增减函数教案ppt
新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
2、函数的增减性
1 探究： y 画出反比例函数 x 的图象。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做 出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确 性，是研究函数性质的一种常用方法。
1 例函数 . f ( x) 在(0, )上是增函数还是 x 减函数？证明你的结论.
画“θ随t的增大而增大”这一特征？
在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2 ，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t 的增大而增大．
问题： 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间IA, 在区间 I 上， y 随 x 的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
设函数y＝f(x)在区间（a，b）内有定义， 如果对于区间（a，b）内的任意两个值x1及x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么函数y=f(x)在区间（a，b）上是单调增函数， 区间（a，b）称为函数y=f(x)的单调增区间.
证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
1 f ( x1 ) , x1 1 f ( x2 ) x2 1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x x
y
－1 1
O
1
2
1
x1 , x2 (0,) x1 x2 0
x1 x2
－1
x
x1 x2 x2 x1 0
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞) 和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是 下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的， 则函数值y随x的增大而增大，反之亦真； 若一个函数在某个区间内图象是下降的， 则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。
6.2反比例函数的增减性第一课时
a
2
a
7
1(2)
由(1)得:a 1
由(2)得:a 2, a 3 1(舍去)
a的值为2,反比例函数为y=
1 x
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶数形结合
x
已都知在点反比例A(函-2数,y1),B(y-1,4xy2的),C图(4象,y上3) ,则y1、
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞.y2
y
-2 -1 y3 o
A B
yy12
C
4x
y
k x
(k的＜0图) 象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y1 ＞0＞y2
y
A
oy1 x2
x
1
y2
B
x
联系拓广
2. 已知函数 y a 1 xa2 a7，在每一个象限
内y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
解:依当函题数意为反得比:例函数时
a 1 0(1) 当函数为正比例函数时……
o
x 3 x1>0>x2 y1 <y2
⑴代入求值 ⑵利用增减性 ⑶数形结合
y3 <y4 <y1 <y2
y y1 x
o
分类讨论：
1 x1>x2 0
x 2 0>x1>x2 3 x1>0>x2
y1 <y2 y1 <y2 y1 >y2
《2.3函数的单调性》优秀课件
证明函数f(x)=1/x在（0，+∞）上是减 函数。
课堂练习 1如图,已知函数y = f ( x)的图像(包含)端点, 根据函数说
,以及在每一单调区间上 ,函数是增函 出函数的单调区间 数还是减函数 .
−π
−
Y
π
2
O
π
2
π
X
3 2证明函数f ( x) = 在(−∞,0)上是减函数 x
课堂小结 （1）函数的单调区间是其定义域内的子集， 讨论函数的单调性必须在定义域内进行；
2教学
难
教学重点：函数单调性的概念。 教学点：函数增减性的判定。
3教学
知识目标:
标
能力目标：（1）使学生理解增函数、减函数 （1）增函数、减函数的概念； 的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 德育渗逶目标：通过本节课的学习，启示学 （2）函数增减性的判定； （2）培养学生利用数学概念进行判断推理的 生养成细心观察、认真分析、严谨论证的良 能力和数学结合的能力； 好思维能力
教师补充：这时我们说函数y = x2在（0，+∞）上是增函数
(5)反过来，如果y=x (5)反过来，如果y=x2在 （0，+∞） 反过来 上是增函数, 上是增函数,我们能不能得到自变量与 函数值的变化规律呢？ 函数值的变化规律呢？类似地分析图象 轴的左侧部分。 在y轴的左侧部分。
y f(x2) f(x1) o x1 x2 x Y=x2
f(x2) f(x1) o
Y=x2
x1 x2
x
与
数值
x1，y1）， (3) 果 y轴 侧 两个 （x1，y1）， x2，y2）， x1<x2时 y1， ），当 （x2，y2），当x1<x2时，y1，y2 关系 ？ 义 内 两个 这个 规 ？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？ 如何用数学符号语言来描述这个规律
高一函数复习ppt课件.ppt
使解析式有意义：
解析式有意义的情况：
（1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数R； （2）若解析式中含有分式，则分母不为零； （3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负数；
（4）若解析式中含有 x0 ，则底数x不为零；
（5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数 大于零且不等于1； （6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该 注意其实际意义； （7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它 们的交集
x [ 3, 2 ] [ 2 , 3] 22
三，求函数值的问题
设函数y f (x)，x A，如果自变量x 取值为a，则由法则f确定的y的值叫做 函数在x a时的函数值，记为f (a)
例9、（12江西理3）若函数
f
(x)
x2
1,
x
1
，则
f ( f (10))
lg x, x 1
A 、lg、101 B、2 C、1 D、0
bx ex
c f
(ad
0)
的函数，把其化为一个常数和另一个
函数的和（差）的形式，即
f (x) ax b k m (k, m是常数)或
cx d
cx d
f (x)
ax2 bx c dx2 ex f
k
dx2
m ex
f
(k, m是常数)
即对那个函数进行求取值范围即可；
例14，求下列函数的值域
例13，（2010重庆文第4题）函数 y 16 4x 的值域是（ ）
A. [0, ) B. [0, 4]
C. [0, 4) D. (0, 4)
4x 0 0 16 4x 16 y [0, 4)
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
函数的单调性 PPT精品课件
x2 f ( x) cos x 1 , 2
f ( x) sin x x.
当x 0时, sin x x, 故在 (0,)内 f ( x) 0,
因此 , f ( x)在[0,)单调上升 , 又 f (0) 0,
六、教学过程设计
问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图 象，并且观察函数变化规律？
y
2 1 -2 -1 O 1 2
y=2x y= -2x
x
-2 -1
y
2 1 O 1 2
y
y=x2+1
1
x
-1 -2
-1 -2
O
1
x
增函数、减函数 问题2 ？ ？
单调性是局部性质
六、教学过程设计
创设情境 引入新课
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:
⑴ 确定 f ( x) 的定义域；
⑵ 求 f ( x ) ，令 f ( x) 0 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间；
⑷ 判别 f ( x ) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
f (0) 0, f ( x) e x 1.
当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0); 当x 0时, f ( x) 0, 故 f ( x) f (0).
从而得证.
x3 例4. 证 明 当 x 0时, sin x x . 3!
∴函数
2
2 1
f ( x) x 2 1
一次函数的增减性质
根据函数的单调性判断。如果函数 在某个区间内单调递增（或递减）， 则该函数在该区间内为增函数（或 减函数）。
03 一次函数增减性的应用
在实际生活中的应用
经济预测
通过分析一次函数增减性，可以对经 济数据进行预测，如GDP增长、消费 水平等。
人口增长预测
股票价格预测
通过分析股票价格与时间的关系，利 用一次函数模型预测股票价格的走势。
在物理学中，一次函数可用于描述匀速直线运动 和重力加速度等物理现象。
生物学
在生物学中，一次函数可用于描述生物种群数量 的增长趋势。
社会科学
在社会科学中，一次函数可用于描述社会现象， 如人口增长、城市化率等。
04 一次函数增减性的证明
增函数的证明
总结词
通过导数证明一次函数在其定义 域内是增函数。
详细描述
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 当$k > 0$时，图像从左下到右上倾斜；当$k < 0$时，图像从左上到右下倾斜。
三角形的面积计算
02 一次函数的增减性
增函数
01
02
03
增函数的定义
对于函数$y = ax + b$ （$a neq 0$），如果$a > 0$，则该函数为增函数。
03
探索与其他数学概念的关联
一次函数的增减性与其他数学概念有着密切的联系，例如与导数、积分
等概念的联系。未来可以尝试探索这些关联，以更深入地理解数学概念
之间的联系和转化。
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感谢您的观看
股票价格通常随着时间的变化而波动，这种波动可以近似地用一次函数来表示。如果股票价格随着时间的增加而 增加，则一次函数的斜率为正，表示股票价格具有增长趋势；反之，如果股票价格随着时间的增加而减少，则一 次函数的斜率为负，表示股票价格具有下降趋势。
函数增减性、极值与最值、曲线、函数图形的画法
3， 上的最大值和最小值. 4
y
解
a
o
b
x
令 f x 0
得 驻点 x1 2, x2 1
f 4 142.
f 3 23; f 2 34; f 1 7;
比较得f 4 142 为最大值，f 1 7为最小值.
0
x0
(a)
x
0
x0
(b)
f ( x ) 0
x
y
f ( x ) 0
y
f ( x ) 0
f ( x ) 0
0
x0
(c)
x
0
x0
(d)
x
求函数的极值的步骤
(1) 求出 f ( x );
⑵ 令 f x 0, 求出f(x)的所有驻点; (3) 分别考察 f ( x )在各个驻点的左右两侧附近的符号, 以确定该驻点是否为极值点, 是极大值点还是极小值点;
y 1 sinx 0
（除去 x
2
,
2
, y 0 ）
f x 在[2 , 2 ] 上单调增加.
2 利用单调性证明不等式 一般要证明 g x h x :
或
a）设 f x h x g x ; （一般用大端减小端） b）讨论 f x h x g x 的正、负； c）求定义区间端点的函数值； d）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式。
1 例6 证明 x 1 时， 2 x 3 x 1 1 1 1 证 令 f x 2 x ( 3 ) 则 f x 2 2 ( x x 1) x x x x
函数的单调性 ppt课件
•上是减少的． [思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设 0<x1<x2≤3，则有 y1－y2＝(x1＋x91)－(x2＋x92) ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2
• [规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的 步骤：
• (1)判断：先判断函数的单调性．
• (2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最 值．
• 2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错 的几点：
• (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而 不是横坐标．
• (2)求最值忘记求定义域．
• (3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断 单调性而直接将两端点值代入．
• [规律总结] 证明函数在某个区间上的单调性 的步骤：
• (1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2， 且x1<x2；
• (2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分 解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法 变形；
• (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则 分区间讨论；
• (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结 论．
• (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上 为增函数，在区间________上为减函数．
• [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
• [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
• ∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
• ∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1] 上为减函数.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
第二章 §3 函数的单调性
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增减函数教案ppt篇一：初中课件-实际问题中的函数(含答案)一、实际问题中的一次函数“模型”1、利用一次函数解决“调配问题”“调配”问题是利用一次函数解决问题的典型题目，首先可利用图示法或表格法表示出各个变量，从而确定所示费用等信息的一次函数表达式，运用一次函数的性质分析问题得出正确的判断。
例1：某市A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷冻厂，已知C厂可储存240吨，D厂可储存260吨；从A村运往C、D两厂的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两厂的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C厂的柑桔重量为x吨，A、B两村运往两厂的柑桔运输费用分别yA元AB（3）若B村的柑桔运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调配数量，才能使两村所花运费之和最小？并求出这个最小值．解：表中从上而下，从左到右依次填：（200-x）吨、（240-x）吨、（60+x）吨；故答案为：（200-x）吨、（240-x）吨、（60+x）吨．（2）解：根据题意得：yA=20x+25（200-x）=5000-5x，yB=15（240-x）+18（60+x）=3x+4680，x的取值范围是：0≤x≤200，答：yA、yB与x之间的函数关系式分别是yA=20x+25（200-x）=5000-5x，yB=15（240-x）+18（60+x）=3x+4680，自变量x的取值范围是0≤x≤200．（3）解：由yB≤4830，得3x+4680≤4830，∴x≤50，设A、B两村运费之和为y，则y=yA+yB=-2x+9680，y随着x的增大而减小，又0≤x≤50，∴当x=50时，y有最小值．最小值是y=9580（元），200-50=150，240-50=190，60+50=110，答：若B村的柑桔运费不得超过4830元，在这种情况下，从A 村运往C厂的柑桔重量为50吨，运往D厂的柑桔重量为150吨，从，B村运往C厂的柑桔重量为190吨，运往D厂的柑桔重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，这个最小值是9580元．2、利用一次函数自变量的取值范围解决选择问题在实际问题中建立了一次函数模型，就是运用一次函数的函数值、图象、性质等知识进行探索，以获得使问题的答案最优的自变量的值或取值范围，问题的本质就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，它是通过将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题（或利用一次函数的图象）加以处理。
例2：南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x（m2）的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x（m2）满足函数关系式：y乙=kx．（1）根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x（m2）的函数关系式；（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？3、利用一次函数最值解决最优化问题最值问题是中考中的热点与难点问题，我舞知道一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)中的自变量x的取值范围是全体实数，其图象象是一条直线，所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，其图象为线段或射线，故其就有了最值。
在求函数的最值时，我舞应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。
某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图是裁法一的裁剪示意图）?设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m = ，n = ；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？? 解：（1）0 ，3．（2）由题意，得，∴．，∴．（3）由题意，得．整理，得．由题意，得解得x≤90．【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．二、实际问题中的反比例函数“模型”1、把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解。
例1：李先生参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y 元，x个月结清余款．（1）写出y与x的函数关系式．（2）李先生若用4个月结清余款，每月应付多少元？（3）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？例2：近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO 浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？篇二：二次函数复习课件《二次函数》一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数，y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于x??b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
几种特殊的二次函数的图像特征如下：例：（2012泰安）二次函数y?a(x?m)2?n的图象如图，则一次函数y?mx?n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限考点：二次函数的图象；一次函数的性质。
解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y?mx?n的图象经过二、三、四象限，故选C．3、二次函数图像的画法（五点法）：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺12次连接五点，画出二次函数的图像。
222-3y=-2x22y=-2(x-3)22二、二次函数的解析式（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。
②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。
③二次二项式型：形如y=ax2+c（a 是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。
④二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。
（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。
（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0) （2）顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0) （3）交点式：y?a(x?x1)(x?x2)（a ≠0）2当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x2存在时，2根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)（a≠0）。
如果没有交点，则不能这样表示。
例:（2012泰安）将抛物线y?3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y?3(x?2)?3 B．y?3(x?2)?3 C．y?3(x?2)?3 D．y?3(x?2)?3考点：二次函数图象与几何变换。
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y?3x向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：222222y?3x2?3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y?3x?3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：2y?3(x?2)2?3．故选A．三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），b4ac?b2即当x??时，y最值?。
2a4a3如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若2ab4ac?b2在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范2a4a2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x122时，y最小?ax1如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c；?bx1?c，2当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。
例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B （1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax+bx+c 过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q 从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．解答：解：（1）A（1，4）．?（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）+4 ∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）+4，即y=﹣x+2x+3．?（2分）（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．?（3分）∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．?（4分）∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G 的纵坐标为4﹣∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．?（5分）．222224又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG=S△AEG+S△CEG=?EG?+?EG（2﹣）=?2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．?（7分）当t=2时，S△ACG的最大值为1．?（8分）（3）t=或t=20﹣8．…（12分）四、二次函数的性质5篇三：1.3.1单调性与最值说课稿1.3.1 单调性与最大（小）值各位老师，大家好！今天我说课的课题是：人教版高中数学必修模块一第一章第三节“函数的基本性质”中“单调性与最大（小）值”的第一课时，下面，我将从教材分析、学法分析、教法分析、教辅手段、教学过程、板书设计等六个方面对本课时的教学设计进行说明.一、教材分析（一）教材特点、教材的地位与作用1、教材特点本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。