一阶线性微分方程及伯努利介绍
伯努利方程伯努利Bernoulli
则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
例 10
解 两端除以 y，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f (u) u
0时,
得
du f (u) u
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2).
思考题1
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x elncos y sin2 y e lncos ydy C
积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例8
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
一阶线性微分方程的概念与解的结构讲解
y P( x) y Q( x).
则有
C( x) y1 C( x) y1 P( x)C( x) y1 Q( x),
解法一 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方
程的通解为 x
y Ce 2 , x
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e 2 ,
将 y 及 y 代入该方程，得
x
C( x)e 2
1 ex,
2
P( x)dx Nhomakorabea1 2
dx
x 2
,
x
e P ( x )dx e 2 ,
Q( x)e P( x)dxdx
1e xe
x
2 dx
e
x 2
,
2
代入通解公式，得原方程的通解为
xx
x
y (C e 2 )e 2 Ce 2 e x .
例 9 求解初值问题．
xy y cos x,
即 C( x) y1 C( x)( y1 P( x) y1 ) Q( x),
因 y1 是对应的线性齐次方程的解，故 y1 P( x) y1 0, 因此有
C( x) y1 Q( x),
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
C
(
x)
一阶线性微分方程及伯努利介绍
一阶线性微分方程及伯努利介绍为了解如何求解一阶线性微分方程，首先需要了解伯努利方程。
伯努利方程是一类形如dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程，其中n ≠ 0, 1、当n = 0时，该方程即为一阶线性微分方程。
伯努利方程具有一些特定的性质，使得可以通过变换将其转化为一阶线性微分方程。
具体而言，对于伯努利方程dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，可以通过以下变换将其转化为一阶线性微分方程。
令v = y^(1-n)，则dy/dx = (1-n)v'/v。
将此变换代入伯努利方程中，得到(1-n)v'/v + P(x)v^(1-n) = Q(x)。
整理得到v'/v + P(x)v^(-n) - Q(x) = 0，这是一阶线性微分方程。
因此，通过变换v = y^(1-n)，可以将伯努利方程转化为一阶线性微分方程。
对于一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，可以使用积分因子法求解。
积分因子是一个函数μ(x)，满足μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y =μ(x)Q(x)。
这样，对于乘以μ(x)后的方程就可以应用乘积法则，得到(d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x))。
进一步积分得到μ(x)y =∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常数。
因此，y = 1/μ(x) *(∫μ(x)Q(x)dx + C)。
要求积分因子μ(x)1. 将方程变为标准形式dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2. 计算μ(x) = e^(∫P(x)dx)。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到分母为0的情况。
此时，应当考虑特殊解。
另外，一些方程可能无法精确求解，需要通过数值方法近似求解。
总结起来，一阶线性微分方程是常见的微分方程形式，通过积分因子法可以求解。
伯努利方程是一类特殊的一阶微分方程，通过变换可以将其转化为一阶线性微分方程，从而求解。
对于一阶线性微分方程，积分因子法是常用的求解方法之一，可用于将方程转化为容易求解的形式。
一阶线性微分方程
∫ P ( y )dy dy + C ) ( ∫ Q ( y )e ∫ ( −1)dy dy + C ) ( ∫ ye
=e ∫
− ( −1 ) dy
= e y ( ∫ ye − y dy + C )
= e y ( − ye − y − e − y + C ) = Ce y − y − 1
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(3) ( y − x3 ) dx − 2x dy = 0 (4) 2y dx + ( y3 − x) dy = 0
(5) ( y ln x − 2) y dx = x dy
【思考题】 思考题】
cos y 的通解. 求微分方程 y′ = 的通解. cos y sin 2 y − x sin y
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【思考题解答】 思考题解答】
dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = dy cos y dx ∴ + (tan y ) ⋅ x = sin 2 y , dy
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
dz 关于z 的一阶线性方程 的一阶线性方程) 关于 + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) (关于 , x的一阶线性方程 dx
求出此方程通解后, 求出此方程通解后
∴y
1− n
换回原变量即得伯努利方程的通解. 换回原变量即得伯努利方程的通解
∫ (1− n ) P ( x ) dx dx + C ). ( ∫ Q ( x )(1 − n)e
一阶线性微分方程及伯努利介绍
一阶线性微分方程及伯努利介绍Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第三节 一阶线性微分方程内容要点一、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy =+ 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程成为0)(=+y x P dxdy 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程称为一阶非齐次线性方程.方程的通解.)(⎰-=dx x P Ce y其中C 为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为一阶非齐次线性方程的通解为[]⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( 二、伯努利方程：形如n y x Q y x P dxdy )()(=+ 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程两端除以n y ，得或 ),()()(1111x Q y x P y nn n =+'⋅--- 于是，令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli ，1654~1705)伯努利瑞士数学、力学、天文学家。
1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。
雅各布.伯努利出生于一商人世家。
他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。
他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。
他的母亲是市议员兼银行家的女儿。
高等数学B：一阶线性微分方程及伯努利方程
提示:
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2 线性方程
dy 2y
2
dy 2 y sin x y2 dx x x
伯努利 方程
11
备用题
1. 求一连续可导函数 f (x) 使其满足下列方程:
利用 y x 0 0 得 C1 2
故有
y 2 2ex (0 x 1)
13
2) 再解定解问题
y y 0 , x 1 y x 1 y(1) 2 2e1
此齐次线性方程的通解为 y C2ex (x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
通解为 4xy y4 C
6
例3. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
0
的通解
.
解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, dx 2 d x , 故方程可
x
变形为 2 d x x 2
dy y
y
这是以 x 为因变量, y为
自变量的一阶线性方程
由一阶线性方程通解公式 , 得
y
x
y y3
0
显然不是线性微分方程.
如果改写为 dx x y3 0 即 dx 1 x y2
dy y
dy y
将 x 看作 y 的函数，则是形如 x p( y)x q( y)
的线性微分方程
p( y) 1 q( y) y2
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
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一阶线性微分方程及伯
努利介绍
（【OO89W^^ZT\\'XCCB-BIU「2（）21（）N】
第三节一阶线性微分方程
内容要点
一、一阶线性微分方程
形如
软P(如X)
的方程称为一阶线性微分方程•其中函数P(Q、Q(x)是某一区间/上的连续函
数当QM = 0,方程成为
字+ P(x)y = 0 dx
这个方程称为一阶齐次线性方程•相应地，方程称为一阶非齐次线性方程.
方程的通解
其中C为任意常数.
求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法:即在求出对应齐次方程的通解后，将通解中的常数C变易为待定函数“(X),并设一阶非齐次方程通解为—阶非齐次线性方程的通解为
y = |j Q(x)e iPix}dx dx + C^fP(x)dx
二、伯努利方程：形如
V- + P(x)y = e(x)/
dx
的方程称为伯努利方程.其中〃为常数，且心0,1.
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的•事实上，在方程两端除以得
1一料
于是，令Z = .就得到关于变量z的一阶线性方程
丁 + (1 —n)P(x)z = (1- n)Q(x).
dx
利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解
雅各布•伯努利(Jacob Bermoulli, 1654~1705)
伯努利瑞士数学、力学、天文学家° 1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。
雅各布•伯努利出生于一商人世家。
他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。
他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。
他的母亲是市议员兼银行家的女儿。
雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。
雅格布毕业于巴塞尔大学,1671年获艺术硕士学位。
这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。
遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。
同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿,自学了数学和天文学。
1676年，他到日内瓦做家庭教师。
从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。
1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。
然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。
起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何学讲义》。
他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。
1681-1682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家。
通过访
问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。
这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关慧星的理论以及受到人们高度评价的重力理论。
回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于科技问题的文章，并且也继续研究数学着作。
1687年，雅格布在《教师学报》上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分方法B o 1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究。
1685年出版了他最早的关于概率论的文章。
由于受到活利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学。
在这同时，他的弟弟约翰•伯努利一直跟其学习数学。
1687年雅格布成为巴塞尔科学院的国外院士，
直到1705年去世。
在这段时间里，他一直与莱布尼兹保持着通信联系。
1699年，雅格布被选为巴黎科学院的国外院士，1701年被柏林科学协会（即后来的柏林科学院）接受为会员
雅各布•伯努利是在17-18世纪期间，欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家庭的重要成员之一，他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域。