微分方程y''-2y'-3y=0的通解
全国各类成人高等学校招生考试《高等数学(一)》模拟卷三
全国各类成人高等学校招生考试《高等数学（一）》模拟卷三1. 【选择题】( )A. 1B. 0C. 2D. 1/2正确答案：C参考解析：（江南博哥）的知识点.【应试指导】1)=2.2. 【选择题】( )A.B. x2C. 2xD.正确答案：C参考解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.【应试指导】3. 【选择题】函数y=ex+e-x的单调增加区间是( )A. (-∞，+∞)B. (-∞，0］C. (-1，1)D. ［0，+∞）正确答案：D参考解析：本题考查了函数的单调区间的知识点.【应试指导】y=ex+e-x则y'=ex-e-x，当x>0时，y'>0，所以y在区间［0，+∞)上单调递增.4. 【选择题】 ( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题考查了换元积分法的知识点.【应试指导】5. 【选择题】讨点(0，2，4)且平行于平面x+2z=1，y-3z=2的直线方程为( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题考查了直线方程的知识点.【应试指导】6. 【选择题】( )A. dx+dyB.C.D. 2(dx+dy)正确答案：C参考解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】注：另解如下，由一阶微分形式不变性得7. 【选择题】( )A. I1=I2B. I1>I2C. I1<I2D. 无法比较正确答案：C参考解析：本题考查了二重积分的性质的知识点.【应试指导】因积分区域D是以点(2，1)为圆心的一单位圆，且它位于直线x+y=1的上方，即在D内恒有x+y>1，所以(x+y)2<(x+y)3.所以有I1<I2.8. 【选择题】( )A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查了级数收敛的必要性的知识点.【应试指导】9. 【选择题】( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.【应试指导】10. 【选择题】设方程y´´-2y´-3y=f(x)有特解y*，则它的通解为( )A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点. 【应试指导】考虑对应的齐次方程y''-2y'-3y=0的通解.11. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】In2应用的知识点.【应试指导】12. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】0本题考查了函数在一点处的连续性的知识点.【应试指导】又，f(0)=a，则若，f(x)在x=0连续，应有a=0.13. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】90本题考查了莱布尼茨公式的知识点. 【应试指导】由莱布尼茨公式得，14. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】-1本题考查了洛必迭法则的知识点. 【应试指导】15. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了不定积分的知识点.【应试指导】16. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了分段函数的定积分的知识点. 【应试指导】注：分段函数的积分必须分段进行.17. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点. 【应试指导】18. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了利用极坐标求积分的知识点. 【应试指导】19. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】R本题考查了幂级数的收敛半径的知识点. 【应试指导】20. 【填空题】方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为 .我的回答：正确答案：参考解析：【答案】sinx·siny=C本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.【应试指导】由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(siny·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C,这就是方程的通解.21. 【解答题】确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a>0)的极值点.我的回答：参考解析：22. 【解答题】我的回答：参考解析：23. 【解答题】我的回答：参考解析：所以级数收敛.24. 【解答题】我的回答：参考解析：25. 【解答题】证明：ex>1+x(x>0). 我的回答：参考解析：26. 【解答题】我的回答：参考解析：27. 【解答题】求方程y´´-2y´+5y=ex的通解. 我的回答：参考解析：28. 【解答题】我的回答：参考解析：。
高等数学
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a={-1，-3，4}与x轴正向的夹角满足（）A. 0<1< <B. =C. < <D. =2. 设函数f(x, y)=x y, 则点（0，0）是f(x,y)的（）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D：x2 y2≤1, x≥0, 则二重积分的值（）A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数4. 微分方程xy′ y=x 3是（）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程5. 设无穷级数收敛，则在下列数值中p的取值为（）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a={3，0，-1}和b={1，-2，1} 则a-3b=___________.7. 设函数z=2x2 y2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D由y=x, x=1及y=0所围成，将二重积分化为直角坐标下的二次积分为___________.9. 微分方程y″ 3y=6x的一个特解y*=___________.10. 无穷级数…的和为___________.一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知函数,则( )A.2x-2yB.2x 2yC.x yD.x-y2.设函数,则点（0，0）是f(x,y)的（）A.间断点B.驻点C.极小值点D.极大值点3.顶点坐标为（0，0），（0，1），（1，1）的三角形面积可以表示为（）A. B.C. D.4.微分方程是（）A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程5.幂级数的和函数为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
山东省专升本考试(土木工程)综合一历年真题试卷汇编1(题后含答
山东省专升本考试（土木工程）综合一历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 高等数学 2. 混凝土结构高等数学填空题1．=_________．正确答案：。
2．若y=ex(sinx+cosx)，则=_________．正确答案：=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx。
3．=_________．正确答案：。
4．x=0为函数的_________间断点．正确答案：因，左右极限都存在但不等，故x=0是函数f(x)的跳跃间断点。
5．=_________．正确答案：。
6．=_________．正确答案：原式=。
7．设已知两点M1 (2，2，)和M2 (1，3，0)，则向量的模=_________．正确答案：因。
8．设f(x，y，z)=xyyz，则=_________．正确答案：=xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。
9．判别级数的收敛性：级数是________．正确答案：由于为收敛的p-级数，故原级数收敛。
10．微分方程y’’-2y’-3y=0的通解是________．正确答案：特征方程r2—2r—3=0，有两个不等实根r1=-1，r2=3，故原方程的通解为y=C1e-x+C2e3x．计算题11．已知函数。
正确答案：12．计算，其中D是由抛物线y2=x及直线y=x—2所围成的闭区域．正确答案：画出图形，抛物线y2=x与直线y=x—2的交点为(1，-1)，(4，2)，将此区域看作Y-型区域得，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则13．求幂级数的收敛域．正确答案：因，则收敛区间为，且当时，原级数即为，发散，当时，原级数即为，发散，故原级数的收敛域为。
14．求方程的通解．正确答案：原方程为可分离变量的方程，分离变量可得，两边积分，。
证明题15．证明：当x＞1时，。
正确答案：原不等式即为，则，故f(x)在[1，∞)上单调增加，f(x)＞f(1)=0，即。
常微分方程期末选择题试题库
选 择 题1、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2'y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e +=(C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e++=特解的形状为( )(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-21 () x y ax bx c e =++ (C)22-21 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()x y x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)225,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) yx y c e = (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =6、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y ∂∂+=∂∂7、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4'0y xy += 8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)31, , x x (B)222,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() x y x e c =+ (B)( ) x x y e c =+ (C)(-) x x y c e = (D)(-)xy x e c =11、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)22-10 x y += (B) 2' x y y=(C) 222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（ ）(A) dy dx y x = (B)2y '+6y '=1 (C)y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 0,1, t (B) e t，2e t,e -t(C)e t e t t t --3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e xdx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x)16、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性的是（ ）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -xcos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Aex1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e ydy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y)21、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) ''+=y y e x 2'22、下列微分方程是线性的是（ ）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C)y '-2y=2x 2(D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31x y Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x 13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)2,,xxxe xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 2 1,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e xdx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x) 26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（ ） (A) 1sin y xcx = (B) sin y x =x +c (C) sin yx =c x (D) sin x y =c x27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2(B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2(C) c 1+(x -c 2)2(D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e ydy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y)29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A)c x c x 123+ (B) c x cx123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx 34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+(C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x123-+ 35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解， 则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（ ）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（ ）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（ ）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy cearctgy=-++1(C) x arctgy cec arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（ ）(A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 1223++ (C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（ ）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e 43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件y x ==01, y x '==03的特解是y=( ) (A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) ec x c x x -+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )-(C) e c x c x x31222(cos sin )- (D) e c x c x x-+21233(cos sin )46、微分方程y yxc '++=20满足y x ==20的特解y =（ ）(A) 4422x x - (B)x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=20的通解是（ ）(A)1()cos x c x y =+ (B) ()cos y x c x =+ (C) 1cos x x c y=+ (D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（ ）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（ ） (A) cos2a x (B) cos2ax x(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（ ）(A)ex x x-++574774sin cos (B)e x x x ++574774sin cos(C)ex x x-++6574774sin cos (D)e e x x x x --+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（ ）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -= 54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（ ）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y ∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ） (A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22xe ln +57、若3312,x xy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（ ）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+(C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()1()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（ ）(A)1n ncx- (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解 61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（ ）(A)12x y c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（ ）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)xaxe b + 63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（ ）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（ ）(A)()xax b e-+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（ ）(A) xaxe (B)()x ax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e + 67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（ ）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232xy y y x e -+=-的特解*y 的形式为（ ）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e-++=特解的形式为（ ）(A) 22xy ax e-= (B)22()xy ax bx c e-=++(C)22()xy x ax bx c e -=++ (D)222()xy x ax bx c e -=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（ ）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =-72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（ ） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt==--的（ ） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（ ） (A)2xy z c -= (B)2x c y= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -=75、方程22222dx dy dzx y z xy xz==--的首次积分是（ ） (A) 2x y z c x ++= (B)222x y z cy++= (C)y c x = (D)z c x =76、系统22dxx y dtdy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点77、系统3474dxx y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe-+=有形如（ ）特解(A)xy Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++(C)1()x y Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（ ）(A)21()t x At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1t x Ate = (D)1tx Ae =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（ ）(A)1cos x y A xe -= (B)1sin xy A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（ ）(A)21()cos tx At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++(C)1(cos sin )t x e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0xyyx ye e dx xee dy ---++=的通解为（ ）(A)xyye xe c -= (B)yxye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x xe y y x dx e y x dy -++=的通解为（ ）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c += (C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0yye dx x xy e dy -+=的通解为（ ）(A)2yxe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x+=85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（ ）(A)32x xe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)x x x e x y c --+= (D)232(2)x x e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（ ）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ= (B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ=88、方程(2)0y ye x xy e dy -+=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ=(B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D) 1()y y μ=89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（ ）(A) 1()x xμ=(B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ）(A)()x x e μ= (B)()xx e μ-= (C)()y y e μ= (D)()yy eμ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ=(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ=(B) 21()x xμ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ=93、方程(2cos )0xxe dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ）(A) 21()x x μ= (B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ）(A) 21x μ= (B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ=96、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（ ）(A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2'y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e +=(C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =。
常微分方程及其应用
第5章常微分方程及其应用习题5.22(6) X dy + ( 2xy-x +1 Hx = 0 , y(1)=0 .5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入 求微分方程y" = 6x 的通解. 解 两边积分，得y ' = J6xdx = 3x 2+Gy = /(3x 2+0 dx =x 3t C r X +C 2所以，原方程的通解为y=x'+C i x+C 2，其中C i 、C 2为任意常数.5.3.1可降阶微分方程 1.形如y(n)= f(X)的微分方程特点：方程右端为已知函数f (x).(1)2X dx + ydy = 0 ； (2) x y'-yin y =0 ； (3) 22(xy +x)dx +(y-x y)dy =( )；(4) y ‘ - 3xy =0 ;(5)c p x 2y —y =e ;(6) y' = ytanx+cosx .2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 八e 23, y(0) =0；(2)dx - ydy = 0 , y(0)=1 + y 1+x (3) y ，- y =cosx , y(0) = 0； (4) y ‘ 一 y tan x = secx ,y(0) = 0 ；1 .求下列各微分方程的通解:1；y ・+Y=沁,y ⑴=1 ； x x两边再积分，得解法：对y(n)= f(x)连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解.2.形如y " = f(X, y )的微分方程 特点：方程右端不显含未知函数y .解法：令y = p(x)，则y = p'(x).于是，原方程可化为 p' = f (x, p).这是关于p,p'的一阶微分方程•设其通解为 p(x)=®(x,C i )，即y'=®(x,C i ) •两边积分，即可得原方程通解y =代(X'CJdx +C 2，其中C 1、C 2为任意常数.3.形如yJf(y,y)的微分方程 特点：方程右端不显含自变量 x .= x+C 2,其中C i 、C2为任意常数. 屮(y,C i)例5-7 求微分方程y w = sin X - cosx 的通解.解 两边积分，得 y"=J(si n X-cosx) dx =-cosx-si nx + 2C i两边再积分，得 y = J(—COSX —sin ^2C 1 dx = -sin x + cosx +2C 1x + C ?解法：令/ = p(y)，则y=如理*生=pd p.于是，原方程可化为dy dx dy dyPp = f (y, p).这是关于 p, p的一阶微分方程.设其通解为p(y)=屮(y,C i ),即吐=屮(y,C i ).分离变量，得dxdy 屮(y,C i )=dx•然后两边积分，即可得原方程通解dy2第三次积分，得 y = J(—sin X+C0SX+2C 1X +C 2 dx =cosx + sinx+Gx +C 2X + C 3所以，原方程的通解为 y =cosx+sin X+0x 2+C 2X+C 3，其中c i例5-8求微分方程xy”_y'=0的通解.解 令y ，= p(x)，则y = p'(x).原方程可化为xp' — P = 0 , 是关于p, p'的一阶线性齐次微分方程•其通解为:y = f2C 1xd^C 1x^C 2，其中 C 1、C 2为任意常数.例5-9 求微分方程y"-一 y'xe 」的通解.X解 令y = p(x)，则y " = p(X)•于是，原方程可化为P,P '的一阶线性非齐次微分方程.其通解为一dx IV一 -dxp(x)=e'x If xe e 'x dx + 2C 1=x ( fe^dx +2Ci )= xjr +2Ci )即y'=x(-ej +2C 1)•两边积分，即得原方程通解y = J x (-e " +2G dx = [(—xe * +2C 1xdx = f xd (e ^ )+C 1x 2= xe^ - fe^dx +C 1x^(^1)e^ +C 1x^C 2、C 2、C 3为常数.P(X)=2C ieRx =2C 1e ln^2C 1x ，即 /=2C 1x •两边积分, 即得原方程通解p = xe* •这是关于-In x , , c —dx +2C i其中C i、C2为任意常数.则y " = PP '（ y ）.于是，原方程可化为ypp' 一 P 2= 0 ,即例5-10 求微分方程2yy"—(y j =0 的通解.p'—丄p = 0 •这是关于yp, p'的一阶线性齐次微分方程.其通解为 fldylp(y) = C i e y = Ge ny = C i y ，即 y ' = G y .所以原方程通解为y=C 2e 卩"'=C z e&x ，其中C i 、C 2为任意常数.5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程 定义5.4形如y" + py’ + qy =0 , p 、q 为常数(5-5)的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1如果函数y^x ）和y 2（x ）是方程（5-5 ）的两个解，那么y =C i y i (x)+C 2y 2(x), G 、C 2为任意常数(5-6)也是方程（5-5）的解.（证明略）定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性.那么叠加起来的解y =C i y i （x ） + C 2y 2（x ）就是通解吗？不一定.例如，设函数 y i （x ）是方程（5-5）的一个解，则函数 y 2（x ）=2y i （x ）也是方程（5-5）的一个解.由定理 5.i 可知，y =C i y i (x)+2C 2y i (x) =(C i +2C 2)y i (x)是方程(5-5)的解•但C^2C 2=C 仍是一个任意常数， 所以y =（C i +2C 2）y i （x ） =Cy i （x ）不是方程（5-5）的通解.那么在什么条件下才能保证y^Gyjx ） +C 2y 2（x ）就是通解呢?定义5.5设y i （x ）和y 2（x ）是定义在某区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零 的常数k i 和k 2，使k i y i （x ）+k 2y 2（x ） =0在区间I 上恒成立，则称函数 ％ （x ）与y 2（x ）在区间I 上线性相关，否则称线性无关.由定义5.5可知，判断函数y^x ）与y 2（x ）线性相关或线性无关的方法:当y^X ）= 一鱼=常数时，y i （x ）与y 2（x ）线性相关•当 y i （x ） k 2y 2（x ）线性无关.定理5.2 如果函数y i （x ）和y 2（x ）是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么 （5-6）是方程（5-5）的通解.（证明略）2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法（5-5）的两个线性无关的特解.所以只要r 满足方程P 、q 为常数即当r 是方程（5-7）的根时，函数y =e rx就是方程（5-5）的解.定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程.特征方程的根称为 特征根.y 2(x) y i (x)H 常数时，y i （x ）与由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程猜想方程（5-5）有形如y =e rx的解，其中r 为待定常数•将y=e rx代入该方程，得（e"）” + 卩（「）’初（「）+ pre" r/2rx=(r 中 pr 中q)e =0 , rx由于e H0,(5-7)设r,、r2为特征方程（5-7）的两个特征根.根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况:（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根r i H「2,则y i = e rix和y^ e r2x是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为^C1e r1^C2e r2x，其中C1、C2为任、、八Nr、匸意吊数.（2）若方程（5-7）有两个相等实根r, =「2 = r =-卫则仅得到一个特解y^e rx2利用常数变易法可得到与y1 =e rx线性无关的另一个特解y= xe rx，故方程（5-5）的通解为y =C1e r x +C2xe r x，其中C,、C2为任意常数.（3）若方程（5-7）有一对共轭复根» =a +i P与『2 =a - i p，则y^e^*^x和y2 是方程（5-5）的两个复数特解.为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解e^cos Px和e^x sin Px .故方程（5-5 ）的通解为y =e g C i cos P x +C2 sin P x），其中C,、C2 为任意常数.由定理5.1可知，以上两个函数e Q X cos P x和^x si n P x均为方程（5-5）的解，且它们线性无关.上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法, 称为特征根法.一般步骤:第一步写出所给微分方程的特征方程;第二步求出特征根;第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解. （特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1特征根与通解的关系特征方程r2+pr +q =0的两个根r, , q 微分方程y"+ py' + qy=O的通解例5-11 求微分方程y“-2y'-3y=0的通解.解该方程的特征方程r — 2r —3 = 0的特征根为匚=—1, D = 3 ( 口H j).所以，方程的通解为y - De- +C2e3x.例5-12 求微分方程y”+2y' + y=0满足初始条件y(0)=0, y'(0) =1的特解.解该方程的特征方程r2 +2r +1 =0的特征根为R =「2 = -1.所以方程的通解为y =(C1 +C2X)e」上式对x求导，得: y，=C2e 一-(G +C2x)e 一将y(0) =0, y'(0) =1代入上两式，解得G =0 , C2 =1 .因此，所求特解为y = xe^ 例5-13 求微分方程y”—2y，+5y =0 的通解.解该方程的特征方程r2 -2r +5 =0的特征根为匚=1 +2i ,心=1 -2i .所以，方程的通解为y = e x(C1 cos2x +C2Sin2x).5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7形如y" + p yyqy = f(x) , p 、q 为常数的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构如果函数y^x)是方程(5-8)的一个特解，Y(x)是该方程所对应的线性齐 其中Q n (x)是与P n (x)同次待定多项式.(5-8)定理5.3 次方程(5-5)的通解，那么y =Y(X)+y "x)(5-9)是方程(5-8) 的通解.定理 5.4 如果函数y 1(x)是方程y" + Py'+qy = fjx)的特解，函数y 2(x)是方程y +py +qy =f 2(x)的特解，那么/ = y i”(x) +y 2(x)(5-10)就是方程y" + py' + qy = f 1(x) + f 2(x)的特解.2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理 5.3,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解.以下介绍当自由项 f(x)为几类特殊函数时求特解的方法: (1) f(X)=P n (x)e/x, P n (x)是x 的n 次多项式，A 是常数 微分方程的特解可设为沖k. /Xy =x Q n (x)e"，不是特征根时，k =/是单特征根时，k = 1(2) f (X) =P n(x)cos©x (或P n(x)s in ©x), P n(x)是x 的n 次多项式，©是常数微分方程的特解可设为… ks /、 C /、. ■, 血i非特征根时，k=0y=X[Qn(X)沁x+R n(X)s gX] '｛勿j是特征根时，心其中Q n(x)和R n(x)是与P n(x)同次待定多项式.(3) f (X) =ecos^x (或e赵sin w x), A与©均为常数微分方程的特解可设为k7 几+切)非特征根时，k=0y =x e那[Acoseox+Bsin^x], —,iA+©i是特征根时，k= 1(4)当f (x)为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可.例5-14 求微分方程y"-2y' = 3x+1的通解.解方程y"—2y'=0的特征方程r -2r=0的特征根为r, = 2 , “=0 •于是方程y"-2y'=0的通解为又因为P n(x) =3x +1，几=0是单特征根，所以原方程的特解可设为y* = xQ n(X)= x( Ax + B)3 5代入原方程，解得 A = ——, B = - 一.故原方程的通解为4 4C 2x 土小3 2 5^C1e 中C2 一一X —-x .4 4例5-15 求微分方程y"中y ' + y=3e2x的一个特解.y =C i cosx +C 2 sin xy * = x( Acosx + Bsin x)解 方程y " + y + y =0的特征方程 r 2+r +1=0的特征根为r 1r2 = 一一1 "*^i . f(x^3e 2x , Z =2非特征根，所以原方程的特解可设为2 2代入原方程，解得T .故所求特解为几尹例5-16 求微分方程y" + 3/ +2y=xe 上X 的一个特解. 解 方程y ”+3y ' + 2y =0的特征方程r2+3r +2=0的特征根为口 = 一2 ,「2 = —1 . f(X)=xe'x, P n (x) =x ，扎=-2是单特征根,所以原方程的特解可设为/ =x(Ax +B)e41 X 2代入原方程，解得A = —— ,B = —1.故所求特解为y*=x(—— —1)e2 2例5-17 求微分方程y " + y = Sin X 的通解.=0的特征方程r 2 +1 =0的特征根为 山=i ，「2 =-i .于是方程¥丄y +y =0的通解为又因为f(X)=sin X ， 几+ Q i =i 是特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得 A=—1, B=0 •故原方程的通解为 21y = G cosx +C 2Sin x —一 xcosx .2例5-18 求微分方程y" + y=xcos2x 的一个特解.解 方程y" + y =0的特征方程r 2+1=0的特征根为r , = i , q = —i .f （X ）= XCOS2X ，乙+ © i = 2i 不是特征根，所以原方程的特解可设为y * =(Ax + B) cos2x + (Cx + D)sin 2x1 4 代入原方程，解得 A = — — , B=0 , C=0, D=—.故所求特解为39* 1 4y =——xcos2x + — sin 2x .3 9例5-19 求微分方程y "+3y '-y =e X cos2x 的一个特解.解 方程y "+3y ' —y=0的特征方程r2+3r —1=0的特征根为r 1设为y * =eX ( Acos2x + Bsin 2x)解 方程y -2y ' + y =0的特征方程r 2 -2r +1=0的特征根为n = q = 1 .1f 1（x ） =—e X , f 2（x ） =sinx , =1是二重特征根，=i 不是特征根，所以两个分解r 23 V 13f （x ） =e x cos2x ，几+ eo i =i+2i 不是特征根，所以原方程的特解可代入原方程,例 5-201 10得 A =———,B=——.故所求特解为101101 y * =e X ( -^^cos2x + n 2x).101 1011求微分方程y "—2y' + y=—e +sinx 的一个特解. cos2x +2方程的特解可分别设为y r = Ax 2e x 与 y2 = B cosx +Csin x1分别代入两个分解方程，解得A= — ,B= — ,C=0 .故所求特解为4X 12 xy = — x e4习题1.求下列各微分方程的通解:5. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y" —4y' + 3y =0, y(0) =6, y'(0) =10 ； (2)y" —4y' + 4y=0, y(0) =1 , y'(0) = 4 .1 +- cosx . 25.3(1) y " = X +sin x ；(2)利xy =(3) xy" + y'=0 ；(4)H 1, xy — 一 y = xe ;(5)八1 +(y )2；+ _2 1 2 (y) =0. -y2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:⑴ yJe 2x, y(1) =y(1) =y"(1) =0 ;2(2) y” —3(y) =0 , y(0) =0 , y(0) =—3.判断下列各函数组是线性相关还是线性无关: (1) x与 X 2； (2) e2x与 6e 2x； X(3) x与xe ； / 、 x. x .(4) e cosx 与e sin4. 求下列各微分方程的通解:(1) y” —y'=0；(2) y “+ 4y=0 ； (3) y” —10y'+25y =0 ；(4) y "+y ' + y= 0 .6. 求下列各微分方程的一个特解:7. 求下列各微分方程的通解:&求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1) yJ3yq2y=5，y(0) =1，y'(0) =2 ； (2) y"-y =4xe X , y(0)=0, "(0)=1.5.4微分方程应用举例微分方程在实践中有着广泛的应用.在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际 问题中的未知函数.而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面 的知识•本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用.例5-21曲线L 上点M(x,y)处的法线与x 轴的交点为 N ，且线段 MN 被y 轴平 分.求曲线L 的方程.解 如图5-2，设曲线的方程为 y =y(x).先建立法线 MN 的方程.设法线上的动点坐标为(X ,Y),由于法线MN 的的斜率为 1k 法=-二，于是法线MN 的方程为y'1Y-y = -rXy(1) y"_2y ，—3y =3x +1 ; yN_4y ，+ 4y =e 2x ； (3)y "-2y ，+ 2y =e 」sinx ；y "+ 4y = X +1 +sin X .(1) y "-2y y = X 2y" + 2y'-3y =e X ；(3) y "+y =e x +cosx ；yH-y ，-2y = x + cos2x .-x)又因为线段 MN 被y 轴平分，从而MN 与y 轴交点坐标为p(0丄)，代入上式，得，2^-y =—丄(0-X)，即 yy' = —2x例5-22 设有一 RC 电路如图5-3所示，电阻 R = 1O 0，电容C =0.1F ，电源电 压U =10si nt(V)，开关K 闭合前，电容电压u c =0，求开关K 闭合后电容电压随时图5-3解 设开关K 闭合后电路中的电流为i(t)，电容极板上的电荷为q(t)，则有用分离变量法解得X 2其中c 为任意正数.CRc . dq d(Cu c) c du e q = cu c, i =— = ------------------- = c ---dt dt dt根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即U c + Ri = U，于是有u^Rcdu c- .将R = 10 , C = 0.1 , U =10sint代入，得uC +u c =10sint .又因为开关K闭合前, 电容电压u c =0,即u c (0) =0 .从而问题转化为初值问题:(u C +U c =10si nti u c(0) =0用通解公式求得通解u c = Ae，+5(s i ti-cos)将初始条件u c (0) =0代入通解，求得A=5•所以，所求特解为U c =5e 丄+5(s in t-cost)此即为所求规律U c(t)的表达式.例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比(比例系数为常数k > 0)，起跳时的速度为0 .求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系.解这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律 F =ma建立微分方程.设跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系为v =v(t)，则加速度a =v'(t).由于跳伞员在下落过程中所受外力只有重力和空气阻力，于是有 F =mg -kv，由牛顿第二定律F = ma可得速度V =v(t)应满足的微分方程为mg -kv =mv .又因为起跳时的速度为0 ,即其初始条件为v(0) =0 •所以，这个运动问题可化为初值问题:何g - kv = mv’ 卜(0) = 0上tmg -kv =Ce m .将初始条件为 v(0) =0代入通解，解得kv^^O-e 韦t) , 0<t<T (T 为降落伞着地时间)，此 k即为所求函数关系.在时刻t =0时，测得其温度为150C ,10分钟后测得温度为100£ .已知牛顿冷却定律: 物体冷却速率与物体和介质的温差成正比. 求物体的温度与时间的函数关系，并计算20分钟后该物体的温度.解 设物体的温度与时间的函数关系为T =T(t).因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率(温度的变化速度)t =20代入，得 T(20) =24 +12604051 过0疋 64(°C).例5-25弹簧振动问题.设有一弹簧上端固定， 下端挂着一个质量为 m 的物体.簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反•设给物体一个初 始位移X o ，初速度V o ，则物体便在其平衡位置附近上下振动•已知阻力与其速度成正比,用分离变量法求出通解为C =mg .因此，所求特解为例5-24 物体冷却过程. 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为 249 , T (t) <0 ,而物体和空气的 温差恒为正.所以，根据牛顿冷却定律可得¥十(一24).又因为在时刻而问题转化为初值问题：t=0时，测得其温度为1509，即有T(0)=150 .从其中k > 0为比例常数.T(0) =150用分离变量法或通解公式解得T =24+1260山.将T(10) =100代入，求得k.^^^0051.故物体的温度与时间的函数关系为T =24+126eq 051•将当弹求振动过程中位移 x 的变化规律.////////解 建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点. 位移x 是时间t 的函数X = x(t).物体在 振动过程中受到弹簧恢复力f 与阻力R 的作用•由虎克定律，有 f「1,2 = -n ±v n 2 -豹2.具体情况讨论如下:弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反;R = -P v ，其中 卩> 0为比例系数(或称阻尼系数)，负号表示阻力与速度方向相反.根据牛顿第二定律F = ma ，可得ma = —kx - 出.又因为 a = x"(t)，V =x'(t)，记 2n =巴八2m所以上述弹簧振动问题化为初值问题:亍2|d X , _ dx ." --- +2n —— dt dt1x(0) =X 0,x'(0)这是一个二阶常系数齐次线性方程, 其特征方程为r 2 +2nr 2=0，特征根为=—kx ，其中k >0为(1) 大阻尼情形，即n X .这时, 特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为x = GeG 』2^2^ +c e -(E n 2看)t(2) 临界阻力情形，即 n =©O图5-4停止，称为弹簧的阻尼自由振动.习题5.41 •设过点(1,1)的曲线L 上任意点M(x,y)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A 、B , 且线段AB 被点M 平分.求曲线L 的方程.2 •在如图5-5所示的RC 电路中，已知开关S 闭合前，电容上没有电荷，电容两端C ，电源电压为E •把开关S 合上，电源对电容充电，电图5-5 3.将温度为100心的沸水注入杯中，放在室温为20°C 的环境中自然冷却，5min 后 测得温度为60乜.求水温与时间的函数关系， 并计算水温自100七降至30°C 所需时间.4. 设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量这时，特征根r ,=『2 = -n , 所以方程的通解为X = (C i + C 2t)e 』t(3)大阻尼情形，即n X这时，特征根是一对共轭复根 「1,2 = -n ±晶2 _n 2i ，所以方程的通解为X =e 』t (C 1 cos JJ -n 21 + C2 sin上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定. 这类振动问题均会因阻尼的作用而容电压U c 逐渐升高.求电容电压U c 随时间t 变化的规律.电压为零，电阻为 R ，电容为为0.025kg 的物体.先将物体用手拉到离平衡位置0.04m 处，然后放手，让物体自由振动.若物体所受的阻力大小与运动速度成 弹簧的弹性系数 k=0.625N/m ，阻尼系数4 =0.2N ‘s/m .求物体 的运动规律. 知识拓展:马尔萨斯（Malthus ）模型Malthus ）模型是最简单的生态学模型.给定一个种群，我们的目的是确 定种群的数量是如何随着时间发展变化的.为此，我们作出如下假设:模型假设:1. 初始种群规模已知 x （0） =X o ，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量 可以看作是连续变化的;2. 种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）3.种群的出生率和死亡率为常数， 即不区分种群个体的大小、年龄、性别等;4.环境资源是无限的.确定变量和参数： 为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数:t :时间（自变量），x （t ） : t 时刻的种群密度，b :瞬时出生率，d :瞬时死亡率.模型的建立与求解:考察时间段［t,t +A t ］（不失一般性，设 M>0）,由物质平衡原理，在此时间段内种 群的数量满足:t + A t 时刻种群数量-t 时刻种群数量 =也t 内新出生个体数- A t 内死亡个体数,正比，方向相反, 马尔萨斯（x(t +A t) -x(t) =bx(t)At -dx(t)At=(b-d)x(t):=Ax(t) dt满足初始条件x(0) =X o 的解为X(t) ^00(5 = X 。
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷18(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为( )A．(ax+b)e-xB．x2e-xC．x2(ax+b)e-xD．x(ax+b)e-x正确答案：D解析：方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3。
由于λ=-1是特征方程的一个单根，故方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为x(ax+b)e-x。
故选D。
知识模块：常微分方程与差分方程2．设y=y(x)是二阶常系数微分方程y’’+py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限( )A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正确答案：C解析：因y(0)=y’(0)=0，In(1+0)=0，故利用洛必达法则，有由y’’+py’+qy=e3x知y’’(x)连续且y’’(0)=e0=1，故所求极限等于2。
故选C。
知识模块：常微分方程与差分方程3．对于微分方程y’’-4y’+4y=0，函数C1C2xe2x(C1，C2为任意常数)为( )A．方程的通解B．方程的特解C．非方程的解D．是解，但不是通解也不是特解正确答案：D解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f’’(x)代入所给微分方程中，且满足方程y’’-4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解。
故选D。
知识模块：常微分方程与差分方程4．设y=y(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+Py’+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则极限=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：在微分方程y’’+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y’’(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由y(0)=y’(0)=0，得y’’(0)=3。
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
专升本高等数学(一)分类模拟36
专升本高等数学(一)分类模拟36(总分：100.01，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程y"=y"的通解是______∙ A.y=c1x+c2e x∙ B.y=c1+c2e x∙ C.y=c1+c2x∙ D.y=c1x+c2x2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.对于微分方程y"+3y"+2y=e -x，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是______∙ A.y*=Ae-x∙ B.y*=(Ax+B)e-x∙ C.y*=Axe-x∙ D.y*=Ax2e-x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：3.对于微分方程y"+y=sinx，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是______（分数：2.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx) √D.y*=asinx+bcosx解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程y"+py"+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)，其中c 1，c 2为任意常数．5.二阶常系数齐次线性微分方程y"+2y=0的通解为 1．（分数：2.00）6.二阶常系数齐次线性微分方程y"-4y"+4y=0的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=(c 1 +c 2 x)e 2x．7.微分方程y"+y"=0的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=c 1 +c 2 e -x．三、解答题(总题数：16，分数：86.00)麦尔萨斯(Malthus)是常数，y＞0)，（分数：3.00）(1).求它的通解；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解分离变量两端积分得即lny=rx+c，y=e rx +c，即为所求的通解．(2).若给定初始条件y| x=0 =y 0，求特解．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解利用初值条件y| x=0 =y 0，得y 0 =e r·0+c =e c，故所求特解为y=y 0 e rx．此即通常所说的指数模型．设方程y"+y=0，（分数：12.00）(1).验证y=c 1 cost+c 2 sint是它的通解．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解因为y=c 1 cost+c 2 sint，则y"=-c 1 sint+c 2 cost，y"=-c 1 cost-c 2 sint，代入原方程可得y"+y=(-c 1 cost-c 2 sint)+(c 1 cost+c 2 sint)=0，故y=c 1 cost+c 2 sint是y"+y=0的解．由于c 1和c 2是两个任意常数，故y=c 1 cost+c 2 sint是y"+y=0的通解．(2).给定初始条件y| x=0 =1，y"| x=0 =1，求特解．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解将y| x=0 =1代入通解得1=c 1 cos0+c 2 sin0=c 1；将y"| x=0 =1代入y"=-c 1 sint+c 2 cost得1=-c 1 sin0+c 2 cos0=c 2，故所求满足初始条件y=| x=0 =1，y"| x=0 =1的特解为y=cost+sint．逻辑斯谛(Logistic)是常数，k为大于y的常数，y＞0)，（分数：6.00）(1).求它的通解；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解分离变量两端积分得lny-ln(k-y)=rx+c，为所求通解．(2).若给定初始条件y| x=0 =y 0，求特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由初值条件y| x=0 =y 0，得，所求特解为此即Logistic模型，它在许多领域中都有不同程度的应用．8.求xyy"=1-x 2的通解．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解分离变量得两端积分得即即为所求通解．9.解方程y"=(2x+2y+3) 2．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解作变换u=2x+2y+3，对x求导得由原方程，故分离变量得两端积分将u=2x+2y+3代入得原方程的通解arctan(2x+2y+3)=2x+c，(c为任意常数)．10.解方程（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解令y=ux，对x求导得代入原方程得故两端积分得将代入得原方程的通解11.设g(x)为连续函数且满足g(x)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解这是一个积分方程，因g(x)连续，x连续，故可导；又x 2可导，故可导，因此g(x)可导．方程两端对x求导数，得xg(x)=g"(x)+2x即g"(x)-xg(x)=-2x．这是一阶线性微分方程，利用通解公式求解由于p(x)=-x，f(x)=-2x，故(用公式求解时，计算不定积分一律不写常数)．因此，由所给方程可知当x=0时，g(0)=0，代入上式，可得c=-2，故所求函数为本题也可以用一阶线性方程的常数变易法求通解．先求对应的齐次方程g"(x)=xg(x)的通解．分离变量得两端积分得即使用常数变易法，设两端对x求导得代入原非齐次方程得即积分得代回f(x)可得（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解对|y|≠1，(1)|x|＜1，有两端积分得arcsiny=arcsinx+c，或y=sin(arcsinx+c)，因，又，故c∈(-π，π)，因为若c=π，y=sin(arcsinx+π)=-π不是解；同理，c≠-π．(2)|x|＞1有两端积分得此外方程还有解y=±1，故原方程的解为求下列齐次线性方程的通解：（分数：14.01）(1).y"-2y"-3y=0；（分数：4.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由特征方程求出特征根后，写出通解．特征方程r 2 -2r-3=(r+1)(r-3)=0，特征根r 1 =-1，r 2 =3，通解为y=c 1 e -x +c 2 e 3x．(2).y"-2y"+y=0；（分数：4.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解特征方程r 2 -2r+1=(r-1) 2 =0，特征根r 1 =r 2 =1，通解为y=(c 1 +c 2 x)e x．(3).y"-2y"+5y=0．（分数：4.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解特征方程r 2 -2r+5=0，特征根r 1 =1+2i，r 2 =1-2i，通解为y=e x (c 1 cos2x+c 2 sin2x)．13.求方程y"-4y"+3y=0当y| x=0 =6，y"| x=0 =10的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解先求通解，其特征方程r 2 -4r+3=(r-1)(r-3)=0，特征根r 1 =1，r 2 =3，通解为y=c 1 e x +c 2 e 3x，且y"=c 1 e x +3c 2 e 3x．将初始条件x=0，y=6，y"=10代入上式得所求特解为y=4e x +2e 3x =2(2e x +e 3x )．14.求以y=(c 1 +c 2 x)e x为通解的二阶常系数齐次线性微分方程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解所给问题是求解微分方程的逆问题．常用的有两种求解方法．先由通解写出所求二阶常系数齐次线性微分方程的特征根r 1和r 2，再写出相应的特征方程(r-r 1 )(r-r 2 )=0，r 2 =(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =0，最后，按特征方程写出相应的微分方程y"-(r 1 +r 2 )y"+r 1 r 2 y=0．或利用微分法，消去通解中的任意常数，得到相应的微分方程．在本题中，由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解y=(c 1 +c 2 x)e x，知其特征根是二重根r=1．相应的特征方程是(r-1) 2 =0，即r 2 -2r+1=0，故知相应的微分方程是y"-2y"+y=0．另解由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解是y=(c 1 +c 2 x)e x (7．13)y"=(c 1 +c 2 +c 2 x)e x (7．14)y"=(c 1 +2c 2 +c 2 x)e x (7．15)由(7．15)-2×(7．14)+(7．13)可消去c 1，c 2，得y"-2y"+y=0为所求微分方程．15.已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解是y 1 =1和y 2 =e 2x，求相应的微分方程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由于二阶常系数齐次线性微分方程的特解是y 1=1，y 2=e 2x，则原方程有特征根r 1=0，r 2=2，其特征方程是(r-0)(r-2)=0，即r 2 -2r=0，相应的微分方程是y"-2y"=0．16.求微分方程y"+y"-2y=e -x的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解先求出齐次方程y"+y"-2y=0的通解．它的特征方程是r 2 +r-2=(r-1)(r+2)=0，特征根r 1 =1，r 2 =-2．通解为Y=c 1 e x +c 2 e -2x．再求y"+y"-2y=e -x的一个特解．因f(x)=e -x，即n=0，α=-1，由α=-1不是特征根，设其特解为y*=Ae -x，y*"=-Ae -x，y*"=Ae -x，代原方程中得Ae -x -Ae -x -2Ae -x≡e -x比较两边的系数得到，故其特解为从而原方程的通解是17.求微分方程y"+y"=x的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解对应的齐次方程y"+y"=0，特征方程r 2 +r=r(r+1)=0，特征根r 1 =0，r 2 =-1，通解为Y=c 1 +c -x．2 e由于f(x)=x=xe 0·x，因α=0是特征方程的单根，故设y"+y"=x的特解为y*=x(Ax+B)，y*"=2Ax+B，y*"=2A，代入y"+y"=x，得2A+2Ax+B≡x，比较两边系数得．特解为将y"+y"=0的通解和y"+y"=x的特解相加，得y"+y"=x的通解为18.求微分方程y"+4y=2sin2x的通解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 y"+4y=0的特征方程r 2 +4=0有共轭复根r=±2i，其通解为Y=c 1 cos2x+c 2 sin2x．因为f(x)=2sin2x=e 0·x(0·cos2x+2sin2x)，即α=0，β=2，A=0，B=2，又0+2i是特征根，应设原方程的特解(取k=1)为y*=x(acos2x+bsin2x)，y*"=(a+2bx)cos2x+(-2ax+b)sin2x，y*"=(4b-4ax)cos2x+(-4a-4bx)sin2x，代入原方程得4bcos2x-4asin2x≡2sin2x．比较两边cos2x和sin2x的系数，得，其特解为从而原方程的通解为f(x)是连续函数，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解因为x 3 +1可导，x、f(x)均是连续函数，故均可导，所以f(x)可导，于是因为3x 2可导，可导，故f"(x)可导，于是f"(x)=6x-f(x)． (7．16)上式是二阶常系数线性方程．f"(x)+f(x)=0的特征方程r 2 +1=0，特征根r=±i，其通解为F(x)=c 1 cosx+c 2 sinx．求f"(x)+f(x)=6x的特解．因0不是特征方程的根，设特解(取k=0)F*=ax+b，则F*"=a，F*"=0，代入(7．16)得ax+b=6x，比较两边系数a=6，b=0，特解为F*=6x．由此得(7．16)的通解为：f(x)=F(x)+F*=c 1 cosx+c 2 sinx+6x．考虑初始条件：f(0)=1，代入上式，得c 1=1；再由f"(0)=0，代入f"(x)=-c 1sinx+c 2cosx+6，得c 2=-6，故所求函数为f(x)=cosx-6sinx+6x。
矩阵特征值在微分方程中的应用
矩阵特征值在微分方程中的应用收稿日期：2017-07-12作者简介：鞠学伟（1983-），男（汉族），山东费县人，博士，中国民航大学讲师，研究方向：微分方程与动力系统；戚爱玲（1981-），女（汉族），山东临邑人，博士，中国民航大学讲师，研究方向：微分方程与动力系统。
线性代数这门课程的特点就是抽象，为了让学生喜欢上线性代数，教师应该将抽象的数学概念融入形象具体的物理或几何问题中，引导学生从容易理解和把握的具体问题中发现数学、理解数学和掌握数学，同时，也培养了学生主动去运用数学解决实际问题的能力。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数里面非常重要的概念，有着深刻的理论价值和广泛的应用价值[1，2]。
对一个系统（比如物理系统、生态系统）来说，人们最关心的也许并非系统是如何随时间变化的，而是关心系统的最终发展趋势以及该发展趋势是不是可以在纷繁芜杂的现实世界中保持的问题，即稳定性问题，该问题常可归结为方阵的特征值和特征向量问题。
不过工科公共基础课线性代数的教材[3]对该概念的引入只是寥寥数语，并未给出任何的引例，而是直接给出数学的定义，使学生对该部分内容没有足够的感性认识，使特征值与特征向量的概念在学生心中干瘪、不立体，从而很难达到教学要求。
本文中，我们首先从交叉学科的角度来认识特征值，以提高大家对特征值概念的进一步理解。
学生几乎在同时期学习高等数学课程中的常系数线性微分方程的内容。
在这部分内容中也有相应的特征方程概念，我们往往把特征方程的根简称为特征根，细心的同学不免会问，看似不相关的两部分内容却有着类似的名称，他们之间是不是存在着某些联系呢？答案是肯定的。
我们举一个二阶常系数齐次线性微分方程的例子：y ″-2y ′-3y=0，该方程的特征方程为r 2-2r-3=0，从中我们可以得到它的特征根为r 1=-1，r 2=3。
另外，该微分方程还有另外一个常用的处理方法，做变量替换y 1=y ，y 2=y 1′，我们得到与上述微分方程等价的矩阵形式：Y ′=AY ，其中Y=y 1y 2()，A=0132()。
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微分方程y''-2y'-3y=0是常见的二阶齐次线性微分方程，它的通解可以用变量变换法、特征方程法、拉普拉斯变换法等方法求解。
首先，我们使用变量变换法，将上述微分方程化为标准二阶齐次线性微分方程的形式，即y''+py'+qy=0，其中p=-2、q=-3。
根据二阶齐次线性微分方程的特点，它的通解可以表
示为：y=C1e^(rt)+C2e^(st)，其中C1和C2为任意常数，而r和s是方程的两个特征根，可以用下式求得：
r+s=-p，rs=q
所以，当p=-2、q=-3时，r=-1、s=-3，所以微分方程y''-2y'-3y=0的通解就是：
y=C1e^(-t)+C2e^(-3t)，其中C1和C2为任意常数。
接下来，我们使用特征方程法来求解此微分方程的通解，特征方程是：λ^2-2λ-3=0，
求解后得到：λ1=1、λ2=-3，所以微分方程y''-2y'-3y=0的通解为：y=C1e^t+C2e^(-3t)，
其中C1和C2为任意常数。
此外，我们还可以使用拉普拉斯变换法来求解此微分方程，拉普拉斯变换是将微分方
程转换为积分方程，其中y''=f(x)，拉普拉斯变换可以将f(x)变换为F(s)，即F(s)=L[f(x)]，L[f(x)]表示拉普拉斯变换，而F(s)表示拉普拉斯变换后的结果。
所以，当我们将微分方程
y''-2y'-3y=0变换为拉普拉斯变换后的结果F(s)之后，就可以根据F(s)的结果来求出y的
通解，即y=C1e^t+C2e^(-3t)，其中C1和C2为任意常数。
以上就是微分方程y''-2y'-3y=0的通解的求解过程，由此可以看出，这个方程的通解
是C1e^t+C2e^(-3t)，其中C1和C2为任意常数。