n阶线性微分方程的初值问题
常微分方程第一章
2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区 间I . 定义2 设函数 y ( x)在区间 I 上连续，且有直到 n 阶导 ( n) y, y ' ,, y后， ( x), ( x),, ( n ) ( x) 数,若用 分别代替方程(1.8)中的 使(1.8)在 内为关于x的恒等式，即 I
称(1.16)是初值问题
y '' g ' y (0) y0 , y (0) v0
(1.17)
的解，初值问题又叫柯西问题. 由以上简单实例可以看出： 1． 微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方 程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方 程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数， 因此仅从微分方程本身求解（不考虑定解条件），则 n 阶微分方程的 n 个任意常数. 解应该包含 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是 从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动 的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未 来，同时也可以追朔它的过去. 3． 一般对 n 阶微分方程的初值问题的提法是：
在(1.12)两侧对 t 积分一次，得
y' (t ) gt C1
(1.13) (1.14)
其中 C1 是一个任意常数，再把(1.13)对 t 积分一次，就得
1 y (t ) gt 2 C1t C2 2
其中 C2 是另一个任意常数.可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解. 通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意 常数.这说明微分方程(1.12)有无穷多个解. 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什 么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件： (1.15) y(0) y0 ，y' (0) v
常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。
线性微分方程组初值问题的求解公式
的解F
证明 设 N%9’/ %R#%9’)*)R5%9’’S)
3/ 3%9’为初始值问题%#’的解)则
5
; $%6’3/ % T.#%6’R#%9’) ./ #
5
; *) T.5%6’R5%9’S) ./ #
%U’
其 中 T.0%6’是行列式 V6W2 MV%W为 5阶单位矩
阵’位于 .行 0列的元素的代数余子式)且
_8)‘ ,4Ha4/7A58b,&/7Hc-4
#d6e9(>09c(A_-f4g60=c6.:5&’’676A_-f4BCh"**A_-//0/A5c4/0$
IXRQLP^QD8 1&.a-’04:e.&i4;6;(gc61&.a-’074i6:9c6:&’-94&/9c09:094:146:9c64/4940’=&/;494&/ 4/:&’i4/79c6:j:96a &1/&/c&a&76/6&-:’4/60.;4116.6/940’6k-094&/:l49c=&/:90/9=&6114=46/9:0/; 9c6:j:96a &14/c&a&76/6&-:’4/60.;4116.6/=66k-094&/:l49c=&/:90/9=&6114=46/9:(
%I’
+# (.
;; 的解为 3%G’/
%G’(.2
&G2
0.
(.,
= 0 .0
,
./ # 0/ #
+#, +! (.
; ; !><
第6章-微分方程
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k， 解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出 陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解 设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其 中 k 0 .
u
2
x
2
u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型 ）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0
考研数学面试题目(3篇)
第1篇一、面试题目1. 请简述数学分析中极限的定义和性质。
解析：数学分析中，极限是指当自变量x趋向于某一点a时，函数f(x)的值趋向于某一点L。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋向于a时极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 请解释数学中的导数的概念及其几何意义。
解析：导数是描述函数在某一点处的局部变化率。
对于函数y=f(x)，在点x0处的导数表示为f'(x0)。
几何意义上，导数表示曲线在该点的切线斜率。
3. 请简述多元函数偏导数的概念及其几何意义。
解析：多元函数偏导数是指多元函数在某一点处，仅考虑一个变量变化时，函数的导数。
对于多元函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数表示为f_x'(x0,y0)和f_y'(x0,y0)。
几何意义上，偏导数表示曲线在该点的切线斜率。
4. 请解释定积分的概念及其物理意义。
解析：定积分是指将一个函数在一个区间上的无穷小分割，然后求和并取极限的过程。
物理意义上，定积分可以表示曲线下方的面积、物理量在某段时间内的累积量等。
5. 请简述多元函数的积分概念及其物理意义。
解析：多元函数的积分是指将一个多元函数在一个区域上的无穷小分割，然后求和并取极限的过程。
物理意义上，多元函数的积分可以表示空间曲面的面积、物理量在某区域内的累积量等。
6. 请解释数学中的级数收敛的概念。
解析：级数收敛是指一个无穷级数的各项之和趋向于某个确定的值。
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，级数的部分和S_n与该确定值L之差的绝对值小于ε，则称该级数收敛。
7. 请简述线性代数中矩阵的概念及其运算。
解析：矩阵是一种由数字组成的矩形阵列，表示线性变换、线性方程组等。
矩阵的运算包括加法、数乘、乘法等。
8. 请解释线性代数中行列式的概念及其性质。
微分方程初值问题练习题求解微分方程的初值问题
微分方程初值问题练习题求解微分方程的初值问题微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系及其变化率。
初值问题是指在给定一个微分方程及初始条件的情况下，求解出一个特定的解。
本文将通过练习题的形式，来介绍如何求解微分方程的初值问题。
1. 练习一：一阶线性常微分方程考虑以下一阶线性常微分方程：\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]其中，\(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是给定的函数。
已知初值条件 \(y(x_0) = y_0\)，求解出该微分方程的解。
解答：首先将原方程变形为标准形式：\[ \frac{dy}{dx} = -P(x)y + Q(x) \]接下来使用积分因子法来求解该微分方程，积分因子定义为：\[ \mu(x) = e^{\int -P(x) dx} \]对原方程两边同时乘以积分因子，得到：\[ \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \]由于左边是积分的导数，可以写成：\[ \frac{d}{dx}(\mu(x)y) = \mu(x)Q(x) \]对上式两边同时积分，得到：\[ \int \frac{d}{dx}(\mu(x)y) dx = \int \mu(x)Q(x) dx \]应用积分的基本性质，化简上式得到：\[ \mu(x)y = \int \mu(x)Q(x) dx + C \]其中，\(C\) 是常数。
最后将 \(y\) 解出来，得到：\[ y(x) = e^{-\int P(x) dx}(\int e^{\int P(x) dx}Q(x) dx + C) \]将初值条件\(y(x_0) = y_0\) 代入上式，可以求解出常数\(C\) 的值，从而得到特定的解。
2. 练习二：二阶线性常微分方程考虑以下二阶线性常微分方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]其中，\(P(x)\)，\(Q(x)\)，\(R(x)\) 是给定的函数。
存在唯一性定理
注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性 微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例 将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。