一、y(n)f (x)型的微分方程
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可降阶的高阶微分方程
若 可以 求出 其通解 p = ϕ( x, C1 ) , 则 y′ = ϕ( x,C1 ) 再 积分一次就能得原方程的通解. 积分一次就能得原方程的通解.
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【例 2】求方程 2xy′y′′ = 1 + ( y′)2 的通解. 】 的通解.
【 解】 , 因 2xy′y′′ = 1 + ( y′)2 不显含未知函数 y,则令 y′ = p(x) ,
则
p = ± C1 x − 1 y′ = ± C1 x − 1.
y = ± ∫ (C1 x − 1) dx
2 (C1 x − 1) + C 2 =± 3C1
为所求方程的通解. 为所求方程的通解.
3 2
1 2
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3. y′′ = f ( y, y′)型的微分方程 .
方程特点】 【方程特点】右端不显含自变量 x.
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p = ϕ( y, C1 ),则可由
dy = ϕ( y,C1 )用分离变量法即可求出原 dx
方程的通解. 方程的通解.
dy ∫ ϕ ( y,C1 ) = x + C2
教材例5】 【教材例 】 求微分方程
yy′′ − y′ 2 = 0 的通解
d p d p dy dp = =p dx d y dx dy
令 y′ = p(x) , 则 y′′ = dp dx
′ = p( y) , 则 y′′ = p dp 令y dy
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【思考与练习】 思考与练习】
方程 ［ 答 ］令 如何代换求解 ? 或 均可. 均可
一般说, 用前者方便些. 一般说 用前者方便些 有时用后者方便 . 例如, 例如
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【例 2】求方程 2xy′y′′ = 1 + ( y′)2 的通解. 】 的通解.
【 解】 , 因 2xy′y′′ = 1 + ( y′)2 不显含未知函数 y,则令 y′ = p(x) ,
则
p = ± C1 x − 1 y′ = ± C1 x − 1.
y = ± ∫ (C1 x − 1) dx
2 (C1 x − 1) + C 2 =± 3C1
为所求方程的通解. 为所求方程的通解.
3 2
1 2
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3. y′′ = f ( y, y′)型的微分方程 .
方程特点】 【方程特点】右端不显含自变量 x.
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p = ϕ( y, C1 ),则可由
dy = ϕ( y,C1 )用分离变量法即可求出原 dx
方程的通解. 方程的通解.
dy ∫ ϕ ( y,C1 ) = x + C2
教材例5】 【教材例 】 求微分方程
yy′′ − y′ 2 = 0 的通解
d p d p dy dp = =p dx d y dx dy
令 y′ = p(x) , 则 y′′ = dp dx
′ = p( y) , 则 y′′ = p dp 令y dy
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【思考与练习】 思考与练习】
方程 ［ 答 ］令 如何代换求解 ? 或 均可. 均可
一般说, 用前者方便些. 一般说 用前者方便些 有时用后者方便 . 例如, 例如
5-4可降阶的微分方程
依此类推……
高等数学
05-04-06
例 求微分方程 y xex 的通解。
高等数学
05-04-07
例 质量为 m 的质点受力 F 作用沿 Ox 轴作直线运动。设力 F 仅是时间 t 的函数：F=F(t)。在开始时刻 t=0 时 F(0)=F0，随着时间 t 的增大，此 力 F 均匀地减小，直到 t=T 时 F(T)=0。如果开始时，质点位于原
高等数学
05-04-14
例若
x
x
f(x)0tf(t)d tx0f(t)d t3
求 f(x)。
高等数学
05-04-15
课堂讨论题 求微分方程 y 3 y 满 足初值条件 y |x0 1 ，y |x0 2 的特解。
高等数学
05-04-16
小结：高阶微分方程 可降阶的微分方程
作业：P122 习题五 5(1)(4)(7)
高等数学
一、y(n)=f(x) 型的微分方程 二、y=f(x, y) 型的微分方程 三、y=f(y, y) 型的微分方程
05-04-04
高等数学
05-04-05
微分方程
y(n) f (x)
两边积分
பைடு நூலகம்
y(n1) f(x)d xC1
两边再积分
y (n 2 )[f(x )d C x1 ]d C x2
点，且初速度为零，求此质点的运 动规律。
高等数学
课堂讨论题 解。
05-04-08
求下列微分方程的通
yxsinx
高等数学
微分方程
05-04-09
yf(x,y)
设 y p，则
y dp p dx
原微分方程变为一阶微分方程
pf(x,p)
可降解的二阶微分方程
y 原方程的通解为 C2 eC1x .
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程
2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
降阶法解方程
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
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例7.
解初值问题
y e2y 0 y x0 0 ,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
y
1
v
t x
y
s
x
1
1 y2 dx
y A vt
去分母后两边对 x 求导, 得
(0,1)
B(x, y)
①
(1,0) o x
又由于
d dt
x
1
1 y2 dx
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代入 ① 式得所求微分方程:
x
d2 dx
y
2
1 2
1 y2 0
其初始条件为
y x 1 0, y x 1 1
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
y A vt
B(x, y) (1,0) o x
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代入方程得
yn=fx型的微分方程
一、y(n) = f (x)型的微分方程
解法: 积分n 次
例1 求微分方程 y=e2x cos x
的通解．
y(n 1) = f (x)dxc1，
解 对所给方程接连积分三 次，得
y(n2) = [
· · · · · ·．
f (x)dxc1]dx c2，
y= 1 2
e 2xsin
x
C1，
y= 1 4
设方程 p dp =f(y,p)的通解为 dy
y=p=j(y,C1), 则原方程的通解为
解 设 y=p，则 y=pdp ， dy
代入方程，得
yp dp p 2=0． dy
在y0、p0时，约去p并分 离变量，得
dp = dy ． py
dy
j( y, C1 ) =xC2
．
三、y=f(y, y)型的微分方程
e 2xcos
xC1x
C2，
y= 1 e 2xsin x1
8
2
C1x2 C2x C 3．
这就是所给方程的通解．
例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox轴作直线运动．设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t)．在开始时刻 t=0时F(0)=F0 ，随着时 间 t 的增大，此力F 均匀地减小，直到 t=T 时，F(T)=0．如果开始
例3 求微分方程
(1x2) y=2xy
满足初始条件
的特解．
y|x=0 =1, y|x =0 =3
解 设y=p，代入方程并分 离变量，得
dp = 2x dx ． p 1 x2
由条件y|x =0 =3，得C 1=3， 所以
y=3(1x2)． 两边再积分，得
y=x33xC2． 又由条件y|x=0 =1, 得C 2=1， 于是所求的特解为
解法: 积分n 次
例1 求微分方程 y=e2x cos x
的通解．
y(n 1) = f (x)dxc1，
解 对所给方程接连积分三 次，得
y(n2) = [
· · · · · ·．
f (x)dxc1]dx c2，
y= 1 2
e 2xsin
x
C1，
y= 1 4
设方程 p dp =f(y,p)的通解为 dy
y=p=j(y,C1), 则原方程的通解为
解 设 y=p，则 y=pdp ， dy
代入方程，得
yp dp p 2=0． dy
在y0、p0时，约去p并分 离变量，得
dp = dy ． py
dy
j( y, C1 ) =xC2
．
三、y=f(y, y)型的微分方程
e 2xcos
xC1x
C2，
y= 1 e 2xsin x1
8
2
C1x2 C2x C 3．
这就是所给方程的通解．
例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox轴作直线运动．设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t)．在开始时刻 t=0时F(0)=F0 ，随着时 间 t 的增大，此力F 均匀地减小，直到 t=T 时，F(T)=0．如果开始
例3 求微分方程
(1x2) y=2xy
满足初始条件
的特解．
y|x=0 =1, y|x =0 =3
解 设y=p，代入方程并分 离变量，得
dp = 2x dx ． p 1 x2
由条件y|x =0 =3，得C 1=3， 所以
y=3(1x2)． 两边再积分，得
y=x33xC2． 又由条件y|x=0 =1, 得C 2=1， 于是所求的特解为
【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解 方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) 解法 设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
第五节可降阶的高阶微分方程
解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
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例1 求微分方程ye2xcos x 的通解
解 对所给方程接连积分三次 得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
y
1 8
e2x
sin
x
1 2
C1x2
C2 x
C3
这就是所给方程的通解
例2、设质量为m的质点在原点处，在与x轴同向的力：
1 p c1 y
p y c1 y
dy y c1 ydy dx
dx y
y c1
例5、一质量为m的子弹初速度v=200m/s打进厚度为0.1m的木板， 穿透木板后又以v=80m/s离开木板，木板对子弹阻力的大小与 子弹速度大小的平方成正比，求子弹穿透木板所需的时间。
再积分
x
1（t 2m
1 2
sin
2t）
C2
将x |t0 0代入 ， C2 0
所求运动规律为x 1（t 1 sin 2t） 2m 2
二、yf(x y)型的微分方程
❖方程的解法
例3 求方程(1x2)y2xy
设yp 则方程yf(x y) 的通解
C1(x ex ) C2
解：令 p y ' 原方程变为：
p '(1 ex ) p 0
分离变量
dp p
dx 1 ex
积出: Ln | p | Ln ex LnC
1 ex
3、yy '' ( y ')2 y '
3、yy '' ( y ')2 y解：
分离变量
1 p2
dp
a2dt
积分
1 p
a2t
C1
（4）
将x ' |t0 200代入（4）中
1 200
a2
*0
C1
C1
1 200
P
200 200a2t
1
将x
|t 0
0代入
C2
400t1 3
Ln(2t1)
x
400t1 3
[Ln(3t
2t1)
Ln(2t1)
dy
设此方程的通解为
即
dy
pj(y C1) j(y,c)
dx
dy dx
j ( y, c)
积出即可
或 于是
yp dp p2 0
dp
1
dy p
0
(
y0
p0)
dy p
y C1e
1 y
dy
C1
y
即
dy dx
c1 y
dy y c1dx
Ln | y | c1x c2
dy
令 p y ' 则 y '' p dp
原方程变为yp
dp
p2
dy
p
dx 1 c1 y
dy
dp
Ln |1 c1y | x C2
y p 1
dy 分离变量 dp dy
1 c1 y exC C2ex
1 p y 积出Ln |1 p | Ln | y | Lnc1
是x的平方，求曲线弧OA的曲线方程。
设曲线弧的方程为 y y(x)
依题意有 x y(t)dt 1 xy x2
0
对上式两端关于x求导
2 y(x)
1
(
y
xy
')
2x
y
整理得 y ' 1 y 4 2
x
y e P(x)dx ( Q(x)e P(x)dxdx C)
c1 y 1 C2ex
1 p c1 y
y C3 C4ex
即
dy dx
p 1 c1 y
y dp p 1 dy
分离变量 dp dy 1 p y
y c1Ln( y c1) x c2
积出 Ln |1 p | Ln | y | Lnc1 Ln |1 p | Ln | y | Lnc1
即
yC1(1x2)
两边再积分 得原方程的通解
y
C1(x
1 3
x3)
C2
三、yf(y y)型的微分方程
❖方程的解法
例4 求方程yyy20的通解
设yp
解 设yp 则原方程化为
yyyddddddpxpxpxddddddpypypyddddddyxyxyxpppddddddpypypy 原方程变为 p dp f (y, p)
p(x,y)
A(1,1)
e
1 x
dx
(
4e
1 x
dx
dx
C)
0
x(
4
1 x
dx
C)
x(4Lnx C)
因为曲线弧过A（1，1）点，代入通解 C=1
x
M
1
又因为曲线弧过O(0,0),但特解中对数在零点无意义， 所以补充定义y |x0 0
所求曲线弧方程为
y
x 0
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f (x)型的微分方程
二、yf(x y)型的微分方程 三、yf(y y)型的微分方程
一、y(n)f (x)型的微分方程
❖方程的解法 积分n次
yy(n(n11)) ff((xx))ddxxCC11 yy((nn22)) [[ ff((xx))ddxxCC11]]ddxxCC22
F (t) sin 2t 的作用下由静止开始直线运动，
求质点的运动规律？ 解：这是一个初值问题
m
d2x dt 2
sin 2t
积分
x
'
1 2m
cot
2t
C1
x |t0 0
x ' |t0 0
将x
'
|t 0
0代入 ，
C
1 2m
所以 x ' 1（1 cot 2t） 2m
4xLnx
0 x 1 x0
依题意 x ' |tt1 80代入得：
将x |tt1 0.1上式
80 200 a2 3
200a2t1 1
400t1
0.1
400t1 3
[Ln(3t1
2t1)
Ln(2t1)
dx p
200
400t1
dt
200 3 t 1 3t 2t1
400t1
分离变量dx 400t1 dt
3t 2t1
t1
3 400Ln2.5
8.2 *104
(s)
积分x
400t1 3
Ln(3t
2t1)
C2
作业 P229 习题4—5 1、 （1） （2）（6） 3、
3、设有连接O(0,0)和A（1，1）的一段向上凸的曲线弧，在曲
线弧上任取一点P(x,y),则由曲线弧OP和直线OP所围的面积
y Cec1x
课堂练习
1、 y ''
y'
1
6
1 x2 2
x3
cos x
sin x
C1
C1x
C2
2、 y ''(1 ex ) y ' 0
1 p
Cex 1 ex
p C1(1 ex )
y C1(1 ex )dx
化为
解 设yp 则原方程化为
pf(x p) 设此方程的通解为
pj(xC1)
则
yj(xC1)
于是方程yf(x y)的通解为
y j(x,C1)dx C2
(1x2)p2xp
或
dp dx
12xx2
p
0
于是 p C1e12xx2 dx C1(1 x2)
解： 设子弹运动方向为x轴，子弹进入木板的时刻为原点。
根据牛顿第二定律和题意得 x '' a2 (x ')2 (2)
m
d2x dt 2
k( dx )2 dt
(1)
其中k 0为比例系数，记a2 k
m
x
|t
0
0
x
'
|t
0
200
令 p x'
(2)变为 p ' a2 p2 (3)