解n阶微分方程
3.3微分方程的拉氏变换求解方法
Im
A1的角度 90
由于没有阻尼项与正弦函数相乘，因此正弦函 数为稳态值
s1 s3 s2
9
Re
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 4：F(s) 具有多重共轭复数极点（分母具有多重二次多项式 形式）
多重共轭复数极点非常少见
可以用处理多重实极点的方式来进行处理
LT-1
Im [s]平面
f (t ) A0 A e 1
s1t
A2 e
s2t
对于一个稳定系统，所有与通解相关的实极点 必须位于 S 平面的左半平面
Re
s1
s0
s2
系数 Ak 是 F(s) 在相应极点处的留数，因此一阶实极点的系数为
Ak [( s sk ) Yzs ( s ) Y (s) ]s sk [ zs ] ( s ) s sk X ( s) X
Yzs ( s ) a w s w a w1 s w1 a1 s a0 F (s) X ( s) s n bn 1 s n 1 b1 s b0
其中，通常有 nw，F(s) 是系 统传递函数 特征函数--(s) (s)=0 是系统的特征方程
LT-1
f (t ) A1e{ n j n
f (t ) 2 A e Ae
{ n tn n j 1 1
1
1
2
}t
}t n
A2 e{ n j n
{ n jn 2
1
1
2
}t
A3e s3t
s in(
2
} t A2 t ) A3ets3 A3e s3t 1 e
3
常微分方程中的几种非线性方程的解法1
2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。
鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。
本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。
如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。
在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。
这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。
关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解英文目录一、引言 (1)二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)2.1线性微分方程 (1)2.2非线性微分方程 (1)三、非线性微分方程的解法 (2)3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)3.1.3形如()()',,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)3.3常数变易法 (5)3.3.1引用定理3.1 (5)3.3.2形如dy y y g dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)3.3.4形如'x y xy y+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)3.4.3伯努利方程 (8)3.4.4黎卡提方程 (8)3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种简单有效的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的数值解法。
首先，根据给定的n阶非齐次线性微分方程，确定它的一组特权根以及其置换的相应特权向量。
其次，利用以上n项特权向量构造n阶特权伴随矩阵，然后解出该伴随矩阵的方程组，就可以确定该特解的系数基向量和整体解。
最后，使用前面求得的系数基向量和特权根构造出特解，即可得到n阶常系数非齐次线性微分方程特解要求的解。
另外，关于n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法有一个重要的常用结论，即当方程组有多个特权根时，特解就是由各自特权向量的乘积组成的。
这一定理可以使解决非齐次线性微分方程特解简便许多，算法的复杂度也降低了很多。
总的来说，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种非常有效、简单易操作的数值求解方法，可以帮助我们更加因材施教、快速有效地确定并获得满足特解要求的解。
n阶微分方程
n阶微分方程
n阶微分方程是指含有n阶导数的方程。
一般形式为：
[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0]
其中，(y) 是未知函数，(y') 是(y) 的一阶导数，(y'') 是(y) 的二阶导数，依此类推，(y^{(n)}) 是(y) 的n 阶导数。
(F) 是一个关于自变量(x) 和函数及其各阶导数的表达式。
解决n 阶微分方程需要找到满足方程的函数(y(x))，使得当(x)取任意值时，方程都成立。
求解n 阶微分方程的方法多种多样，常见的方法包括分离变量法、齐次线性微分方程的特征方程法、常系数线性微分方程的特征方程法等。
具体的求解方法会根据方程的形式和性质而有所不同。
例如，一个二阶线性微分方程的一般形式可以写作：
[a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = f(x)]
其中，(a(x))，(b(x))，(c(x))和(f(x))是已知函数，通过适当的方法可以求解出满足该方程的函数(y(x))。
1。
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法
Y
C1e1xT1
C2e2xT2
Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)
c2 e 2 x
c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解 第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件 满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内 容
一阶常系数线性齐次方程组的解法 高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x
第四章 n阶线性微分方程(10学时)
第四章n阶线性微分方程(10学时)教学目的: 本章主要讨论n阶线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，n阶线性微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法。
教学要求: 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程。
教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法。
教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数解法。
教学方法:讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。
本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。
第一讲§ 4.1 n阶线性微分方程的一般理论(3学时) 教学目的: 本节主要讨论线性齐次和非齐次微分方程的基本概念、基本理论和常数变易法。
教学要求: 掌握线性微分方程的基本概念和基本理论。
教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。
教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。
教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
n阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论。
4.1.1. 线性微分方程的一般概念我们将未知函数x及其各阶导数dxdt,…,nndtxd均为一次的n阶微分方程称为n线性微方程，它的一般形式为：++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt dxt a n n =++- （4.1）其中,2,1)((=i t a i …)n 及)(t f 都是区间b t a ≤≤上的连续函数,如果0)(≡t f ,则方程(4.1)变为++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt dxt a n n (4.2)我们称(4.2)为n 阶齐次线性方程，简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程，简称非齐线性方程，且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
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之比为常数. 反之， 之比为常数， 即 y1 与 y2 之比为常数 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 = λ , 则 y1 = λ y2，即 y1 - λ y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数 ， 则它们 线性相关 因此， 如果两个函数的比是常数，
u′′( x ) = 0,
式的解， 为简便起见， 则 y2 = uerx就是 ④式的解， 为简便起见 ， 取方程 u″(x) = 0 的一个解 u = x， 于是得到方程 ④且与 ″ ， y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 因此， 解为
y = C1e rx + C 2 xe rx = (C1 + C 2 x )e rx .
3° 特征方程具有一对共轭复根 r1 = α + iβ 与 ° r2 = α – iβ . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e(α + iβ )x 与 y2 = e(α - iβ )x. 这是两个复数解，为了便于在实数 这是两个复数解， 范围内讨论问题， 我们再找两个线性无关的实数解. 范围内讨论问题， 我们再找两个线性无关的实数解 由欧拉公式
* * * * * * ( y1 + y2 )′′ + p( x )( y1 + y 2 )′ + q( x )( y1 + y 2 )
= [y1*″ + p(x)y1*′ + q(x)y1*] + [y2*″ + p(x)y2*′ + q(x)y2*] = f 1(x) + f 2(x) ， 即 y1* + y2* 满足方程 ①，
二、二阶常系数线性微分方程的解法
如果二阶线性微分方程为 y″ + py′ + qy = f(x) ， ″ ′ 其中 p、 q 均为常数，则称该方程为二阶常系数线 、 均为常数，则称该方程为二阶常系数线 性微分方程. 性微分方程
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程根称为特征根 特征根. 程根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
定理 3
如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解， 是该方程所对应的线性齐次方程的通解， 特解， 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则 Y y = Y + y*， 是线性非齐次方程的通解. 是线性非齐次方程的通解 证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y″ + ″ p(x)y′ + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + ′ ″ ′ q(x)y = 0 的解，所以有 的解， y*″ + p(x)y*′ + q(x)y* = f (x)， ， Y″ + p(x)Y′ + q(x)Y = 0 . ″ ′
第四模块 微积分学的应用
第十三节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例
一、二阶线性微分方程解的结构
二阶微分方程的如下形式 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) ″ ′ 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程 f (x) 二阶线性方程 称为自由项 自由项， 称为二阶线性非齐次 称为自由项，当 f (x) ≠0 时，称为二阶线性非齐次 微分方程， 微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 简称二阶线性非齐次方程. 二阶线性非齐次方程 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，简称 二阶线性 称为二阶线性齐次微分方程 简称二阶线性 二阶线性齐次微分方程， 、 齐次方程. 齐次方程 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量 的已知连续函数. 这类方程的特点是： 的已知连续函数 这类方程的特点是 ： 右边是已知 函数或零， 函数或零，左边每一项含 y″ 或 y′ 或 y， 且每项均为 ″ ′ ， 例如 y″ + xy′ + y = x2 就是二 ″ ′ y″ 或 y′ 或 y 的一次项， 的一次项， ″ ′ ″ ′ 阶线性非齐次方程. 阶线性非齐次方程 而 y″ + x(y′)2 + y = x2 就不是二 阶线性方程. 阶线性方程
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， y2 因而它的通解为 r1 x r2 x y1 = C1e + C 2e . 这时， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数 将 y2 及 为待定函数. 为待定函数 其一阶、 其一阶、二阶导数 y′2 = (uerx)′ = erx(u′(x) + ru(x))， ′ ′ ′ ， y″2 = erx (u″(x) + 2ru′(x) + r2u(x))， 代入方程 y″+ ″ ″ ′ ， ″ py′ + qy = 0 中，得 ′
线性相关；如果不是常数，则它们线性无关 例如函 线性相关；如果不是常数，则它们线性无关. 数 y1 = ex，y2 = e -x， 而 y1 ≠ 常数， 所以，它们是线 常数， 所以， y2 性无关的. 性无关的
定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 ″ ′ 的两个线性无关的特解， y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数 是该方程的通解， 为任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的 ″ ′ 解， 所以， 也是该方程的解. 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解 线性无关， 之比不为常数， 又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数， 所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示 故C1 与C2不能合并为一个任意常数， ) 来表示. 不能合并为一个任意常数， 是二阶线性齐次方程的通解. 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解
−p 2° 特征方程具有两个相等的实根，即 r1 = r2 = . ° 特征方程具有两个相等的实根， 2
e rx [u′′ + ( 2r + p )u′ + ( r 2 + pr + q )u] = 0.
−p 注意到 r = 2
是特征方程的重根， 是特征方程的重根， 所 以 有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 u(x) 满足
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
′ ′ ′ ′ = (C1 y1′ + C 2 y2′ ) + p( x )(C1 y1 + C 2 y2 ) + q( x )(C1 y1 + C 2 y2 ) ′ ′ = C1 ( y1′ + p( x ) y1 + q( x ) y1 ) + C 2 ( y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y2 ) 2 2
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数 是任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 ″ ′ 的两个解， 的两个解， 所以有
=0 的解. 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的解 ″ ′