解n阶微分方程
之比为常数. 反之， 之比为常数， 即 y1 与 y2 之比为常数 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 = λ , 则 y1 = λ y2，即 y1 - λ y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数 ， 则它们 线性相关 因此， 如果两个函数的比是常数，
u′′( x ) = 0,
式的解， 为简便起见， 则 y2 = uerx就是 ④式的解， 为简便起见 ， 取方程 u″(x) = 0 的一个解 u = x， 于是得到方程 ④且与 ″ ， y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 因此， 解为
y = C1e rx + C 2 xe rx = (C1 + C 2 x )e rx .
3° 特征方程具有一对共轭复根 r1 = α + iβ 与 ° r2 = α – iβ . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e(α + iβ )x 与 y2 = e(α - iβ )x. 这是两个复数解，为了便于在实数 这是两个复数解， 范围内讨论问题， 我们再找两个线性无关的实数解. 范围内讨论问题， 我们再找两个线性无关的实数解 由欧拉公式
* * * * * * ( y1 + y2 )′′ + p( x )( y1 + y 2 )′ + q( x )( y1 + y 2 )
= [y1*″ + p(x)y1*′ + q(x)y1*] + [y2*″ + p(x)y2*′ + q(x)y2*] = f 1(x) + f 2(x) ， 即 y1* + y2* 满足方程 ①，
二、二阶常系数线性微分方程的解法
如果二阶线性微分方程为 y″ + py′ + qy = f(x) ， ″ ′ 其中 p、 q 均为常数，则称该方程为二阶常系数线 、 均为常数，则称该方程为二阶常系数线 性微分方程. 性微分方程
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程根称为特征根 特征根. 程根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
定理 3
如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解， 是该方程所对应的线性齐次方程的通解， 特解， 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则 Y y = Y + y*， 是线性非齐次方程的通解. 是线性非齐次方程的通解 证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y″ + ″ p(x)y′ + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + ′ ″ ′ q(x)y = 0 的解，所以有 的解， y*″ + p(x)y*′ + q(x)y* = f (x)， ， Y″ + p(x)Y′ + q(x)Y = 0 . ″ ′
第四模块 微积分学的应用
第十三节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例
一、二阶线性微分方程解的结构
二阶微分方程的如下形式 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) ″ ′ 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程 f (x) 二阶线性方程 称为自由项 自由项， 称为二阶线性非齐次 称为自由项，当 f (x) ≠0 时，称为二阶线性非齐次 微分方程， 微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 简称二阶线性非齐次方程. 二阶线性非齐次方程 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，简称 二阶线性 称为二阶线性齐次微分方程 简称二阶线性 二阶线性齐次微分方程， 、 齐次方程. 齐次方程 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量 的已知连续函数. 这类方程的特点是： 的已知连续函数 这类方程的特点是 ： 右边是已知 函数或零， 函数或零，左边每一项含 y″ 或 y′ 或 y， 且每项均为 ″ ′ ， 例如 y″ + xy′ + y = x2 就是二 ″ ′ y″ 或 y′ 或 y 的一次项， 的一次项， ″ ′ ″ ′ 阶线性非齐次方程. 阶线性非齐次方程 而 y″ + x(y′)2 + y = x2 就不是二 阶线性方程. 阶线性方程
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， y2 因而它的通解为 r1 x r2 x y1 = C1e + C 2e . 这时， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数 将 y2 及 为待定函数. 为待定函数 其一阶、 其一阶、二阶导数 y′2 = (uerx)′ = erx(u′(x) + ru(x))， ′ ′ ′ ， y″2 = erx (u″(x) + 2ru′(x) + r2u(x))， 代入方程 y″+ ″ ″ ′ ， ″ py′ + qy = 0 中，得 ′
线性相关；如果不是常数，则它们线性无关 例如函 线性相关；如果不是常数，则它们线性无关. 数 y1 = ex，y2 = e -x， 而 y1 ≠ 常数， 所以，它们是线 常数， 所以， y2 性无关的. 性无关的
定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 ″ ′ 的两个线性无关的特解， y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数 是该方程的通解， 为任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的 ″ ′ 解， 所以， 也是该方程的解. 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解 线性无关， 之比不为常数， 又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数， 所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示 故C1 与C2不能合并为一个任意常数， ) 来表示. 不能合并为一个任意常数， 是二阶线性齐次方程的通解. 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解
−p 2° 特征方程具有两个相等的实根，即 r1 = r2 = . ° 特征方程具有两个相等的实根， 2
e rx [u′′ + ( 2r + p )u′ + ( r 2 + pr + q )u] = 0.
−p 注意到 r = 2
是特征方程的重根， 是特征方程的重根， 所 以 有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 u(x) 满足
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
′ ′ ′ ′ = (C1 y1′ + C 2 y2′ ) + p( x )(C1 y1 + C 2 y2 ) + q( x )(C1 y1 + C 2 y2 ) ′ ′ = C1 ( y1′ + p( x ) y1 + q( x ) y1 ) + C 2 ( y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y2 ) 2 2
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数 是任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 ″ ′ 的两个解， 的两个解， 所以有
=0 的解. 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的解 ″ ′
3.3微分方程的拉氏变换求解方法
Im
A1的角度 90
由于没有阻尼项与正弦函数相乘，因此正弦函 数为稳态值
s1 s3 s2
9
Re
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 4：F(s) 具有多重共轭复数极点（分母具有多重二次多项式 形式）
多重共轭复数极点非常少见
可以用处理多重实极点的方式来进行处理
LT-1
Im [s]平面
f (t ) A0 A e 1
s1t
A2 e
s2t
对于一个稳定系统，所有与通解相关的实极点 必须位于 S 平面的左半平面
Re
s1
s0
s2
系数 Ak 是 F(s) 在相应极点处的留数，因此一阶实极点的系数为
Ak [( s sk ) Yzs ( s ) Y (s) ]s sk [ zs ] ( s ) s sk X ( s) X
Yzs ( s ) a w s w a w1 s w1 a1 s a0 F (s) X ( s) s n bn 1 s n 1 b1 s b0
其中，通常有 nw，F(s) 是系 统传递函数 特征函数--(s) (s)=0 是系统的特征方程
LT-1
f (t ) A1e{ n j n
f (t ) 2 A e Ae
{ n tn n j 1 1
1
1
2
}t
}t n
A2 e{ n j n
{ n jn 2
1
1
2
}t
A3e s3t
s in(
2
} t A2 t ) A3ets3 A3e s3t 1 e
3
常微分方程中的几种非线性方程的解法1
2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。
鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。
本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。
如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。
在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。
这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。
关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解英文目录一、引言 (1)二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)2.1线性微分方程 (1)2.2非线性微分方程 (1)三、非线性微分方程的解法 (2)3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)3.1.3形如()()',,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)3.3常数变易法 (5)3.3.1引用定理3.1 (5)3.3.2形如dy y y g dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)3.3.4形如'x y xy y+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)3.4.3伯努利方程 (8)3.4.4黎卡提方程 (8)3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种简单有效的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的数值解法。
首先，根据给定的n阶非齐次线性微分方程，确定它的一组特权根以及其置换的相应特权向量。
其次，利用以上n项特权向量构造n阶特权伴随矩阵，然后解出该伴随矩阵的方程组，就可以确定该特解的系数基向量和整体解。
最后，使用前面求得的系数基向量和特权根构造出特解，即可得到n阶常系数非齐次线性微分方程特解要求的解。
另外，关于n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法有一个重要的常用结论，即当方程组有多个特权根时，特解就是由各自特权向量的乘积组成的。
这一定理可以使解决非齐次线性微分方程特解简便许多，算法的复杂度也降低了很多。
总的来说，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种非常有效、简单易操作的数值求解方法，可以帮助我们更加因材施教、快速有效地确定并获得满足特解要求的解。
n阶微分方程
n阶微分方程
n阶微分方程是指含有n阶导数的方程。
一般形式为：
[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0]
其中，(y) 是未知函数，(y') 是(y) 的一阶导数，(y'') 是(y) 的二阶导数，依此类推，(y^{(n)}) 是(y) 的n 阶导数。
(F) 是一个关于自变量(x) 和函数及其各阶导数的表达式。
解决n 阶微分方程需要找到满足方程的函数(y(x))，使得当(x)取任意值时，方程都成立。
求解n 阶微分方程的方法多种多样，常见的方法包括分离变量法、齐次线性微分方程的特征方程法、常系数线性微分方程的特征方程法等。
具体的求解方法会根据方程的形式和性质而有所不同。
例如，一个二阶线性微分方程的一般形式可以写作：
[a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = f(x)]
其中，(a(x))，(b(x))，(c(x))和(f(x))是已知函数，通过适当的方法可以求解出满足该方程的函数(y(x))。
1。
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法
Y
C1e1xT1
C2e2xT2
Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)
c2 e 2 x
c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解 第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件 满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内 容
一阶常系数线性齐次方程组的解法 高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x
第四章 n阶线性微分方程(10学时)
第四章n阶线性微分方程(10学时)教学目的: 本章主要讨论n阶线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，n阶线性微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法。
教学要求: 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程。
教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法。
教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数解法。
教学方法:讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。
本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。
第一讲§ 4.1 n阶线性微分方程的一般理论(3学时) 教学目的: 本节主要讨论线性齐次和非齐次微分方程的基本概念、基本理论和常数变易法。
教学要求: 掌握线性微分方程的基本概念和基本理论。
教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。
教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。
教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
n阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论。
4.1.1. 线性微分方程的一般概念我们将未知函数x及其各阶导数dxdt,…,nndtxd均为一次的n阶微分方程称为n线性微方程，它的一般形式为：++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt dxt a n n =++- （4.1）其中,2,1)((=i t a i …)n 及)(t f 都是区间b t a ≤≤上的连续函数,如果0)(≡t f ,则方程(4.1)变为++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt dxt a n n (4.2)我们称(4.2)为n 阶齐次线性方程，简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程，简称非齐线性方程，且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
第四章N阶线性微分方程
第四章 n阶线性微分方程§4.1 n阶线性微分方程的一般理论一、教学目的与要求：（1）了解n阶线性微分方程与生产实践的关系；（2）掌握n阶线性微分方程的有关基本概念.（3）理解函数组在区间I上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义.（4）掌握n阶线性齐次微分方程和n阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明.（5）掌握刘维尔(Liouvill e)公式及其应用.二、教学重点，难点：（1）分析应用实例，建立满足相应问题的n阶线性微分方程.（2）掌握n阶线性微分方程的有关基本概念.（3）函数组在区间I上线性相关和线性无关的概念, 函数组的朗斯基(Wronski)行列式的定义, 以及它们之间的关系.（4）n阶线性齐次微分方程和n阶线性非齐次微分方程的通解结构定理及其证明.（5）刘维尔(Liouvill e)公式及其应用.4.1.1 线性微分方程的一般概念n阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用．在介绍线性方程的一般理论之前，先让我们来研究一个实际例子.例1弹簧振动.图 4-1设一质量为m的物体B被系于挂在顶板上一弹簧的末端，(我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的可以忽略不计的)，现在来求该物体在外力扰动时的运动微分方程式．当物体B不受外力扰动时，重力被作用于物体B上的弹簧的弹力所平衡而处于静止位置，把物体B的静止位置取为坐标轴x的原点0，向下方向取为正向，如图4-1的(a).若有一外力f (t )沿垂直方向作用在物体B 上，那么物体B 将离开静止位置0，如图4-1的(b )，记()x x t =表物体B 在t 时刻关于静止位置0的位移，于是22,dx d x dt dt 分别表示物体B 的速度和加速度．由牛顿第二定律F = ma , m 是物体B 的质量，22d xa dt=是物体B 位移的加速度，而F 是作用于物体B 上的合外力．这时，合外力F 由如下几部分构成．(1)弹簧的恢复力f 1，依虎克定律，弹簧恢复力f 1与物体B 的位移x 成正比，即1f cx =-式中比例常数c (>0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f 1的方向与位移x 的方向相反，所以上式右端添一负号．(2)空气的阻力f 2，当速度不太大时，空气阻力f 2可取为与物体B 位移的速度成正比，亦即2dx f dtμ=-式中比例常数(0)μ>叫作阻尼系数，式中右边的负号，是由于阻力f 2的方向与物体B 的速度dxdt的方向相反． (3) 外力()f t 因此，我们得到()dxF cx f t dtμ=--+ 从而我们得物体B 在外力()f t 作用下的运动微分方程式22()d x dxm cx f t dt dtμ++= (4.1) 我们将在本章第4节，详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动的性质．由于方程(4.1)是描述物体B 在外力f (t )经常作用下的运动，所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动． 例2 电振荡在很多无线电设备(如收音机和电视机)中,我们经常见到如图(4.2)的回路. 它由四个元件组成,即电源(设其电动势为E). 电阻R , 电感L 以及电容器C . 为了简单起见, 电容器的电容量我们也用C 表示.它所储藏的电荷量为q .这时电容器的两个极板分别带着等量但符号相反的电荷,极板间的电位差等于1c E q C=此外, 当电路中流过交流电时, 电容器极板上的电量以及它们的正负符号均随时间发生变化. 根据电流定义, 这时有dq i dt=. 根据基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律,在闭合回路中全部元件的电压的代数和等于零,即0di qE Ri Ldt C---= 整理后可得di qLRi E dt C+-= (4.2) 考虑到dqi dt=,上式可写成 22d q dq qL RE dt dt C+-= (4.3) 于是,得到了关于电荷量q 的方程.如果在式(4.2)两端对t 求导数,并假设E 是常量(直流电压),则可得关于电流的方程220d i di iL R dt dt C+-= (4.4)实验表明,在一定条件下,上述回路中的电流会产生周期振荡,因此我们把上述回路称为电振荡回路.不难看出,方程(4.1),(4.3)和(4.4)都具有一个明显的特点,就是在这些方程中,未知函数及其导数是一次式,因此这些方程称为线性微分方程.又由于出现在上述方程中的导数的最高阶数为2,故我们称上述方程为二阶线性微分方程.一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形状： ()(1)11()()()()n n n n yp x y p x y p x y f x --'++++= (4.5)方程(4.5)的初始条件记为(1)(1)000000(),(),,()n n y x y y x y y x y --''=== (4.6)n 阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处理.在方程(4.5)中，令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===,(4.5)就可以化成一阶方程组1122111111()()()()n n n n n n dy y dx dy ydx dyy dx dy p x y p x y p x y f x dx-----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪=----+⎪⎩ (4.7)(4.7)可以写成向量形式 ()()dYA x F x dx=+ (4.8) 其中12101000010()()()()()n n n A x p x p x p x p x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦12100(),0()n y y F x Y y y f x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦方程组(4.8)的初始条件可记为00()Y x Y =其中001000(1)100()()()n n y x y y x y Y y x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦引理4.1 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解，则1111(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--===,是方程组(4.7)在区间I 上的解；反之，若(1)11(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--'===是方程组(4.7)在区间I 上的解，则()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.证明 设()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.令(1)121()(),()(),,()()n n x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ--'''=== (4.9)则有11211111()()()()()()()()()()()n n n n d x x dx d x x dx d x p x x p x x p x f x dxϕϕϕϕϕϕϕϕ---⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=----+⎪⎩ (4.10)在区间I 上恒成立. 这表明，1111(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--===是方程组(4.7)在区间I 上的解.反之，设1111(),(),,()n n y x y x y x ϕϕϕ--===是方程组(4.7)在区间I 上的解.于是(4.10)式在区间I 上恒成立.由(4.10)的前n-1个等式.可以看出，函数11(),(),,()n x x x ϕϕϕ-满足关系式(4.9)，将它们代入到(4.10)的最后一个等式，就有()(1)11()()()()()()()()n n n n x p x x p x x p x x f x ϕϕϕϕ--'++++=在区间I 上恒成立，这就表明()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.证毕. 由引理4.1和第三章的定理3.1′,我们立即可以得到下面的定理． 定理4.1 如果方程(4.5)的系数()(1,2,,)k p x k n =及其右端函数f(x)在区间I 上有定义且连续，则对于I 上的任一0x 及任意给定的(1)000,,,n y y y -'，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在I 上存在且唯一.在下面的讨论中，总假设(4.5)的系数()(1,2,,)k p x k n =及其右端函数f(x)在区间I 上连续，从而，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在整个区间I 上总存在且唯一.如果在(4.5)中，()f x 在区间I 上恒等于零, (4.5)变成 ()(1)11()()()0n n n n yp x y p x y p x y --'++++= (4.11)方程(4.11)称为n 阶线性齐次微分方程 (或简称n 阶齐次方程)，与此相应，(4.5)称为n 阶线性非齐次微分方程(或简称n 阶非齐次方程).有时，为了叙述上的方便，还称(4.11)为(4.5)的对应的齐次方程.4.1.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论由引理4.1，齐次方程(4.11)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组()dYA x Y dx= (4.12)这里()A x 和Y 与(4.8)中的相同.于是由第三章的定理3.2可知，齐次方程(4.11)的所有解也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.11)的解的结构，我们需要下面的定义和引理.定义4.1 函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ称为在区间I 上线性相关，如果存在一组不全为零的常数12,,,n a a a ,使得1122()()()0n n a x a x a x ϕϕϕ+++= (4.13)在区间I 上恒成立. 反之，如果只当120n a a a ====时，才能使(4.13)在I 上成立，则称函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性无关.引理4.2 一组n -1阶可微的数值函数12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关的充要条件是向量函数组122(1)(1)(1)12()()()()()(),,,()()()n nn n n n x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4.14) 在I 上线性相关.证明 若12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关，则存在一组不全为零的常数12,,,n a a a ，使得1122()()()0n n a x a x a x ϕϕϕ+++= (4.15)0在I 上恒成立.将(4.15)0式对x 逐次微分n -1次，得1122()()()0n na x a x a x ϕϕϕ'''+++= (4.15)1 … … … … … … … … … … …(1)(1)(1)1122()()()0n n n n n a x a x a x ϕϕϕ---+++= (4.15)n -1联合(4.15)0，(4.15)1，…，(4.15)n -1，就得到向量函数组(4.14)是线性相关的. 反之，若向量函数组(4.14)在I 上线性相关， 则存在不全为零的常数12,,,n a a a ，使得(4.15)０，(4.15)１，…，(4.15)n-1各式在I 上恒成立，由(4.15)０表明12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I上线性相关. 证毕.由引理4.2，为了建立函数组线性相关与线性无关的判别法则，自然需要引入下面的定义.定义4.2 设函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ中每一个函数()(1,2,,)k x k n ϕ=均有n -1阶导数，我们称行列式1212(1)(1)(1)12()()()()()()()()()()n n n n n n x x x x x x W x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---'''=为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式. 有了以上的准备工作，我们现在可以清楚地看到，齐次方程(4.11)的一般理论完全可以归结为第三章中一阶线性齐次微分方程组的一般理论来加以处理.由§3.3中关于齐次方程组的有关定理，可以自然地得到下面的关于齐次方程(4.11)的一系列定理.定理4.2 齐次方程(4.11)的n 个解 12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在其定义区间I 上线性无关(相关)的充要条件是在I 上存在点x 0，使得它们的朗斯基行列式W(x ０)≠0 (W (x ０)＝0).定理4.3 如果12(),(),,()n x x x ϕϕϕ是方程(4.11)的n 个线性无关解，则1122()()()n n y C x C x C x ϕϕϕ=+++ (4.16)是方程(4.11)的通解，其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.通常称定理4.3为方程(4.11)的基本定理.定义4.3 方程(4.11)的定义在区间I 上的n 个线性无关解称为(4.11)的基本解组.由定义4.3，方程(4.11)的基本定理又可叙述为：方程(4.11)的通解为它的基本解组的线性组合.例3 易于验证函数12cos ,sin y x y x ==是方程0y y ''+=的解.并且由它们构成的朗斯基行列式1212cos sin 10sin cos y y x xx xy y ==≠''-在（－∞，＋∞）上恒成立，因此，这两个函数是已知方程的两个线性无关解，即是一基本解组，故该方程的通解可写为 12()cos sin y x C x C x =+其中, 12,C C 是任意常数. 不难看出，对于任意的非零常数12,k k ， 函数组1122cos ,sin y k x y k x ==都是已知方程的基本解组.基本定理表明，齐次方程(4.11)的所有解的集合是一个n 维线性空间.进一步，我们还有定理4.4 n 阶齐次方程(4.11)的线性无关解的个数不超过n 个.定理4.5 n 阶齐次方程(4.11)总存在定义在区间I 上的基本解组. 最后，齐次方程(4.11)的解与它的系数之间有如下关系.定理4.6 设12(),(),,()n x x x ϕϕϕ是方程(4.11)的任意n 个解，W (x )是它们朗斯基行列式，则对区间I 上的任一0x 有10()0()()xx p t dtW x W x e-⎰= （4.17）上述关系式称为刘维尔(Liouvill e )公式.由公式(4.17)可以再次看出齐次方程(4.11)的朗斯基行列式的两个重要性质： １．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I 上某一点为零，则在整个区间I 上恒等于零.２．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I 上某一点不等于零，则在整个区间I 上恒不为零下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程y ″+p(x)y ′+q(x)y=0 如果已知它的一个非零特解y １，依刘维尔公式(4.17),可用积分的方法求出与y 1线性无关的另一特解，从而可求出它的通解.设y 是已知二阶齐次方程一个解，根据公式(4.17)有1()1p x dsy y Ce y y -⎰=''或 ()11p x dxy y yy Ce -⎰''-=为了积分上面这个一阶线性方程，用211y 乘上式两端，整理后可得 ()211p x dxd y C edx y y -⎛⎫⎰= ⎪⎝⎭ 由此可得 ()*211p x dxy Ce dx C y y -⎰=+⎰ 易见()1211p x dx y y e dx y -⎰=⎰是已知方程的另一个解，即*0,1C C ==所对应的解.此外，由于1()10p x dsy y Ce y y -⎰=≠''所以，所求得的解y 与已知解y １是线性无关解.从而，可得已知方程的通解()*11211p x dx y C y Cy e dx y -⎰=+⎰（4.18） 其中C*和C 是任意常数.例4 求方程 2(1)220x y xy y '''--+= 的通解. 解 容易看出，已知方程有特解1y x =.此处22()1xp x x=--, 根据公式(4.18)，立刻可以求得通解22*11211xdx x y y C C e dx y -⎡⎤⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰*22(1)dxx C C x x ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰ *2111112121x C C dx x x x ⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦⎰ *111ln 21x C Cx x x +⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭*1ln 121x x C C x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭4.1.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论由于n 阶非齐次方程(4.5)等价于一阶非齐次方程组(4.7)，于是由第三章的定理3.10，我们有下面的 定理4.7 n 阶线性非齐次方程(4.5)的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.由此可见，求(4.5)的通解问题，就归结为求(4.5)的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了.和一阶非齐次线性微分方程组一样，对于非齐次方程(4.5)，也能够由对应齐次方程的一个基本解组求出它本身的一个特解，即常数变易法.具体作法如下.设12,,,n y y y 是(4.5)的对应齐次方程的n 个线性无关解，则函数1122n n y C y C y C y =+++是(4.5)的对应齐次方程的通解，其中12,,,n C C C 是任意常数.现在设一组函数12(),(),,()n C x C x C x ，使1122()()()n n y C x y C x y C x y =+++ (4.19)成为非齐次方程(4.5)的解由非齐次方程(4.5)与一阶非齐次方程组(4.7)的等价关系和第三章的(3.18)式，可知，12(),(),,()n C x C x C x '''，满足下面的非齐次方程组121212(1)(1)(1)12()()()()0()0()()()()()()()()n n n n n n n y x y x y x C x C x y x y x y x C x f x y x y x y x ---⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (4.20)它是关于变量()(1,2,,)i C x i n '=的线性代数方程组，由于它的系数行列式恰是齐次方程的n 个线性无关解的朗斯基行列式W(x)，故它恒不为零，因此，上述方程组关于()i C x '有唯一解.解出后再积分，并代入到(4.19)中，便得到(4.5)的一个特解.例5 求非齐次方程 1cos y y x''+=的通解. 解 由例3知12cos ,sin y x y x ==是对应齐次方程的线性无关解，故它的通解为112cos sin y C x C x =+现在求已知方程形如 112()cos ()sin y C x x C x x =+的一个特解.由关系式(4.20),12(),()C x C x ''满足方程组120()cos sin 1sin cos ()cos C x x x x x C x x ⎡⎤⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦或写成纯量方程组 1212()cos ()sin 01()sin ()cos cos C x x C x x C x x C x x x ⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩解上述方程组，得 12sin (),()1cos xC x C x x''=-= 积分得 12()ln cos ,()C x x C x x ==故已知方程的通解为 12cos sin cos ln cos sin y C x C x x x x x =+++思考题：1. 如何才能做到正确分析应用实例，建立满足相应问题的n 阶线性微分方程?2. 何为函数组在区间I 上线性相关和线性无关？ 何为函数组的朗斯基(Wronski)行列式？它们之间有何关系？3. 什么是n 阶线性齐次微分方程和n 阶线性非齐次微分方程的通解结构定理？如何证明？4. 什么是刘维尔(Liouvill e )公式如何用它求二阶线性齐次微分方程的通解？5. 如何用常数变易法求n 阶线性非齐次微分方程的一个特解？§4.2 n 阶常系数线性齐次方程解法一、教学目的与要求：（1）掌握n 阶常系数线性齐次方程当特征根为单根时的求解方法； （2）掌握n 阶常系数线性齐次方程当特征根有重根时的求解方法. 二、教学重点，难点：待定指数函数法, 求n 阶常系数线性齐次方程当特征根为单根、重根时的基本解组.本节只讨论常系数线性齐次方程()(1)110n n n n y a y a y a y --'++++= （4.21）的求解问题，这里12,,,n a a a 为实常数.由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可.虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决.其中，一个自然的作法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组.但是这样的推导过程并不十分简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用下面的待定指数函数法求解. 首先，研究一个简单的一阶方程y ′+ ay = 0 （4.22） 其中a 是常数，不难求出它有特解axy e-=比较(4.21)与(4.22)，我们可以猜想方程(4.21)也有形如x y e λ= （4.23）的解，其中λ是待定常数.将(4.23)代入(4.21)中得到111()0n n x n n a a a e λλλλ--++++= （4.24）因为0xeλ≠，所以有111()0n n n n P a a a λλλλ--=++++= （4.25）我们称(4.25)为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根.这样，xy e λ=是方程(4.21)的解，当且仅当λ是特征方程(4.25)的根. 下面分两种情形讨论. 4.2.1 特征根都是单根.定理4.8 若特征方程(4.25)有n 个互异根12,,,n λλλ，则1212,,,n x x x n y e y e y e λλλ=== （4.26）是方程(4.21)的一个基本解组. 证明 显然，(1,2,,)i xi y ei n λ==分别是(4.21)的解.它们的朗斯基行列式1212121211112()n nnxxx xxxn xx xn n n n e e e e e e W x e e e λλλλλλλλλλλλλλλ---=1212()11112111n n xn n n n eλλλλλλλλλ+++---=12()1()0,(,)n xi j j i ne x λλλλλ+++≤<≤=-≠∈-∞+∞∏.从而(4.26)是方程(4.21)的一个基本解组.上述行列式为著名的范德蒙(Vandermond)行列式．例1 求方程y ″－5y ′= 0 的通解.解 特征方程为250λλ-=特征根为120,5λλ==，故所求通解为512x y C C e =+其中12,C C 为任意常数. 例2 求方程y ″－5y ′+ 6y ＝0 的通解及满足初始条件：当x = 0时，y = 1, y ′＝2 的特解.解 特征方程为2560λλ-+=特征根为122,3λλ==，故所求通解为2312x x y C e C e =+其中12,C C 为任意常数.将初始条件代入方程组2312231223x xx xy C e C e y C e C e ⎧=+⎨'=+⎩ 得12121223C C C C =+⎧⎨=+⎩ 由此解得210,1C C ==. 因而所求特解为2x y e =特征方程(4.25)可能有复根，由于其系数是实的，它的复根一定是共轭成对地出现.即此时在相异特征根12,,,n λλλ中有复数，比如(,)k a ib a b λ=+为实数，则1k a ib λ+=-也是(4.25)的根.由定理4.8，这两个特征根所对应的解是实变量复值函数()cos sin a ib x ax ax k y e e bx ie bx +==+ ()1cos sin a ib x ax ax k y e e bx ie bx -+==-我们可以按照3.5节中对常数线性方程组的同样处理方法，把这两个复值解实值化，即取其实部cos axe bx 和虚部sin axe bx 作为这两个根所对应的解，并且它们与其余的特征根所对应的解仍然是线性无关的.例3 求方程39130y y y y ''''''-++=的通解.解 特征方程为3239130λλλ-++=或2(1)(413)0λλλ+-+=由此得1231,23,23i i λλλ=-=+=-因此，基本解组为22,cos3,sin 3x x x e e x e x -通解为2123(cos3sin 3)x x y C e e C x C x -=++例4 求方程440y y y y ''''''-+-=的通解.解 特征方程为32440λλλ-+-=由于322244(1)4(1)(1)(4)λλλλλλλλ-+-=-+-=-+故特征根为1231,2,2i i λλλ===-基本解组为,cos 2,sin 2x e x x故所求通解为123cos 2sin 2x y C e C x C x =++4.2.2 特征根有重根设1λ是(4.25)的(1)k k n <≤重根(实的或复的)，由定理4.8知1xe λ是(4.21)的一个解，如何求出其余的k -1个解呢?先看一下最简单的二阶常系数方程0y py qy '''++=并设24p q =.特征方程为20p q λλ++=由于24p q =，易见12pλ=-是二重特征根, 它对应的解为 21p x y e -=.现求已知方程和1y 线性无关的另一特解. 由公式(4.18)，这一特解可取为()22121p x dx p p pxx x px e e y dx e dx xe y e-----⎰==⎰⎰ 这样，二重特征根12pλ=-所对应的两个线性无关解是22,p p x x exe--进一步，可以证明，若1λ是(4.25)的k 重根，则(4.21)有形如1111,,,x x x k e xe x e λλλ-的k 个特解. 为此，只需证明：对m = 0,1，…，k －1，总有 1[]0xm L x eλ≡这里L 是由方程(4.21)左端所定义的线性微分算子，即[]L y =()(1)11n n n n y a y a y a y --'++++ (4.27)首先，我们知道，若1λ是(4.25)的k 重根，则有(1)()1111()()()0,()0k k p p p p λλλλ-'====≠ (4.28)其次，易见[](),m x xxm x mL e p e e x e λλλλλλ∂==∂ 又由于[][](())m m m m xx x xm m mL x e L e L e p e λλλλλλλλ⎡⎤∂∂∂===⎢⎥∂∂∂⎣⎦()(1)(2)2(1){()()()()}2!m m m m x m m pmp x p x p x e λλλλλ---=++++ (4.29)于是由(4.28)立刻得到1[]0xm L x e λ≡, m = 0,1，…，k －1，即函数1111,,,xx x k exe x e λλλ-都是(4.21)的解.一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的 定理4.9 如果方程(4.21)有互异的特征根12,,,,p λλλ 它们的重数分别为12,,,,p m m m 1,i m ≥ 且12,p m m m n +++= 则与它们对应的(4.21)的特解是11112222111,,,,,,,,,p p p p x x m x x x m x xxm xe xe x e e xe x e exexeλλλλλλλλλ--- (4.30)且(4.30)构成(4.21)在区间(－∞，＋∞)上的基本解组.在(4.30)中可能出现复解，比如1a ib λ=+是(4.21)的1m 重特征根，则其共轭a －ib 也是(4.21)的1m 重特征根. 因此，此时(4.30)中含有如下的12m 个解 11()()(),,,m a ib xa ib x a ib x e xe x e -+++ 11()()(),,,m a ib xa ib x a ib x exe x e ----与单特征根处理复值解的同样作法，我们可在(4.30)中用下面的12m 个实值解替换这12m 个复值解.11cos ,cos ,,cos m axax ax e bx xe bx x e bx - 11sin ,sin ,,sin m ax ax ax e bx xe bx x e bx -对于其它复根也同样处理，最后就得到方程(4.21)的n 个线性无关的实解. 例5 求方程y ″＋4y ′+ 4y ＝0的通解.解 特征方程为 2440λλ++=12λ=-是二重特征根，故所求通解是212()xy eC C x -=+例6 求方程 (4)45440y y y y y ''''''-+-+=的通解.解 特征方程是43245440λλλλ-+-+= 由于432224544(2)(1)λλλλλλ-+-+=-+ 故特征根是 1,2342,,i i λλλ===- 它们对应的实解为22,,cos ,sin x x e xe x x所求通解为221234cos sin x x y c e c xe c x c x =+++例7 求方程330y y y y ''''''-+-=的通解.解 特征方程是323310λλλ-+-=由于323331(1)λλλλ-+-=-故特征根为1,2,31λ=所对应的解为2,,x x x e xe x e故所求通解为2123()x y e C C x C x =++本节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题解，而且还能求出边值问题解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题．常微分方程的边值问题与求解某些偏分微方程密切相关，例如弦振动方程的求解问题就归结为下面的二阶常系数线性方程边值问题是否存在非零解． 例8 试讨论λ为何值时，方程0y y λ''+=满足(0)(1)0y y ==的非零解．解 (1) 当0λ=时，方程的通解是12y C C x =+ 要使(0)(1)0y y ==，必须120C C ==，于是()0y x ≡.(2) 当0λ<时，方程的通解是12y C C e =+要使(0)0y =，必须120C C +=，即21C C =-，因此，要使(1)0y =，即120C C e =+将21C C =-代入上式，有1(0C e -=必须有10C =,从而20C =，于是()0y x ≡.(3) 当0λ>时，方程的通解是12y C C =+要使(0)0y =，必须有10C =，于是2y C =要使(1)0y =，只要0=即可．要使sin 0=, 当且仅当22n λπ=, 从而22n n λπ=,方程有非零解22()sin (0,1,2,)n y x C n x C n π=≠=±±.思考题：1. 何为待定指数函数法?2. 如何求n 阶常系数线性齐次方程()(1)110n n n n ya y a y a y --'++++=当特征根为单根、复根、重根时的一个基本解组?§4.3 n 阶常系数线性非齐次方程解法一、教学目的与要求：（1） 掌握求n 阶常系数线性非齐次方程的一个特解的方法.（2）理解并掌握当非齐次项()()xm f x p x e α=，(1)(2)()()cos ()sin x m m f x e P x x P x x αββ⎡⎤=+⎣⎦时，如何用待定系数法求非齐次方程()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++= 的一个特解.（3）理解并掌握 n 阶常系数线性非齐次方程的一个重要性质——叠加原理.二、教学重点，难点：（1）求n 阶常系数线性非齐次方程 ()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++=的一个特解的方法.（2）非齐次项()()x m f x p x e α=，(1)(2)()()cos ()sin x m m f x e P x x P x x αββ⎡⎤=+⎣⎦时，如何用待定系数法求非齐次方程()(1)11()n n n n ya y a y a y f x --'++++= 的一个特解.（3）n 阶常系数线性非齐次方程 ()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++=的一个重要性质——叠加原理及其证明.本节研究n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()n n n n y a y a y a y f x --'++++= (4.33)的解法.我们已知道，(4.33)的通解等于它的对应齐次方程通解和它本身一个特解之和.我们在上一节已经掌握了齐次方程通解的求法，现在问题归结到如何求(4.33)的一个特解，其方法主要有两种，一种是常数变易法，这在§4.1己介绍过，它是求非齐次方程特解的一般方法，但计算比较麻烦.下面介绍第二种方法，即待定系数法，其计算较为简便，但是主要适用于非齐次项的某些情形.这里，我们考虑如下两种类型的非齐次项(1)(2)()()()()cos ()sin xm xmmf x p x e f x e P x x P x x ααββ=⎡⎤=+⎣⎦其中(1)(2)(),(),()m m m P x P x P x 都是已知多项式，,αβ是常数．我们称前者为第一类型非齐次项，后者为第二类型齐次项．4.3.1 第一类型非齐次项特解的待定系数解法现在，考虑()()xm f x p x e α=时，非齐次方程(4.33)的非齐次特解的求法，先从最简单的二阶方程x y py qy e α'''++= （4.34）开始.因为xeα经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如x y Ae α= （4.35）的特解，其中A 为待定常数. 将(4.35)代入(4.34)得到2()x x A p q e e αααα++=则21A p qαα=++ (4.36) 这样，当α不是特征方程20p q λλ++= （4.37）的根时，则用(4.36)所确定的A 便得到(4.34)的特解.当α是(4.37)的单根时，即20p q αα++=，这时(4.36)无法确定A .此时，可设特解为x y Axe α= (4.38)并将它作为形式解代入(4.34)式，得2()(2)x x x A p q xe A p e e αααααα++++=因α是单特征根，故可解出12A pα=+ (4.39)这时(4.34)便有形如(4.38)的特解，其中A 由(4.39)确定. 如果α是(4.37)的重根，则2pα=-，这时(4.38)的形式已不可用.此时，可设特解为2x y Ax e α=将它作为形式解，代入(4.34)得到22()2(2)2x x x x A p q x e A p xe Ae e ααααααα+++++=由于α是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到12A =综上所述，可以得到如下结论：如果α不是(4.37)的根，则(4.34)有形如xAeα的特解；如果α是(4.37)的单根，则(4.34)有形如xAxe α的特解；如果α是(4.37)的重根，则(4.34)有形如2xAx e α的特解.例1 求方程53x y y e '''-=的通解.解 先求齐次通解，特征方程为230λλ-=特征根为120,3λλ==故齐次方程的通解为312x y C C e =+由于5α=不是特征根，故已知方程有形如51x y Ae =的解.将它代入原方程，得到5552515x x x Ae Ae e -=于是110A =，已知方程有特解，从而得通解 3512110x xy C C e e =++例2 求方程12x y y e ''-=的通解.解 对应齐次方程的特征方程为210λ-=特征根是1λ=±，对应齐次通解为12x x y C e C e -=+由于1α=是特征方程的根，故已知方程有形如1x y Axe =的特解. 将它代入原方程，得122x x x x Ae Axe Axe e +-=从而14A =，故114x y xe =, 由此得通解1214x x x y C e C e xe -=++上述关于二阶方程的结果，可以推广到n 阶常系数线性非齐次方程(4.33)．设()m P x 是m 次实或复系数的多项式，即()1011()()(1)x x m m m m m f x e p x e p x p x p x p m αα--==++++≥ (4.40) 则有(1)当α不是特征根时，(4.33)有形如1()()x m y x Q x e α=的特解，其中1011()m m m m m q x q x q x q x q --=++++(2)当α是k (≥1)重特征根时，(4.33)有形如1()()k x m y x x Q x e α=的特解，其中()m Q x 也是上述的m 次多项式.例3 求方程2566102y y y x x '''=+=-+的通解.解 先求对应齐次方程560y y y '''=+=的通解.特征方程是2560λλ-+=由于256(2)(3)λλλλ-+=--，故特征根122,3λλ==，从而，对应齐次方程通解为2312x x y C e C e =+因为0α=不是特征根，因而已知方程有形如21y Ax Bx C =++的特解.为确定出系数A ，B ，C ，将它代入原方程中.由于112,2y Ax B y A '''=+= 故2225(2)6()6102A Ax B Ax Bx C x x -++++=-+或226(610)2566102Ax B A x A B C x x +-+-+=-+比较上式等号两端x 的同次幂系数，可得66610102562A B A A B C =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩解上述方程组，得 A =1, B = 0, C = 0 故已知方程特解为21y x =已知方程的通解为22312x x y x C e C e =++例4 求方程y ″－5y ′＝－5x ２＋2x的通解.解 对应齐次方程的特征方程为250,(5)0λλλλ-=-=特征根为120,5λλ==，齐次方程的通解为512x y C C e =+由于0α=是单特征根，故已知非齐次方程有形如21()y x Ax Bx C =++的特解.将它代入已知方程，并比较x 的同次幂系数，得1,0,03A B C ===故3113y x =，最后可得所求通解351213xy x C C e =++例5 求方程2442xy y y e '''-+=的通解. 解 由于21,2440,2λλλ-+==故齐次方程通解为212()xy e C C x =+由于2α=是二重特征根，故已知非齐次方程有形如221xy Ax e =的特解．将它代入已知方程，比较x 的同次幂系数，得 A ＝1所求通解为22212()x xy x e e C C x =++4.3.2 第二类型非齐次项特解的待定系数解法现在, 考虑(1)(2)()()cos ()sin x m m f x e P x x P x x αββ⎡⎤=+⎣⎦时，非齐次方程(4.33)的特解的求法．设上式中的(1)(2)()m m P x P 与是x 的次数不高于m 的多项式，但二者至少有一个的次数为m .根据欧拉公式，有cos ,sin 22i x i x i x i xe e e e x x iββββββ--+-==这样一来f (x )可改写成(1)(2)()()()22i x i x i xi x xx mm e e e e f x P x eP x e iββββαα--+-=+(1)()(2)()()()i x i x m m P x e P x e αβαβ+-=+ (4.4.1)其中，(1)(2)(),()m m P x P x 是m 次多项式.因此，(4.41)式相当于两个(4.40)形状的函数相加.再由非齐次方程的一个性质——叠加原理，情形(4.41)可化为情形(4.40).下面就来介绍叠加原理.叠加原理 设有非齐次方程12[]()()L y f x f x =+ （4.42）且12(),()y x y x 分别是方程12[](),[]()L y f x L y f x ==的解，则函数12()()y x y x +是方程(4.42)的解.证明 由于 1122[()](),[()]()L y x f x L y x f x == 故有121212[()()][()][()]()()L y x y x L y x L y x f x f x +=+≡+证毕.根据叠加原理，就可以把情形(4.41)化为(4.40)了.再根据对于(4.40)讨论的结果，我们有如下的结论：(1) 如果i αβ±不是特征根，则(4.33)有形如(1)()(2)()1()()i x i x m m y Q x e Q x e αβαβ+-=+ (4.43)的特解，其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是m 次多项式；(2) 如果i αβ±是k 重特征根，则(4.33)有形如(1)()(2)()1()()k i x i xm m y x Q x e Q x e αβαβ+-⎡⎤=+⎣⎦ (4.44) 的特解，其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是m 次多项式.为了求得对于(4.41)的情形方程(4.33)的实特解，可以由()i xeαβ±的定义，将(4.43)与(4.44)化成三角函数的形式.于是，对应于上述两种情形，有： (3) 如果i αβ±不是特征根，则特解具有形状(1)(2)1()cos ()sin x mm y e Q x x Q x x αββ⎡⎤=+⎣⎦ 其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是系数待定的m 次多项式.(4)如果i αβ±是k 重特征根，则特解应具形状(1)(2)1()cos ()sin k x mm y x e Q x x Q x x αββ⎡⎤=+⎣⎦ 其中(1)(2))()m m Q x Q x (与是系数待定的m 次多项式.(1)(2))()m m Q x Q x (, 的系数的求法和上面类似，即把y 1代入原方程，再比较x 的同次幂系数即可求得.值得注意的是，即使在(1)(2))()m m P x P x (,中有一个恒为零，这时方程(4.33)的特解仍具有形状(4.43)，(4.44).即不能当(1))0m P x ≡(时在(4.43)或(4.44)中就令(1))0m Q x ≡(，而(2))0m P x ≡(时，就令(2))0m Q x ≡(.例6 求方程y ″＋y ′－2y = e x (cos x －7sin x )的通解.解 先求解对应的齐次方程：y ″＋y ′－2y = 0我们有21220,1,2λλλλ+-===-212x x y C e C e -=+因为数i αβ±=1±i 不是特征根，故原方程具有形如1(cos sin )x y e A x b x =+的特解.将上式代入原方程，由于1y ＝e x (A cos x +B sin x )1y '＝e x [(A ＋B )cos x +(B －A )sin x ] 1y ''＝e x [2B cos x －2A sin x ] 故2[2cos 2sin ][()cos ()sin ]2[cos sin ](cos 7sin )x x x x y y y e x A x e A B xB A x e A x B x e x x '''+-=-+++--+=- 或(3)cos (3)sin cos 7sin B A x B A x x x --+=-比较上述等式两端的cos x ,sin x 的系数，可得－A +3B = 1, －3A －B = －7 因此，A = 2，B = 1. 故1y (2cos sin )x e x x =+所求通解为 y (2cos sin )xe x x =+212x x C e C e -++例7 求方程 y ″+ y ′= 2sin x 的通解.解 齐次方程是y ″+ y ′= 0，我们有 21,210,i λλ+==± 12cos sin y C x C x =+由于i αβ±=±i 是特征方程的单根，故所求特解应具形式 1(cos sin )y x A x B x =+ 现将上式代入原方程，确定系数A ，B . 由于1(cos sin )y x A x B x =+1(cos sin )(cos sin )()cos ()sin y A x B x x A x B x A Bx x B Ax x'=++-+=++-1cos ()sin sin ()cos (2)cos (2)sin y B x A Bx x A x B Ax x B A x A Bx x''=-+-+-=--+11(2)cos (2)sin (cos sin )2cos 2sin 2sin y y B Ax x A Bx x x A x B x B x A x x''+=--+++=-=可求得 A ＝－1，B ＝0, 1cos y x x =-因而，所求通解为 12cos cos sin y x x C x C x =-++ 例8 求方程 y ″－6y ′＋5y ＝－3e x＋5x 2的通解.解 对应的齐次方程是y ″－6 y ′＋5y ＝0. 我们有λ2－6λ＋5＝0， 121,5λλ==故它的通解是 512x xy C e C e =+因为原方程右端由两项组成，根据迭加原理，可先分别求下述二方程 y ″－6y ′＋5y ＝－3e x y ″－6y ′＋5y ＝5x 2 的特解，这二特解之和即为原方程的一个特解.对于其中第一个方程，有1133,,44xx y Axe A y xe === 对于第二个方程，有22221262,1,,5251262525y Ax Bx C A B C y x x =++====++因而，212312624525x y y xe x x +=+++为原方程的一个特解，其通解为2512312624525x x x y xe x x C e C e =+++++.思考题：1. 求n 阶常系数线性非齐次方程 ()(1)11()n n n n ya y a y a y f x --'++++=的一个特解主要有几种方法? 分别是什么方法? 每一种方法的求解过程是怎样的?。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法
3 例子
例1 求方程 x″ - x = t sin t 的特解 .
t ( 1 - cos2 t ) t t cos2 t t 2 解法 1 ( 比较系数法) 原方程右端 f ( t ) = t sin t = = ,对 f 1 ( t ) = , 设特 2 2 2 2
2
解为 x 1 ( t ) = A + B t ,将 x 1 ( t ) 代入方程 x″ - x=
e c′ 1 ( t ) + t e c′ 2 ( t) = 0
- t - e c′ 1 ( t ) + (e
t
- t
- t
- t - t e ) c′ 2 ( t ) = 3e
t
t +1
,
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1
L 1 ( D) L 2 ( D)
[
1
f ( t) ] =
1
L 2 ( D) L 1 ( D) f 2 ( ( D)
[ f 1 ( t) + f 2 ( t) ] =
1
L ( D)
f 1 ( t) +
1
L ( D)
( 3) 逆算子的运算法则 1 kt kt ① 若 f ( t ) = e ,且 L ( k ) ≠ 0 ,则 f ( t) = e L ( D) L 1 kt kt ② 若 f ( t ) = e ,且 L ( k ) = 0 ,则 ( ) f ( t ) = e L D L 1 ; ( k) 1 ; (D + k )
1 引 言