浅谈微分方程的起源与发展史

浅谈微分方程的起源与发展史

摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。

引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以

试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。

关键字：微分方程起源发展史

一、微分方程的思想萌芽

微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。

1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布

尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。

1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根

据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。

例1 传染病模型

传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总

x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为

人数为)

(t

x。

因为总人数为常数n

所以可得到式子 n t y t x =+)()( ① 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，且比例常数为k ，称k 为传染系数，于是即可得到式子

0)0(),()()(x x t x t ky dt t dx == ②

由①和②可得 0)0(),(x x x n kx dt

dx =-= ③ 这个模型就是SI 模型，即易感染者模型和已感染者模型。

对于无免疫的传染性疾病如痢疾、伤风等等，病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。所以我们可以假设单位时间内的治愈率为μ，那么方程②就应该修改为

0)0(),()()()(x x t x t x t ky dt t dx =-=μ ④ 由①和④可得 0)0(),1()(x x x n kx x x n kx dt dx =--=--=σ

μ， μσk = ⑤ 这个模型称为SIS 模型，

μ1就是这个传染病的平均传染期，μσk =为整个传染期内每个病人有下接触的平均人数（平均接触数）。

对于很强免疫性的传染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不会有再被传染的机会。我们就可以假设在时刻t 的治愈后的免疫人数为)(t r ，称为移出者，且治愈率为常数l ，

所以可得 )()(t lx dt

t dr = ⑥ n t r t y t x =++)()()( ⑦ dt

t dr t x t ky dt t dx )()()()(-= ⑧ 根据⑥、⑦和⑧可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-=000)0(,)0(,x n y y kxy dt

dy x x lx kxy dt dx ⑨ 这个模型称为SIR 模型，

综上所述三个类型的传染病模型③、⑤和⑨均为微分方程

微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、几何、化学等的实际问题所受到的启发。

二、微分方程的推导

1.1术语和记号

当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用y 替代)(x f ，用y '替代)(x f '，更高阶的导数可以记为y ''、y '''①等。当然其他字母，如u ,v ,z 等等都可以用来代替y .微分方程的阶，意思

是出现在其中的导数的最高阶数。例如，y y ='是一阶，微分方程)sin(3

y x y x y ''+='就是一个二阶方程。 1.2 微分方程的推导

三、微分方程有哪些类型

微分方程的类型：①常微分方程（自变量的个数 1个）；②偏微分方程（自变量的个数2或2个以上）

1.1 常微分方程（自变量的个数只有1个）： )(22t f cy dt

dy b dt y d =++ 0)(2=++y dt

dy t dt dy 上述两个常微分方程（自变量：t 未知函数：y ）

常微分方程的发展阶段：

①发展初期就是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨（Leibniz ）曾经专门有研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题。

②早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouville ）于1841年证明里卡帝方程不存在一般的初等解而中断。再加上柯西（Cauchy ）初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向了“求定解”时代。

首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究；

其次，是针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，比如贝塞尔（Bessel ）函数、勒让德（Legendre ）多项式等，这就促成了微分方程与复变函数论结合产生微分方程解析理论。

最后，因为天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近视方法的研究。

③19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围形态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转为“求所有解”的新时代。

首先，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。因为希尔伯特（Hilbert ）提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展。

然后，就是李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解得趋势问题，在工程技术、天文、以及物理中得到广泛应用，先后在前苏联，美国都受到了很大的重视。