二阶线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线形微分方程的概念

形如

(1)

)(x f qy y p y =+'+''的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的p q )(x f 连续函数.

如果,则方程式 (1)变成

0)(≡x f

(2)

0=+'+''qy y p y 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.

二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性

定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是1y 2y 2211y C y C y +=式(2)的解,其中是任意常数.

21,C C 证明 因为与是方程(2)的解,所以有 1y 2y 0111

=+'+''qy y p y

0222

=+'+''qy y p y 将代入方程(2)的左边,得 2211y C y C y += )()()(22112211221

1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+''

= 0)()(2222111

1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以是方程(2)的解. 2211y C y C y +=

定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.

叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的21,C C 通解.

2.线性相关、线性无关的概念

设为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数

,,,,21n y y y 使得当在该区间内有, 则称这

,,,,21n k k k 02211≡+++n n y k y k y k n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.

例如 在实数范围内是线性相关的,因为 x x 2

2

sin ,cos ,1

0sin cos 122≡--x x 又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使

2,,1x x

02321≡++x k x k k 必须.

0321===k k k 对两个函数的情形,若

常数, 则,线性相关,若常数, 则=21y y 1y 2y ≠2

1y y

,线性无关.

1y 2y 3.二阶常系数齐次微分方程的解法

定理 2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则

1y 2y 为任意常数)是方程式(2)的通解.

212211,(C C y C y C y +=例如, 是二阶齐次线性方程,是它的0=+''y y x y x y cos ,sin 21==两个解,且

常数,即,线性无关, 所以 ≠=x y y tan 2

1

1y 2y

x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 是任意常数)是方程的通解. 21,C C 0=+''y y

由于指数函数(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

rx

e y =根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,rx

e y =r 使满足方程(2).

rx

e y =

将求导,得

rx

e y =

rx rx e r y re y 2,=''='把代入方程(2),得 y y y ''',,

0)(2=++rx e q pr r 因为, 所以只有

(3)

0≠rx

e

02=++q pr r 只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.

r rx

e y =我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.

r r ,2

y y y ,,''' 特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解

2

422,1q

p p r -±

-=有下列三种不同的情形.

(1) 当时，是两个不相等的实根.

042

>-q p 21,r r

,

2421q p p r -+

-=

2

422q

p p r ---=是方程(2)的两个特解,并且

常数,即x r x r e y e y 2121,==≠=-x r r e y y )(2

1

21与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为

1y 2y x r x r e C e C y 2121+=(2) 当时, 是两个相等的实根.

042

=-q p 21,r r ,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另2

21p r r -

==x

r e y 11=一个解,且

常数,设, 即 2y ≠12y y )(1

2x u y y

=

)(12x u e y x r =. )2(),(2

112

1211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='

将代入方程(2), 得 22

2,,y y y '''

[

]

0)()2(12

111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得

0])()2([12

111=+++'++''u q pr r u p r u e x r 由于, 所以 01≠x

r e 0)()2(12

11=+++'++''u q pr r u p r u 因为是特征方程(3)的二重根, 所以

1r

02,0112

1=+=++p r q pr r 从而有

0=''u 因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一x u =个解

.

x r xe y 12=那么,方程(2)的通解为

x r x r xe C e C y 1121+=即

.

x r e x C C y 1)(21+=(3) 当时,特征方程(3)有一对共轭复根

042

<-q p ()

βαβαi r i r -=+=21,0≠β于是

x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 把改写为

x i x e ix

sin cos +=21,y y )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+

)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--之间成共轭关系,取

21,y y =,

-

1y x e y y x βαcos )(2

1

21=+