高中数学人教新课标A版必修2 第四章 圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系

高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系
选择题
直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（）
A.相离
B.相交
C.相切
D.不确定
【答案】B
【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝（半径），也与该圆相交．
故答案为：B。

分a为零和a不为零两种情况来讨论。

选择题
已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）
A.x2＋y2－2x－3＝0
B.x2＋y2＋4x＝0
C.x2＋y2＋2x－3＝0
D.x2＋y2－4x＝0
【答案】D
【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
故答案为：D。

由直线与圆相切的性质可以求出圆的方程。

选择题
圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝4
B.（x－2）2＋（y＋1）2＝2
C.（x－2）2＋（y＋1）2＝8
D.（x－2）2＋（y＋1）2＝16
【答案】A
【解析】圆心到直线的距离，圆的半径，
∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝4.
所以答案是：A。

选择题
已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一点，点A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值为（）
A.10
B.－10
C.－4
D.4
【答案】B
【解析】通过配方可得圆C的标准方程为（x＋）2＋（y＋2）
2＝，由题意，可知直线x＋2y－1＝0过圆心C（－，－2），∴－－4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10时，＞0，∴a的值为－10，
所以答案是：B.
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，以及对圆的一般方程的理解，了解圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．
选择题
已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）
A.
B.
C.π
D.2π
【答案】D
【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为O（0,0），半径r＝2，设直线x ＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2 .在△MNO中，|OM|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2 ，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于.
所以答案是：D。

【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．
选择题
曲线y＝1＋与直线y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由y＝1＋得x2＋（y－1）2＝4（y≥1），表示如图所示半圆．直线y＝k（x－2）＋4恒过点（2,4）．设A（－2,1），B（2,1），P（2,4）．直线MP与半圆相切，直线MP的方程为，即，圆心到直线MP的距离为，解得，又kPA＝，∴.
所以答案是：D。

【考点精析】掌握圆的一般方程是解答本题的根本，需要知道圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．
选择题
过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的
直线的方程是（）
A.3x－y－5＝0
B.3x＋y－7＝0
C.3x－y－1＝0
D.3x＋y－5＝0
【答案】A
【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得，即3x－y－5＝0，
答案为：A.由题意可知直线过圆心，由两点式可以求出直线的方程。

选择题
设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）
A.34
D.r>5
【答案】B
【解析】圆心C（3，－5），半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1
【解析】最短弦为过点（3,1），且垂直于点（3,1）与圆心的连线
的弦，易知弦心距d＝，所以最短弦长为
.由题意可知，弦心距为，即可推出最短弦长。

填空题
过直线x＋y－＝0上的点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是.
【答案】
【解析】设P（x，y），由已知可得PO（O为原点）与切线的夹
角为30°，则|PO|＝2，由可得通过设点P的坐标，由题意可知PO与切线的夹角为30°，可以推出PO的距离，然后可以求出P点的坐标。

填空题
与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.
【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝2
【解析】已知圆的标准方程为（x－6）2＋（y－6）2＝18，过圆心（6,6）且与直线x＋y－2＝0垂直的直线的方程为x－y＝0.方程x －y＝0分别与x＋y－2＝0和已知圆的方程联立得交点坐标分别为（1,1）和（3,3）或（9，9）．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为（2,2），半径为，即圆的标准方程为（x
－2）2＋（y－2）2＝2.由已知条件可以先求出圆心的坐标，通过圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，即可得圆的方程。

解答题
已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为，求圆C的方程．
【答案】解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C （3t，t）．
又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.
∴，解得t＝±1.
∴圆心为（3,1）或（－3，－1），半径为3.
故所求圆的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y ＋1）2＝9
【解析】可以通设圆心的坐标为（3t，t），又因为圆C与y轴相切，所以圆的半径为|3t|.通过列出等式，可以解得t的值。

解答题
已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q 两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
【答案】解：设点P、Q的坐标分别为（x1 ，y1）、（x2 ，y2）．由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即.
①
联立得5x2＋10x＋4m－27＝0，②
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝. ③
∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝（3－x1）? （3－x2）＝[9－3（x1＋x2）＋x1x2]．将③代入，得y1y2＝. ④
将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，
∴m＝3
【解析】将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理和两向量垂直的性质可以求出m的值来。

【考点精析】掌握数量积判断两个平面向量的垂直关系是解答本题的根本，需要知道若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．
解答题
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
则，解得k＝2±，
从而切线方程为y＝（2±）x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a
＝0，则，解得a＝－1或3，
从而切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上，切线方程为（2＋）x－y＝0或（2－）x－y＝0或x
＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
（2）点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，过点P作圆C的切线，
切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标．
【答案】
（1）解：将圆C的方程整理，得（x＋1）2＋（y－2）2＝2
（2）解：因为圆心C（－1,2）到直线l的距离d＝
，所以直线l与圆C相离．
当|PM|取最小值时，|CP|取得最小值，此时CP垂直于直线l.
所以直线CP的方程为2x＋y＝0.
解方程组得点P的坐标为（－，）
【解析】（1）通过将圆C的方程整理，可以得到圆的方程。

（2）由题意可得圆心到直线的距离小于半径，所以直线与圆C
相离，所以当|PM|取最小值时，|CP|取得最小值，此时CP垂直于直
线l.，所以可以得到直线CP的方程，列出等式解出，可以得到点P
的坐标。

【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆
的方程．
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