求微分方程
微分方程几种求解方法
微分方程几种求解方法微分方程是数学中重要的概念之一，用于描述变量之间的函数关系。
求解微分方程是数学和工程中的常见问题。
根据问题的性质和条件，有多种方法可以用来求解微分方程，下面将介绍几种常见的求解方法。
1.变量分离法：变量分离法是求解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的变量分离，然后进行积分。
具体步骤是将微分方程写成形式dy/dx=f(x)g(y)，然后将方程变换为g(y)dy=f(x)dx，再两边同时积分，即可得到方程的解。
这种方法适用于一阶常微分方程，如y'=f(x)。
2.齐次方程方法：齐次方程是指微分方程中不包含任意常数项的方程。
对于齐次方程可以使用变量代换法进行求解。
具体的步骤是将微分方程中y的函数形式换成u，然后进行代换，将微分方程变为可分离变量的形式。
然后用变量分离法来求解，最后再进行反代还原，得到原方程的解。
这种方法适用于一阶齐次常微分方程，如dy/dx=f(y/x)。
3.线性方程方法：线性微分方程是指微分方程中只有一阶导数，并且函数关系是线性的。
线性方程可以使用常数变易法或者待定系数法来进行求解。
常数变易法的基本思想是假设方程的解具有特定的形式，然后将其带入方程，通过确定待定的常数来求解。
待定系数法的基本思想是假设方程的解是一组形式已知的函数的线性组合，然后通过确定待定系数来求解。
这些方法适用于一阶线性常微分方程，如dy/dx+a(x)y=b(x)。
4.积分因子法：积分因子法是一种用于求解一阶非齐次线性常微分方程的方法。
它的基本思想是通过引入一个合适的因子，将一阶非齐次线性微分方程转化为恰当微分方程，从而利用变量分离法来求解。
具体步骤是先将非齐次方程写成标准形式dy/dx+p(x)y=q(x)，然后通过选择合适的积分因子μ(x)来将方程转为恰当微分方程（即满足(dμ(x)/dx)y+p(x)μ(x)=q(x)），再对该恰当微分方程进行积分，即可得到原方程的解。
解微分方程的方法
解微分方程的方法微分方程是数学中的重要概念，它在物理、工程、经济学等领域都有着广泛的应用。
解微分方程是数学分析中的一个重要课题，本文将介绍解微分方程的几种常见方法。
一、分离变量法。
分离变量法是解微分方程最常用的方法之一。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，我们可以通过将方程两边分别关于x和y进行积分来求解。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 对两边进行积分，得到解函数y(x)。
二、特征方程法。
特征方程法适用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的一阶线性微分方程。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+P(x)y=Q(x)的形式；2. 求解特征方程r+P(x)=0，得到特征根r；3. 根据特征根的不同情况，得到通解形式。
三、常数变易法。
常数变易法适用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的一阶线性微分方程。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+P(x)y=Q(x)的形式；2. 通过乘以一个适当的积分因子来将方程转化为恰当微分方程；3. 求解恰当微分方程，得到通解形式。
四、变量分离法。
变量分离法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程。
具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 对两边进行积分，得到解函数y(x)。
五、常系数线性微分方程的求解。
常系数线性微分方程是指系数为常数的线性微分方程。
求解常系数线性微分方程的方法包括特征方程法、常数变易法等。
总结：解微分方程的方法有很多种，本文介绍了分离变量法、特征方程法、常数变易法、变量分离法以及常系数线性微分方程的求解方法。
在实际问题中，选择合适的方法来解微分方程是非常重要的，希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用微分方程的解法。
微分方程的求解方法
微分方程是数学中的重要概念，它是描述物理现象以及各种变化规律的数学工具。
求解微分方程是研究微分方程学科的核心内容，也是数学应用领域中的重要课题。
本文将介绍微分方程的求解方法，为读者提供一些宝贵的参考。
求解微分方程的方法有很多种，下面将介绍其中的两种常见方法：分离变量法和常系数线性齐次微分方程求解方法。
首先，我们来介绍分离变量法。
这是一种常见且简单的求解微分方程的方法。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，我们可以通过分离变量的方式将其分离为两个独立的变量，从而得到解析解。
具体步骤如下：1.将微分方程的形式表示为dy/dx=f(x)g(y)。
2.将dy/g(y)=f(x)dx两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx。
3.对上述两个积分进行求解，得到F(y)=G(x)+C，其中F(y)和G(x)分别表示两个积分的结果，C为常数。
4.如果可以解出y关于x的表达式，则方程的解析解为y=F^(-1)(G(x)+C)，其中F^(-1)表示F的反函数。
接下来，我们来介绍常系数线性齐次微分方程求解方法。
这是一种适用于形如ay''+by'+cy=0的微分方程的方法。
具体步骤如下：1.假设y=e^(rx)为方程的解，其中r为待求常数。
2.将y=e^(rx)代入方程，得到方程ae^(rx)''+be^(rx)'+ce^(rx)=0。
3.对方程进行化简，得到ar^2e^(rx)+bre^(rx)+ce^(rx)=0。
4.将e^(rx)整理出来得到方程ar^2+br+c=0。
5.求解上述二次方程，得到两个解r1和r2。
6.将r1和r2代入y=e^(rx)中，得到方程的两个解y1=e^(r1x)和y2=e^(r2x)。
7.方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
以上介绍了微分方程的两种常见求解方法，这两种方法在实际应用中具有广泛的适用性。
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法微分方程初值问题是高等数学中的重要内容，在考研高数中也是一个必备的知识点。
解决微分方程的初值问题可以帮助我们找到函数的特定解，为后续的计算和分析提供基础。
本文将介绍几种常见的求解微分方程初值问题的方法，帮助考生掌握这一知识点。
方法一：分离变量法分离变量法是求解微分方程中常见的一种方法，适用于一阶常微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分开后，逐个求解。
下面以一个具体的例子来说明分离变量法的具体步骤。
例题：求解微分方程 dy/dx = x/y, y(0) = 1 的特解。
解答：将变量分离得到 y dy = x dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫xdx。
分别求解这两个积分，得到ln|y| = 1/2*x^2 + C1，再两边取指数得到 |y| = e^(1/2*x^2 + C1)。
利用初值条件 y(0) = 1，得到 C1 = 0，因此特解为 y = e^(1/2*x^2)。
方法二：常系数线性齐次微分方程的求解常系数线性齐次微分方程是一类特殊的微分方程，具有形如dy/dx + Py = 0 的特点。
其中，P表示常系数。
这类微分方程的初值问题可以通过特征方程来求解。
例题：求解微分方程 dy/dx + 2y = 0, y(0) = 1 的特解。
解答：首先根据方程的形式可知，这是一个常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为 r + 2 = 0，解得 r = -2。
由于根为实数且不相等，所以特解可以写为 y = C*e^(-2x)，其中C为待定系数。
利用初值条件y(0) = 1，得到 C = 1，因此特解为 y = e^(-2x)。
方法三：二阶线性非齐次微分方程的求解二阶线性非齐次微分方程是一类常见的微分方程，具有形如d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x) 的特点。
其中，P(x)、Q(x)和f(x)分别表示一阶导数、常数和非齐次项。
求解微分方程的常用方法
求解微分方程的常用方法微分方程是数学的一个重要领域，在各个科学领域中都有着广泛的应用。
求解微分方程是解决实际问题的重要方法之一。
本文将介绍一些求解微分方程的常用方法。
一、解析解法解析解法是指用变量分离、母函数法、变量代换等方法，将微分方程转化为一些已知函数的方程，从而求得方程的解。
变量分离法是一种常见的解析解法。
对于形如y'=f(x)g(y)的微分方程，可以将其变为dy/g(y)=f(x)dx的形式，进而通过积分得到y的解。
母函数法是将微分方程变成一个恒等式的形式，从而求出微分方程的通解。
变量代换法则是通过适当的变量代换，使微分方程变为已知形式的微分方程，进而求出其解。
二、初值问题法初值问题法通常用于求解一阶微分方程的初值问题。
该方法的基本思路是先求得微分方程的通解，然后利用给定的初始条件（即初值），确定通解中的任意常数，从而得到特解。
三、数值解法数值解法是指将微分方程转化为一个差分方程，利用数值方法求得近似解。
数值解法的基本思路是将区间分为若干小段，然后在每一小段上通过近似计算求得微分方程的解。
常用的数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
这些方法的特点是简单易实现，但对于复杂的微分方程而言，计算量较大，精度也有限。
四、级数解法级数解法是将微分方程的解表示为幂级数的形式，从而求解微分方程。
这种方法的思路是假设微分方程的解为幂级数的形式，然后代入微分方程得到一组关于幂级数系数的递推公式，进而求得幂级数的系数，并由此得出微分方程的解。
五、特殊函数解法特殊函数解法是指利用已知的特殊函数求解微分方程。
一些常见的特殊函数包括贝塞尔函数、连带勒让德函数、超几何函数等。
这些特殊函数有着特殊的性质，可以用于求解某些类型的微分方程。
例如，我们可以用贝塞尔函数求解振动问题中的一些微分方程。
六、变分法变分法是一种通过变分原理，求解微分方程的方法。
变分法需要通过变分原理，利用根据函数微小变化的变分量所对应的增量来导出微分方程的一些重要性质。
微分方程求解
在x0x1x2…xn…上求y(xn)的近似值 yn.通常取等步长 h，即xn = x0+ n×h，或 xn = xn-1+ h，（n=1,2,…)。
1、欧拉方法
在小区间[xn, xn+1]上用差商代替微商(近似),
y ( xn 1 ) y ( xn ) y' h
1) 向前欧拉公式: （y’= f (x, y) ） y (xn+1) y(xn) + h f(xn, y(xn)) (迭代式) yn+1 yn + h f(xn, yn) (近似式) 特点：f(x,y)取值于区间[xn, xn+1]的左端点.
1、欧拉方法
2) 向后欧拉公式 yn+1 yn + h f(xn +1, yn +1) 特点：① f(x,y)取值于区间[xn, xn+1]的右端点. ② 非线性方程, 称‘隐式公式’。 方法：迭代（ y’= f (x, y) ） x=[];y=[]; x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:k x(n+1)=x(n)+n*h; y(n+1) = y(n) + h *f(x(n), y(n)); (向前） end
输入： [x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y') [x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y','x(0)=0,y(0)=1')
输出： x = 1/2*exp(7*t)-1/2*exp(-t) y = 1/2*exp(-t)+1/2*exp(7*t)
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程
求解全微分方程的方法主要有两种：分离变量法和恰当微分方程法。
1. 分离变量法：
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的全微分方程，可以将dy和dx分离
到等式两边，然后分别对x和y进行积分。
例如，对于dy/dx=x/y，可以将等式两边乘以y，得到ydy=xdx，然后对两边进行积分，得到y^2/2=x^2/2+C，其中C为常数。
2. 恰当微分方程法：
对于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的全微分方程，如果存在一个
函数f(x,y)，使得∂f/∂x=M和∂f/∂y=N成立，那么该方程就是一
个恰当微分方程。
可以通过求解该函数f(x,y)来求解全微分方程。
具体的求解方法是，首先判断∂M/∂y与∂N/∂x是否相等，如果
相等，则可以令∂f/∂x=M，然后对f(x,y)关于x求偏导，得到
f(x,y)=∫M dx+g(y)，其中g(y)为与x无关的函数，再将该结果
代入∂f/∂y=N中，解出g'(y)，再对g'(y)关于y积分，得到g(y)，最终得到函数f(x,y)，从而求解全微分方程。
需要注意的是，不是所有的微分方程都可以通过以上两种方法求解，有些微分方程可能需要借助其他的数学工具或者数值解法来求解。
3.2微分方程的经典求解方法讲解
n
b0 b2
思考题：给定一个二阶系统，在过阻尼情况下，1）试证明：系统的输出响应 函数是单调函数；2）请问：输出曲线是否一定是单调减的？请说明原因。
21
时间常数定义
时间常数定义
暂态项具有指数形式Aemt，当 m=-a(a>0) 为负实数时，Ae-at 具有如 图3.3 所示的曲线形式（假定A=1）
矢量
c(t )ss C cos(t ) Re(Ce j e jt ) Re(Ce jt )
c(t)ss 的 n 阶微分为
D n c(t ) ss Re[( j) n Ce jt ]
2
稳态响应
稳态响应：正弦输入
Dnc(t )ss Re[( j)n Ce jt ]
系统的有效阻尼常数
m1, 2
b1 j 2b2
2 4b2b0 b1 jd 2 4b2
b1 2 b2b0
阻尼常数的临界值
b1 b1 b1 2 b2b0
令其 为零
定义阻尼比：
和无阻尼振荡频率（自然频率）：
n
b0 b2
18
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
稳态响应
稳态响应：
(**)
c(t ) ss
bq t q b2t 2 b0 b1t 2! q!
输入信号与假设的解
微分方程
系数 b0, b1, ……, bq 可以通过令方程左右两端具有关于 t 的相同阶次 项的相应系数相等而计算得到
方程(*)右端，t 的最高阶数是 k，因此，t k 肯定也出现在方程的左 端
VJ LJ ( j ) 3 m ( j ) ( j ) 2 m ( j ) d m jm ( j ) d p p x( j ) K BC C
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1.求微分方程(x²+y²)dx-xydy=0的通解。
答:这是一阶齐次微分方程
(x^2+y^2)dx-xydy=0
dy/dx=(x²+y²)/(xy)
dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)
令u=y/x
则dy=du*x+dx*u
dy/dx=(du/dx)*x+u
代入得
(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/u
du/dx=1/(xu)
u*du=dx/x
两边积分得
(1/2)u²=lnx+C
将u=y/x回代
(1/2)(y/x)²=(lnx)+C
y²=2x²((lnx)+C)
这是该微分方程的通解~
2.求微分方程y′-ytanx=secx,y(0)=0的特解。
答:属于一阶线性微分方程
e^(∫ -tanxdx) = e^(ln(cosx)) = cosx
(y*cosx)' = cosx*secx =1
ycosx = x +C y(0)=0 C=0
y =x/cosx
3.求微分方程yy″+2y′²=0的通解。
解：设y'=p,则y''=pdp/dy
∴p(ydp/dy-p)=0
∴ydp/dy-2p=0
∴dp/p=2dy/y
∴y'=C1y
∴y=C2e^(C1x) (C1,C2是积分常数)
故通解是y=C2e^(C1x)。
4. 求微分方程y ″-5y ′+6y=xe ²x 的通解。
5. 设一平面垂直于平面z=0,并通过从点(1,-1,1)到直线⎩⎨
⎧==+-0
01x z y 的垂线，求此平面方程。
解：平面z=0就是xoy 平面，所求平面垂直于z=0，说明所求平面平行于z 轴(即垂直于xoy 平面)。
直线L ：y-z+1=0，x=0，是在yoz 平面内的一条直线；将其方程改写成标准形式就是：
x/0=(y+1)/1=z/1，其方向数为{0，1，1}；为了求出从点M(1，-1，1)到直线L 的垂直线的方程，先 作一平面过点M(1，-1，1)且垂直于L ，那么这个平面方程应为0×(x-1)+1×(y+1)+1×(z-1)=0，即 y+z=0 (1)
再求已知直线L 与平面(1)的交点N 。
为此，令x/0=(y+1)/1=z/1=λ，于是得直线L 的参数方程为： x=0，y=λ-1，z=λ (2)
将(2)代入(1)式，便得2λ-1=0，故λ=1/2；因而求得交点N 的坐标为：x=0，y=-1/2，z=1/2； 即N(0，-1/2，1/2)；因为直线上两点的坐标差是这直线的一组方向数，故所求垂直线的方程为： (x-1)/(0-1)=(y+1)/(-1/2+1)=(z-1)/(1/2-1)，即有(x-1)/(-1)=(y+1)/(1/2)=(z-1)/(-1/2)，各项都乘以1/2，把方向数变为整数得：(x-1)/(-2)=(y+1)/1=(z-1)/(-1)，就是从点(1，-1，1)到直线L 的垂线的方程，其方向数为{-2，1，-1}。
该直线在所求的平面上，且所求平面平行于z 轴，故设过M 点的平面为：
A(x-1)+B(y+1)+C(z-1)=0 (1)
点N 在此平面上，将其坐标代入(1)式得：
-A+(1/2)B-(1/2)C=0 (2)
所求平面平行于z 轴，故有C=0 (3)
将(3)代入(1)和(2)得：
A(x-1)+B(Y+1)=0 (3)
-A+(1/2)B=0 (4)
关于A 、B 的齐次方程组(3)(4)具有非零解的充要条件是二阶行列式：
︱x-1.........y+1︱
︱-1...........1/2︱=0
即有(1/2)(x-1)+(y+1)=0，化简得x+2y+1=0，这就是所求平面的方程。
6. 求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0,又与直线
2
1311z y x =-=+相交的直线方程。
答：因为 平行平面方程为 3x-4y+z + k = 0
带入点 得 k=-1
平行平面方程为 3x-4y+z=1
与直线相交后得到一点 为(15,19,32)
另点为(-1,0,4)
过2点直线为.. 我就不解了..
还是帮到底吧, (x+1)/16 = y/19 = (z-4)/32
7. 设二元函数f 具有二阶连续偏导数⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y y x f z ,,求22x z ∂∂与y x z ∂∂∂2。
8. 求平面15
43=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xOy 平面距离最短的
点。
9. 计算dxdydz z xy ⎰⎰⎰Ω32,其中π是曲面z=xy,y=x,z=0,x=1所围成的区
域。
10. 直角 柱坐标 球坐标 ()dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω
=,, π由锥面22y x z +=与
z=1所围成的区域。