微分方程基本理论
常微分方程初步理论和应用
常微分方程初步理论和应用常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将从理论和应用两个方面进行探讨。
一、常微分方程的基本概念和理论1.1 常微分方程的定义常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，形式通常为dy/dx=f(x)。
其中，y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示函数y的导数与自变量x之间的关系。
1.2 常微分方程的分类常微分方程可分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程仅包含一阶导数，例如dy/dx=f(x)。
高阶常微分方程包含多阶导数，例如d²y/dx²=g(x)。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是指能够满足方程的函数，可以通过解析解和数值解两种方式求解。
解析解是指能够用一般公式表示的解，而数值解则是通过计算机等数值方法求得的近似解。
二、常微分方程的应用领域2.1 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用，例如描述物体受力下运动的运动方程、描述电路中电流和电压变化的方程等。
通过求解这些微分方程，可以得到系统的运动规律和性质。
2.2 工程学中的应用工程学中常常需要对各种系统进行建模和分析，常微分方程能够提供这些系统的数学描述。
例如热传导方程、流体力学方程等，通过求解这些方程可以得到工程系统的特性和行为。
2.3 经济学中的应用经济学中的许多问题都可以建模为常微分方程，例如经济增长模型、市场供需模型等。
通过求解这些方程可以研究经济系统的演化和稳定性，对经济决策提供科学依据。
三、常微分方程的数值解求解方法3.1 欧拉法欧拉法是求解常微分方程数值解的一种常用方法。
通过离散化自变量和导数，将微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
3.2 Runga-Kutta方法Runga-Kutta方法是一种多步数值求解常微分方程的方法，通过计算多个点的导数值，得到近似解。
该方法能够提高准确度和稳定性。
3.3 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程的一种方法，通过在自变量的有限区间内选取一系列离散点，将微分算子用差分算子代替，得到近似解。
常微分方程的基本理论与解法
常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。
本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。
通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。
常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。
2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。
3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。
4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。
二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。
1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。
2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。
3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。
它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。
三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。
1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。
3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。
通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的研究对于理解和描述自然界中的各种现象有着重要的意义。
本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解法以及一些常见的应用领域。
一、基本概念1. 微分方程的定义：微分方程是一个方程，其中未知函数的某个导数和它本身以及自变量之间存在关系。
2. 微分方程的阶：微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
常见的微分方程有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程中只涉及一个自变量的导数，而偏微分方程涉及多个自变量的导数。
4. 初值问题和边值问题：初值问题是指在给定初始条件下求解微分方程的问题，边值问题是指在给定边界条件下求解微分方程的问题。
二、微分方程的分类1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后进行积分得到解。
2. 齐次微分方程：如果一个微分方程中的所有项都是同一个函数的同一个函数的倍数，可以通过变量替换的方法将其转化为分离变量的形式。
3. 线性微分方程：如果一个微分方程中的未知函数及其导数出现的次数均为1次，并且未知函数的系数只依赖于自变量，可以使用常数变易法或特解法求解。
4. 高阶线性微分方程：高阶线性微分方程可以通过降阶的方法解决。
5. 常系数线性齐次微分方程：常系数线性齐次微分方程可以通过特征方程的求解方法得到解。
6. 变参法：对于一些特殊的微分方程，可以引入适当的参数来构造方程的解。
7. 常见的特殊微分方程：如常微分方程中常见的一阶线性微分方程、二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程、高阶常系数齐次和非齐次线性微分方程等。
三、微分方程的解法1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，进行积分得到解。
2. 积分因子法：对于某些形式的微分方程，可以通过乘以适当的积分因子来将其转化为恰当方程，然后进行积分得到解。
3. 常数变易法：对于线性微分方程，可以通过假设待求解的解为一个常数的形式，然后带入原方程求解。
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
常微分方程的基本理论
在生物中的应用
描述种群增长模型
描述生物种群竞争模型
描述传染病模型 描述生物进化模型
04 常微分方程的分类
一阶常微分方程
定义：一阶常微分方程是形如y'=f(x,y)的方程，其中f是x和y的有理函数。 举例：dy/dx=y'，dy/dx=0等。 解法：常用的解法有分离变量法、积分因子法、常数变易法等。 应用：一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
稳定性分析方法
定义：研究常微分方程解的稳定性 分类：局部稳定性、全局稳定性 方法：线性化方法、Lyapunov函数法、LaSalle不变原理等 应用：控制系统、生态模型等领域
03 常微分方程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律 解释自然现象 预测未来趋势 优化物理实验
在经济中的应用
描述经济系统的动态行为，如供求关系、价格变动等 预测经济趋势和未来发展，为决策提供依据 分析经济政策的效果和影响，为政策制定提供参考 研究微观经济主体的行方程近似解法，通过构造一系列离散点 来逼近方程的解。
原理：基于泰勒级数展开，将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解。
实现步骤：选择初始值，根据差分方程进行迭代，直到满足精度要求。
优缺点：欧拉法简单易行，但精度较低，迭代过程中可能产生较大的误差 积累。
龙格-库塔法
定义：一种常用的数值解法，用于求解常微分方程的近似解
原理：基于泰勒级数展开，通过迭代的方式逐步逼近精确解
步骤：选择初始值，迭代计算，直到满足精度要求 应用：适用于各种类型的常微分方程，尤其是一阶和二阶线性或非线性方 程
改进的龙格-库塔法
定义：改进的龙格库塔法是一种用于 求解常微分方程近 似解的高效数值方 法
微分方程的基本理论
数学建模方法
2020年10月18日星期日10时41分24
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1.3、微分方程模型的求解
>>在常微分方程（组）中影响结果的变量只有一个 ，而偏微分方程研究的是有多个变量影响结果时的 规律。求解微分方程的方法大致有两类：一类是通 过对微分方程两端积分得到显式表示的完全解，进 而通过解的表达式分析模型结果；另一类方法是数 值解法，这种解法通常需要计算软件的协助，解的 结果通常使用图形的方式表示，或者可以求出某些 关键点的函数值。本章将利用上述方法讨论具体的 微分方程的建模问题。
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2.1、治污中溶液浓度的变化 4) 推广应用 >>江河湖海污染的治理以及矿井和化工厂的通风问 题都可以仿照溶液浓度问题建立相应的微分方程模 型。
数学建模方法
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2.2、侦破中死亡时间的推测
1)背景介绍
>>死亡时间指死后经历时间或死后间隔时间，是指发 现、检查尸体时距死亡发生时的时间间隔。注重尸表 检查、判定，具有实际价值。死亡时间推断是指推测 死亡至尸体解剖时经历或间隔时间。早在三百多年前， 意大利医生已经明确指出：死亡时间推断是法医学鉴 定中首先要解决的问题。 >>死亡时间推断意义：⑴推断死亡时间对确定发案时 间，认定和排除嫌疑人有无作案时间，划定侦察范围 乃至案件的最终侦破均具有重要作用；⑵死亡时间推 断在某些财产继承、保险理赔案件中也有一定的作用。
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1.2、微分方程模型建立
2)列方程的常见方法 ①利用导数的概念直接列方程
>>在数学、力学、物理、化学、经济等学科中许多 自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由 微分方程所描述。如牛顿第二定律、热传导定律、 放射性物质的放射性规律等，如生产函数、财富的 积累等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出 微分方程。
§4.1 线性微分方程的一般理论
a ≤ t ≤ b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在[a, b] 上任何点都不等于零, 即W (t ) ≠ 0(a ≤ t ≤ b)
证明: “反证法” 证明
由定理4易得下面结论 推论1 推论 设x1 (t ), x2 (t ) L , xn (t )是方程(4.2)在区间
dϕ (t0 ) d ϕ (t0 ) (1) ( n −1) = x0 , L , = x0 ϕ (t0 ) = x0 , n −1 dt dt
( n −1)
二、齐次线性方程的解的性质和结构
先讨论n阶齐线性方程
n n −1
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 ( 4. 2) n dt dt 的一般理论, 假设ai (t )(i = 1,2, L n)在a ≤ t ≤ b上连续.
d nx d n −1 x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = f (t ) ( 4.1) n dt dt 其中ai (t )(i = 1,2, L n)及f (t )都是a ≤ t ≤ b的连续函数.
如果f (t ) ≡ 0, 则方程(4.1)变为
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 n dt dt
"
=0
3 伏朗斯基(Wronsky)行列式 定义2 定义 定义在[a, b]上k个可微k − 1次函数x1 (t ), x2 (t ) L ,
xk (t )所作成的行列式
微分方程的理论与应用
微分方程的理论与应用微分方程是一类重要的数学工具，它的理论和应用都非常广泛。
微分方程可以描述很多自然现象，从物理、化学到生物学都有它的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念、求解方法以及一些常见的应用。
一、微分方程的基本概念微分方程是指含有未知函数及其导数的等式。
它是一种描述自然现象的数学模型。
微分方程的一般形式可以表示为：$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中，$y(x)$是未知函数，$y'(x)$、$y''(x)$分别表示$y(x)$的一阶和二阶导数，$y^{(n)}(x)$表示$y(x)$的$n$阶导数。
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})$是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是指只含有单变量的未知函数及其导数的方程；偏微分方程则是含有多个变量的未知函数及其偏导数的方程。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法可分为解析解和数值解两类。
解析解是指用一系列数学方法把微分方程求解出来的解。
数值解则是指用数值方法，通过数值计算的方式得出微分方程的近似解。
1.解析解的求解方法解析解的求解方法可以分为三种：分离变量法、线性微分方程和一阶和高阶齐次和非齐次线性微分方程。
(1) 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的变量分离，使得未知函数与其导数分别出现在等式两边的积分符号之内。
然后进行变量的积分求解。
例如，对于一阶常微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$我们可以采用分离变量法，将其变为：$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$$然后对等式两边进行积分，即可求解y(x)的解析解。
(2) 线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式为：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
二阶和高阶线性微分方程的标准形式为：$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_n(x)y=f(x)$$其中，$a_1(x),a_2(x),...,a_n(x)$和$f(x)$是已知函数。
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1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，
通解为 y1 C1er1x C2er2 x .
2
特征方程具有两个相等的实根，
即
r1
r2
p 2
.
通解为 y C1erx C2 xerx (C1 C2 x)erx .
3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib .
y + py + qy = Aeax，
⑦
其中 a，A 均为常数.
由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数，因此，我们可以设 ⑦ 的特解
y* Bx keax .
其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ⑦ 式所对应的线性齐
次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个 特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
y = Y + y*，
是线性非齐次方程的通解.
二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤 是：
(1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况，写出其通解.
当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1；当 a 是其特征
方程重根时，取 k = 2.
3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型
设二阶常系数线性非齐次方程为
y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，⑧
其中 a，A ，B 均为常数.
通解为 y eax (C1 cos bx C2 sin bx).
（2）.二阶常系数线性非齐次方程的解法
1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为
y + py + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的
n
xdx
C
1 cos x C .
x
二阶线性微分方程解法
二阶微分方程形式如下
y + p(x)y + q(x)y = f (x)
称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项， 当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程， 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（1）.一阶常系数线性非齐次方程的解法 定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的
两个解，则函数 y = C1 y1 + C2 y2
仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数. 定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程
y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则
2. 线性非齐次方程
dy P( x) y Q( x). dx
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
作变换 y u( x)e P( x)dx
y
u( x)e
P ( x)dx
u( x)[P( x)]e
P ( x)dx
,
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
微分方程基本理论
一、一阶线性微分方程的解 二、二阶线性微分方程的解
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
非齐次方程特解
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
特解为
y* xkQn ( x),
其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ⑥ 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时，
k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.
2 自由项 f (x) 为 Aeax 型
设二阶常系数线性非齐次方程为
由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍 为指数函数，正 弦 函 数 与 余 弦 函 数 的 导 数 也 总 是 余弦函数与正弦函数，因此, 我们可以设 ⑧有特解
y* xkeax (C cos wx D sinwx).
其中 C，D 为待定常数. 当 a + wi 不是 ⑧ 式所对
应的齐次方程的特征方程的根时，取 k = 0，是根时， 取 k = 1，代入 ⑧ 式，求得 C 及 D.