整数x 、y 的值也是整数；（2）若对任何整数x ，2y ax bx c =++的值是整数，a 、b 、c 是否必是整数？ 【例31】求下列函数的最小值1234()a a a a ≤≤≤： （1）12()f x x a x a =-+-；（2）123()f x x a x a x a =-+-+-； （3）1234()f x x a x a x a x a =-+-+-+-． 【例32】点(,)x y 满足方程122x y -++≤，求它的图象所围成区域的面积．【例33】已知01k <<，试确定关于x 的方程21x kx k -=+的解的个数．【例34】设2()f x x px q =++，p 、q 为实数．若()f x 在11x -≤≤时的最大值为M ，求M 的最小值．2【例35】规定{}max ,a b 表示取a 、b 中的较大者，例如{}max 0.1,20.1-=，{}max 2,2． 求函数{}2()max 1,5f x x x =+-的最小值，并求当()f x 取最小值时自变量x 的值． 【例36】设函数()f x ，对任意正实数x ，(3)3()f x f x =，且()12f x x =--，13x ≥≤．求最小的实数x ，使得()(2004)f x f =． 【例37】设a 是大于零的常数，且1a ≠，1(1)y ax x a=+-，01x ≤≤．求y 的最大值与最小值．【例38】实数x 、y 、z 、ω满足0x y z ω≥≥≥≥，且5436100x y z ω+++=， 求x y z ω+++的最大值和最小值．【例39】已知0a <，60≤，0c >2b ac -，求24b ac -的最小值． 【例40】求函数2223221x x y x x --=++的最值．【例41】已知函数2262ax bx y x ++=+的最小值是2，最大值是6，求实数a 、b 的值．【例42】实数x 、y 、z 满足321x y z ++=，求22232x y z -+的最小值． 【例43】求函数()()()()12345y x x x x =+++++在66x -≤≤上的最小值、最大值． 【例44】求函数()f x =的最小值和最大值．【例45】已知实数x 、y 满足2214x y +≤≤，求()22,f x y x xy y =++的最小值和最大值．【例46】设x 是正实数，求函数21y x x x=-+的最小值． 【例47】对实数s 、t ，求代数式22634865t s st t s +--++的最小值．【例48】若x 是实数，求x +【例49】实数a 、b 、c 使得对于所有满足1x ≤的实数x ，都有2100ax bx c ++≤，求a b c ++的最大值．【例50】求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程()()220xpx q x rx s ++++=有4个互不相同的实数根．。
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课时1 二次函数应用
1、实数zyx,,满足123zyx求22223zyx得最小值
解：令tzyx22223 则：tzyzy2222)231(3
整理得：0)31214()918(22622tzzyzy
0)31214(264)918(422tzzz
所以：0)263(12402tzz
0)263(4041221t
故203t
当203,109,201zyx时，203t
所以
20
3
)23(min222zyx
2、已知二次函数)0,,(cbx)(2aRbaaxxf，设方程xxf)(的两个实根为
1
x
和2x，如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0xx， 求证10x。
证明：设11)x-b()()(2axxxfxg
42,021xxa
0)2(g 且 0)4(g
即：034160124baba 所以81221443aaba
aaba41128
3
2
18141120abx
3、将抛物线2xy适当平移，是平移后的抛物线与抛物线22xxy的两个交点关于
原点对称，求平移后的抛物线方程。
解：设所求抛物线方程为2)(axby
解方程组：)2(2)1()(22xxyaxby
去掉y整理得：)3(0)2()12(2222baxax
设)3( 的两根为21,xx， 则21,xx 是)2(),1( 交点的横坐标 则有：
22212222121ba
xx
a
xx
两交点的纵坐标为：2222221211xxyxxy
因为 两个交点关于原点对称 所以：,0,02121yyxx
0212
a
， 及)4(0)2()2(222121xxxx
2
1
a
由)4(变形得：04)2(42221baxx
2,492xxyb
4、如图，已知二次函数335334332xxy与x轴交于BA,两点，对称轴与x轴交
于点M，与抛物线交于点C。
(1) 是判断△ABC的形状
(2) 设Q的坐标为)0,8(，是判断在线段BC上是否存在一点P，是得点A到直线PQ的
距离等于AQ21？如果存在求出P点的坐标，若不存在请说明理由。
解：（1）由0335334332xx 得：5,121xx
6,)0,5(,)0,1(ABBA
又由：33)2(333353343322xxxy
得：)0,2(),33,2(MC在RT△AMC中，33,321CMABAM
CBCAMAC,60
所以△ABC为正三角形
（2）若线段BC上存在满足条件的点P，过A作QPAH于H
30,21AQPQAAH
，
连接QC，在RT△QMC中，33,1028MCQM
30331033tanMQCQMMCMQC
这与MQPMQC相矛盾，故满足条件的点P不存在。
5、已知抛物线822xxy与x轴交于B、C两点，点D评分BC，若x轴上侧的A点
为抛物线的动点，且BAC为锐角，求AD的取值范围。
解：9)1(2xy 抛物线的顶点 抛物线顶点
)9,1(0A
，对称轴为1x，由于抛物线交x轴于
)0,4(),0,2(CB
，且过点)1,221(P，
)1,221(Q
，所以分别以BC，DA为直径作
OD、OE两圆与抛物线交于P、Q两点及如图
直径所张的圆周角为直角，圆外角为锐角，圆内角为钝角
点A在不含端点的抛物线弧QPA0内时，90BAC
又因为 DP = DQ = 3，90DA 93AD。
课时2 构造函数解决不等式问题
1、设nnbbbaaa...,,,,...,,,2121均为实数，且0...22221nbbb，
求证：222112222122221)...()...)(...(nnnnbabababbbaaa
证：作一个二次函数
)...()...(2)...()(222212211222221nnnnaaaxbababaxbbbxf
即2222211)(...)()()(nnaxbaxbaxbxf
由于0...22221nbbb，且
0)(...)()(2112211211nnababababbaf
所有)(xf是开口向上且与x轴有交点的抛物线，所以：
0)...)(...(4)...(4222212222122211nnnnbbbaaabababa
即：222112222122221)...()...)(...(nnnnbabababbbaaa
2、设321321,,,,,yyyxxx是实数，且满足1232221xxx，求证：
)1)(1()1(2322212322212332211yyyxxxyxyxyx
证明：当1232221xxx时，原不等式显然成立、
当1232221xxx时，构成二次函数
)1()1(2)1()(2322213322112232221yyytyxyxyxtxxxtf
= 2233222211)1()()()(tytxytxytx
此二次函数的图像时一条开口乡下的抛物线，又因为：
0)()()()1(233222211yxyxyxf
所以此抛物线一定与x轴有交点，从而
0)1)(1(4)1(42322212322212332211yyyxxxyxyxyx
即：
)1)(1()1(2322212322212332211yyyxxxyxyxyx
3、设)1,0(,,zyx，求证1)1()1()1(xzzyyx。
解：设101)1()(xyzzyxzyxf，
把z，y看做常数，则)(xf是关于x的一次函数
因为0)1)(1(1)0(zyyzzyf
01yz)1()1(yzzyzyf
即该一次函数在1,0xx处函数值均小于0，由图像易得，对于10x 均有0)(xf
即：01)1(yzzyxzy
所以：
1)1()1()1(xzzyyx
4、设nnbbbaaa...,,,,...,,,2121时实数，证明
22211222212222
1)...()...)(...(nnnn
babababbbaaa
。
证明：若0...22221naaa 则021naaa 此时命题成立
若0...22221naaa 构造一个二次函数
)...()...(2)...()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf
22222
11)(...)()(nn
bxabxabxa
这是一条开口向上的抛物线，而且0)(xf恒成立，所以：
0)...)(...(4)...(4222212222122211nnnnbbbaaabababa
即：222112222122221)...()...)(...(nnnnbabababbbaaa
其中等号当且仅当knikbaii,...,,2,1是某个常数时成立。
5、设]1,1[x时，恒有1||2cbxax，求证对一切]1,1[x，有
2||2abxcx
。
解：设cbxaxxf2)( 则：1|)1(||,1|)1(||,1|)0(|fff
所以：,1||,1||,1||cbacbac 当]1,1[x时有：||2abxcx
||1|||1|||||22cbxaabxcxcabxcccx
由于cbxaxg)( 是关于x的一次函数 所以它的最大值与最小值在区间端点处取得
1|}||,max{|||cbacbacbxa
2||2abxcx