浅谈微分方程的起源与发展史

浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。

这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。

虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。

这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。

引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。

比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。

通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。

最后再通过微分方程求出未知函数。

关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。

微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。

例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。

1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。

这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。

1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。

只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。

例1 传染病模型传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为人数为)(tx。

因为总人数为常数n所以可得到式子 n t y t x =+)()( ① 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，且比例常数为k ，称k 为传染系数，于是即可得到式子0)0(),()()(x x t x t ky dt t dx == ②由①和②可得 0)0(),(x x x n kx dtdx =-= ③ 这个模型就是SI 模型，即易感染者模型和已感染者模型。

对于无免疫的传染性疾病如痢疾、伤风等等，病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。

所以我们可以假设单位时间内的治愈率为μ，那么方程②就应该修改为0)0(),()()()(x x t x t x t ky dt t dx =-=μ ④ 由①和④可得 0)0(),1()(x x x n kx x x n kx dt dx =--=--=σμ， μσk = ⑤ 这个模型称为SIS 模型，μ1就是这个传染病的平均传染期，μσk =为整个传染期内每个病人有下接触的平均人数（平均接触数）。

对于很强免疫性的传染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不会有再被传染的机会。

我们就可以假设在时刻t 的治愈后的免疫人数为)(t r ，称为移出者，且治愈率为常数l ，所以可得 )()(t lx dtt dr = ⑥ n t r t y t x =++)()()( ⑦ dtt dr t x t ky dt t dx )()()()(-= ⑧ 根据⑥、⑦和⑧可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-=000)0(,)0(,x n y y kxy dtdy x x lx kxy dt dx ⑨ 这个模型称为SIR 模型，综上所述三个类型的传染病模型③、⑤和⑨均为微分方程微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、几何、化学等的实际问题所受到的启发。

二、微分方程的推导1.1术语和记号当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用y 替代)(x f ，用y '替代)(x f '，更高阶的导数可以记为y ''、y '''①等。

当然其他字母，如u ,v ,z 等等都可以用来代替y .微分方程的阶，意思是出现在其中的导数的最高阶数。

例如，y y ='是一阶，微分方程)sin(3y x y x y ''+='就是一个二阶方程。

1.2 微分方程的推导三、微分方程有哪些类型微分方程的类型：①常微分方程（自变量的个数 1个）；②偏微分方程（自变量的个数2或2个以上）1.1 常微分方程（自变量的个数只有1个）： )(22t f cy dtdy b dt y d =++ 0)(2=++y dtdy t dt dy 上述两个常微分方程（自变量：t 未知函数：y ）常微分方程的发展阶段：①发展初期就是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。

莱布尼茨（Leibniz ）曾经专门有研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题。

②早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouville ）于1841年证明里卡帝方程不存在一般的初等解而中断。

再加上柯西（Cauchy ）初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向了“求定解”时代。

首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究；其次，是针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，比如贝塞尔（Bessel ）函数、勒让德（Legendre ）多项式等，这就促成了微分方程与复变函数论结合产生微分方程解析理论。

最后，因为天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近视方法的研究。

③19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围形态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转为“求所有解”的新时代。

首先，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。

因为希尔伯特（Hilbert ）提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展。

然后，就是李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解得趋势问题，在工程技术、天文、以及物理中得到广泛应用，先后在前苏联，美国都受到了很大的重视。

最后，20世纪初，伯克霍夫（Birkhoff ）在动力系统方面开创了一个新的领域，因为拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺的（Arnold ）、斯梅尔（Smale ）等数学界的加入和参与，从而得到了蓬勃发展。

④20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展从而迎来了一个新的时期，从“求所有解”转化为“求特殊解”的一个时代，还发现了具有新性质的特殊的解和方程。

在20世纪60年代洛伦兹发现了成为Lorenz 方程的常微分方程，对初值敏感的特性导致了混沌现象发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”。

常微分方程的研究还跟其他领域和学科相结合，从而出现各种新的研究分支，比如说时标微分方程、脉动微分方程、分支理论、控制论、泛函微分方程、种群生态学、广义微分方程等。

例2 化学动力模型1972年，化学家Schlogt 提出了分子反省的化学动力学模型。

设想一个化学反应体系内部包含三种化学成分A 、B 和x ，A 、B 是反应物，x 为中间产物，进行这样一组化学反应：1k k B x , 2323k k A x x +即B 类的一个分子反应后变为x 类的一个分子；A 类得一个分子与x 类的两个分子反应后变成3个x 类分子，相应的反应率分别为0k 和2k ；同时假定反应是可逆的，相应的反应率分别为1k 和3k ，此处0k 、2k 、1k 、3k 均为正常数；A 、B 、x 分别代表A 类、B 类和x 类的分子数。

既定反应过程不涉及任何热效应，所有成分组成一个理想溶液，反应动力学满足质量作用定律，于是有反应引起的各组成成分浓度的变化速率为232301,,.A B x A B v k Ax k x v k B k x v v v =-+=-+=--当反映的条件是固定时，所有速率系数都是恒定的，设除了由于化学反应以外各成分的浓度还是可以通过和外界环境的交换而变化，其中成分i 与外界的交换速率为i w ，于是各成分浓度的变化方程为 ,,.A A B B x x dA v w dtdB v w dtdx v w dt=+=+=+ 如果只有成分A 和成分B 可以和外界交换，并通过交换而维持它们在体系中的浓度恒定，成分x 并不能和外界交换，它的浓度完全决定与体系内部的动力学，所以就有方程0,0,0.x dA dB w dt dt=== 在这种情况下体系的状态仅有单个变量x 来表征，并且有 323210dx k x k Ax k x k B dt=-+-+ ① 这就是Schlogt 单分子化学动力学模型。

考虑有两个中间变量的化学反应体系1232,2,.k kk A x x x y y y E +−−→+−−→−−→ 但这些发行步骤的总结果是kA E −−→ 其中A 和E 是反应物和产物，假定他们的浓度可由外界控制为恒定，x 和y 是两种反应中的中间产物，他们的浓度可以自由发展，逆反应过程可以完全忽略（自催化），则有反应方程 1223,.dx k Ax k xy dt dy k xy k y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ② 这是一类双分子化学动力学模型。

现设一开放的体系中进行着下面一系列化学反应1,k A x −−→ 2,kB x y D +−−→+ 323,k x y x +−−→4.kx E −−→ 假定反应过程是恒定和均匀的，产物D ，E 一经产生即可除去，反应物浓度很高，无扩散，此时对x 和y 的反应动力学方程为 21243223(),.dx k A k B k x k x y dt dy k Bx k x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 化简上述式子可得：22(1),.dx A B x x y dt dy Bx x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ③此式子是3分子化学动力学模型。

终上所述①、②和③分子的化学反应模型均为常微分方程。