二阶阶微分方程的解法及应用
高等数学课件D7习题课二阶微分方程的解法及应用
f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
p dp f (y, p) dy
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次
• 常系数情形 非齐次
• 欧拉方程
代数法
x2 y pxy qy f (x)
令 x et , D d dt
D(D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2 (2);
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y
1 2
y3
0
y x0 0 , y
x0
1
则求解过程中得
p2
1 1 x
,
问开方时正负号如何确定?
例1. 求微分方程
y y x,
x
π 2
满足条件
y 4 y 0 ,
x
π 2
y
x0
0,
y
x0
0,
在x
π 2
处连续且可微的解.
提示:
当x
π 2
时,
解满足
y
y
m k
v
m
(
m
g k2
B
)
ln
m
g B k m g B
v
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ；
7 ; *11(1)
第十一节
备用题 1. 设二阶非齐次方程 y (x)y f (x) 有特 解 y 1 , 而对应齐次方程有解 y x2 , 求 (x), f (x) 及
(r)
2 r
f
(r)
0
y2 2u
二阶微分方程的常见求解方法和应用
二阶微分方程的常见求解方法和应用二阶微分方程是一类重要的数学模型，在物理和工程学科中得到广泛应用。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程求解方法，并探讨其在科学研究和工程实践中的应用。
一、常系数齐次二阶微分方程常系数齐次二阶微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=0 $$其中，a和b是常数。
该方程的通解可以用特征方程求解。
特征方程为：$$ r^2+ar+b=0 $$如果特征方程有两个不同的实根$r_1$和$r_2$，通解为：$$ y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x} $$如果特征方程有一个重根$r_1$，通解为：$$ y=(c_1+c_2x)e^{r_1x} $$如果特征方程有两个共轭复根$\alpha\pm\beta i$，通解为：$$ y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x) $$二、非齐次二阶线性微分方程非齐次二阶线性微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=f(x) $$其中，f(x)是已知的函数。
我们可以通过猜测特解的形式，利用常数变易法求解。
通常，特解的形式取决于f(x)的形式。
常见的特解形式包括：1. f(x)是常数：特解形式为$y=k$，其中k是常数。
2. f(x)是mx+n型函数：特解形式为$y=mx+n$，其中m和n是常数。
3. f(x)是$e^{ax}$型函数：特解形式为$y=Ae^{ax}$，其中A是常数。
4. f(x)是三角函数型函数：特解形式为$y=A\cos bx+B\sin bx$，其中A和B是常数。
5. f(x)是多项式型函数：特解形式为$y=P_n(x)$，其中P_n(x)是n次多项式。
特解计算出来后，将通解与特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
三、应用二阶微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 振动问题：二阶微分方程可以用来描述物体的振动状态。
二阶常微分方程通解
二阶常微分方程通解引言常微分方程是数学分析领域中的一个重要分支，研究随时间变化的物理量与其导数之间的关系。
其中二阶常微分方程是常见的一类微分方程，具有广泛的应用。
本文将深入探讨二阶常微分方程的通解方法和应用。
二阶常微分方程介绍二阶常微分方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=0的微分方程，其中p(x)和q(x)是给定的函数。
二阶常微分方程的求解通常分为两步：首先找到其特解，然后利用特解求得齐次方程的通解。
齐次方程的通解齐次方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=0，其中p(x)和q(x)都为零的方程。
对于齐次方程，我们可以通过猜解法或特殊变量法来求解其通解。
猜解法猜解法适用于具有特定形式的方程，如f(x)=e rx。
我们先假设通解的形式，然后带入原方程，通过确定待定系数的值来求解。
例如，对于f″(x)−f(x)=0这一方程，我们可以猜解f(x)=e rx，然后带入方程得到r2e rx−e rx=0，进而确定r=1或r=−1。
因此，通解为f(x)=C1e x+C2e−x，其中C1和C2为常数。
特殊变量法特殊变量法适用于具有一些特殊形式的齐次方程。
常见的特殊变量包括x m、x m e nx和e nx sin(ax+b)等。
通过将方程中的函数进行特定变量代换，可以将原方程转化为一个常系数线性齐次方程或其他简单形式的方程，然后再进行求解。
非齐次方程的特解非齐次方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=g(x)的方程，其中g(x)是给定的函数。
我们需要先找到非齐次方程的一个特解，然后利用该特解和齐次方程的通解求得非齐次方程的通解。
常数变易法常数变易法是求解非齐次方程特解的常用方法。
假设非齐次方程的特解形式为f(x)=C，将其代入非齐次方程得到p(x)C′+q(x)C=g(x)，然后求解常数C，即可得到特解。
叠加原理对于非齐次方程，其特解是由齐次方程通解和非齐次方程特解的和构成的。
二阶微分方程的解法及应用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学二阶微分方程的解法及应用一、选题的背景、意义两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。
为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。
到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。
在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。
17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。
它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容：本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。
二阶微分方程解法总结
二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。
一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。
具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。
对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。
二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。
具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。
以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。
将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。
三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。
对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。
解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。
因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。
四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。
具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。
以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。
将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。
二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法二阶常微分方程是微积分中的一个重要概念，涉及到求解具有两个未知函数的微分方程。
本文将介绍二阶常微分方程的一些解法方法。
一、可分离变量法对于形如f''(x) = g(x)的二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
首先将方程进行变形，得到f''(x)-g(x) = 0。
然后令y=f'(x)，将方程转化为一阶方程y'-g(x)=0，再次进行变形得到dy/dx=g(x)。
接下来，对方程两边进行积分，得到y的表达式，再次积分即可得到f(x)的解。
二、特征方程法对于形如f''(x) + a1f'(x) + a0f(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，其中r为待求解的常数。
代入原方程，得到特征方程r^2 + a1r + a0 = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2，然后f(x)的解可以表示为f(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
三、常系数齐次线性微分方程法对于形如f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过常系数齐次线性微分方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，代入原方程，得到特征方程r^2 + ar + b = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的不同情况，可以得到不同的解形式。
1）当r1和r2是不相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) =C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
2）当r1和r2是相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) = (C1x +C2)e^(r1x)，其中C1和C2为待定常数。
3）当r1和r2是共轭复数根时，f(x)的解可以表示为f(x) =e^(ax)[C1cos(bx) + C2sin(bx)]，其中C1和C2为待定常数。
二阶常微分方程的求解方法和应用
二阶常微分方程的求解方法和应用二阶常微分方程是指包含了二阶导数或者二次项的一类微分方程。
解决这类微分方程是理应掌握的技能，因为它们在许多自然科学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二阶常微分方程的求解方法以及它们的常见应用。
一、二阶常微分方程的基本形式二阶微分方程的一般形式是：$f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=g(x)$其中，函数f是要求解的未知函数，x是自变量，p(x)和q(x)是已知函数，g(x)是已知的函数或常数。
通常，二阶微分方程左侧的三项可以看作是二阶导数f''(x)、一阶导数f'(x)和f(x)对自变量x的线性组合。
这个线性组合中的系数p(x)和q(x)通常是自变量x的函数。
二、二阶微分方程的解法1.特解法特解法适用于在右侧有特殊类型函数的情况下，比如方程右侧是常数、指数函数、三角函数等。
因为这种情况下函数在取微分后与自身的形式变化不大，因此我们可以借助类似的解来猜测：如果右侧的g(x)是Acos(ax)+Bsin(ax)，那么我们可以尝试将函数f(x)猜测为Ccos(ax)+Dsin(ax)的形式，其中C和D是待求解的常数。
特解法的主要优点是简单易懂，特别是对于初学者而言。
但是，它有一个缺点：并不能解决更复杂的情况，比如右侧是分段函数的情况，因此需要用到其他解法。
2.变量分离法变量分离法是二阶微分方程求解的一种另类方法，它将原方程转换成一个含有单个未知函数但双变量的方程。
比如：$y''+y=0$方程左边的两项y''和y可以看作是函数y和y'的函数。
将方程拆开成两个修正的一阶方程，使用变量分离法来解决，得到：$\frac{dy}{dx}=u$$\frac{du}{dx}=-y$求解上述方程后，我们可以得到原始二阶微分方程的一般解：$y=Acos(x)+Bsin(x)$在实际应用中，变量分离法非常实用，例如在电工电子工程学里，它被用于模拟LC振荡器、无源滤波器等等。
二阶常微分方程的解法及其应用本科毕业论文
毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
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3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。
图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录1 引言........................................................................................................................................ - 7 -2 二阶常系数常微分方程的几种解法 ............................................................................ - 7 - 2.1特征方程法 ...................................................................................................................... - 7 - 2.1.1 特征根是两个实根的情形 ..................................................................................... - 8 - 2.1.2 特征根有重根的情形 .............................................................................................. - 8 - 2.2常数变易法 .................................................................................................................... - 10 -2.3拉普拉斯变换法 ........................................................................................................... - 11 -3 常微分方程的简单应用................................................................................................. - 12 - 3.1 特征方程法 ................................................................................................................... - 13 - 3.2 常数变易法 ................................................................................................................... - 15 -3.3 拉普拉斯变换法 .......................................................................................................... - 16 -4 总结及意义........................................................................................................................ - 17 - 参考文献................................................................................................................................. - 18 -二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文主要介绍了二阶常系数微分方程的三种解法：特征方程法、常数变异法和拉普拉斯变换法，并着重讨论了特征方程根为实根、复根及重根的情形。
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f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
结束
微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为
11.2 103 (m s)
这说明第二宇宙速度为 11.2 km s
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例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 为 k),
s
求质点的运动规
提示: 由题设 F ds k t , 两边对 s 求导得:
解得
( 左端 1, 舍去另一根 )
当 x = 20 m 时, (s)
思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的
数学模型是什么 ?
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不考虑摩擦力时的数学模型为 d2 x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为
o x x
d2 x 20 2 2( x 10) g 1 g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
此时链条滑下来 所需时间为
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
故通解为
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
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处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
练习题: P327 题 2
;
3 (6) , (7) ; 8
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4(2)；
解答提示
P327 题2 求以 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
y2 1 0, (7) y 2 y 5 y sin 2 x . (6) y y 则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
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y a y 2 0 P327 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
s0
牛顿第二定律
ds d 2 s k 2 dt dt m ds 2 2 k t C1 … dt m
d 2s dt m 2 k ds dt d ds 2 2 k dt dt m
开方如何定 + – ?
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例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 , 此时链条受力
o
y
y
质量 m 体积 B
d y 重力 浮力 阻力 m 2 mg B k v dt dv d y dv v 注意: dy d t dy
2
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得
dv m v m g B k v dy
y 0
o
y
y
质量 m 体积 B
初始条件为 v
0
用分离变量法解上述初值问题得
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
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P327 题8 设函数
内满足拉普拉斯方程 二阶可导, 且
在r>0
u
2
x2
u2ຫໍສະໝຸດ y 2 z 2 试将方程化为以 r 为自变
u
2
0,
量的常微分方程 , 并求 f (r) . u x f (r ) 提示: x r 2u x2 x2 f (r ) 2 f (r ) 1 3 2 x r r r 利用对称性, 原方程可化为
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
(03考研)
上式两端对 x 求导, 得:
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设①的特解为 y A cos x B sin x, 代入①得 A＝0, 1 B , 故 y 1 sin x, 从而得①的通解: 2 2
第十二章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用(25)
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy 2 令 p ( x) d y dy dx f ( x, ) dx dx 2 dy 2 令 p ( y) d y dy dx f ( y, ) dx dx 2
1 y C1e C2 e sin x 2 3 由初始条件 y (0) 0, y (0) , 得 2 C1 1, C2 1
x x
故所求初值问题的解为
y e e
x
x
1 sin x 2
题
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二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
f (t ) d t , 则
f ( x) cos x 0 f (t )d t x f (x) x f (x) f ( x) sin x f ( x)
问题化为解初值问题: 最后求得
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x
f ( x) f ( x) sin x
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d x d2 x y 2 ( y ) 2 0 dy dy dx y 2 d x dy y 2 2 dy ( y ) ( y ) 3 代入原微分方程得 y y sin x ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 x x Y C1e C2 e
m m ( m g B ) m g B k v y v ln 2 k m g B k
作业
P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ; 8 .
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利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球