固体物理习题参考答案(完整版)

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固体物理课后习题答案

(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
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(
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2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
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由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子；所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .

固体物理经典复习题及答案(供参考)

一、简答题1.理想晶体答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成的。

2.晶体的解理性答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。

3.配位数答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。

4.致密度；答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。

5.空间点阵(布喇菲点阵)答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。

空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。

6.基元答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。

7.格点(结点)答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。

8.固体物理学原胞 .答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。

取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。

固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。

9.结晶学原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n ，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, 是固体物理学原胞的体积。

10.布喇菲原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n ,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数,是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞)答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间划分成各个区域。

固体物理习题答案

（2）代入（1）有：
{
Mw 2u c (10 e ika ) v 11cu Mw 2 v c (10 eika ) u 11cv
.......... ........( ) 3
2
有条件解为： Mw2 11c c(10 eika )
c(10 e )
ika
Mw 11c
A ( B C ) ( A C ) B ( A B) C
( c a ) ( a b ) [(c a ) b ] a [(c a ) a ] b Vc a
2 3 2 3 3 (2 )3 V ( ) (b c ) Vc a ( ) V c Vc Vc Vc
，
（1）当 w w1 时，得到即必须有u=0 ,v=v。
M1 ，与 u u M2
v=v ，
（2）当 w w2时，得到 u= u，必须有u= u ,v=0。
M2 vv M1
，即
即无论是光学支还是声学支，在
k kmax a
处，其二类原子振动状态为：一类原子振动时，另一类原子保持不动。

Nhomakorabea
8:解：（a）金刚石晶胞中的八个原子位置为：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 3 (0,0,0), ( , ,0), ( ,0, ), (0, , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
M1M 2 w4 2c(M1 M 2 )w2 2c2 (1 coska) 0.......... 3) ......(

固体物理学习题答案(朱建国版)

（4）在300K可以激发频率为，和的声子的数目；
（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
解：（1）
（2）
（3）
，，
（4）光速，
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10 ，且最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf= a
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb= a
那么， = =
1.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
答：由公式
可得
=2*1015*0.02=4*1013
4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。
（1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。
1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石：。
答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

固体物理习题及解答

一、填空题1. 晶格常数为a 的立方晶系 (hkl)晶面族的晶面间距为a该(hkl)晶面族的倒格子矢量hkl G 为 k al j a k i a h πππ222++ 。

2. 晶体结构可看成是将基元按相同的方式放置在具有三维平移周期性的晶格的每个格点构成。

3. 晶体结构按晶胞形状对称性可划分为 7 大晶系，考虑平移对称性晶体结构可划分为 14 种布拉维晶格。

4. 体心立方（bcc ）晶格的结构因子为 []{})(ex p 1l k h i f S hkl ++-+=π ，其衍射消光条件是奇数=++l k h 。

5. 与正格子晶列[hkl]垂直的倒格子晶面的晶面指数为 (hkl) ，与正格子晶面（hkl ）垂直的倒格子晶列的晶列指数为 [hkl] 。

6. 由N 个晶胞常数为a 的晶胞所构成的一维晶格，其第一布里渊区边界宽度为 a /2π ，电子波矢的允许值为 Na /2π 的整数倍。

7. 对于体积为V,并具有N 个电子的金属, 其波矢空间中每一个波矢所占的体积为 ()V /23π ，费米波矢为 3/123⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=V N k F π 。

8. 按经典统计理论，N 个自由电子系统的比热应为 B Nk 23 ，而根据量子统计得到的金属三维电子气的比热为F B T T Nk /22 ，比经典值小了约两个数量级。

9．在晶体的周期性势场中，电子能带在布里渊区边界将出现带隙，这是因为电子行波在该处受到布拉格反射变成驻波而导致的结果。

10. 对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为 (122) , 其面间距为 .11. 铁磁相变属于典型的二级相变，在居里温度附近，自由能连续变化，但其一阶导数（比热）不连续。

12. 晶体结构按点对称操作可划分为 32 个点群，结合平移对称操作可进一步划分为 230 个空间群。

13．等径圆球的最密堆积方式有六方密堆（hcp ）和面心立方密堆（fcc ）两种方式，两者的空间占据率皆为74%。

固体物理后三章参考答案(部分)

固体物理习题参考答案（部分）第四章晶体振动和晶体的热学性质1. 解：第m 个原子对第n 个原子的力为：()()n m n m n m n m m n,u u u u f -+-=-+ββ第n 个原子受到的总力为：()n m n m n 1n m 1n m n,m n,2u u u f F -+==-+∞=∞=∑∑β设试解具有的波动形式()t qna i n Ae u ω-=第n 个原子的运动方程可写为：()n m n m n 1n m n 222u u u dt d M -+=-+∞=∑βυ代入试解后得)2(sin 4]1)[cos(2)2(M 21112qmaqma e e m m m m iqma iqma m m ∑∑∑∞=∞=-∞=-=-=-+=-βββω所以可解得 ∑∞==122)2(sin M 4m m qma βω 2. 解：原子2n 的运动方程为：2n 22121221()()n n n n M u u u u u ββ∙∙+-=---原子2n+1的运动方程为：2n+1122212212()()n n n n M u u u u u ββ∙∙+++=---设两方程的试解为：[]2i qna t n u Aeω-=2[()]21i q na b tn u Beω+-+=[(1)]22i q n a t n u Ae ω+-+= 1[()]21i q na b t n u Be ω---=代人运动方程得：()()21212211222112iqb iqb iqb iqb MA Be Be AMB Ae Ae Bωββββωββββ-----=-+-+-=+-+有解条件，系数行列式为0()212121221221120()iqb iqb iqb iqb M e e AeAeM ββωββββββω----+---+=+-+-解得：()()212212122124sin 211qa M ωββββββ=⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪+⎢⎥=±- ⎪⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2. 解：单位波矢区间对应有 /2L π个模式,d q 区间内有22L Ldq dq ππ=个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为()L dqg d ωπω=由一维色散关系:得将上式代入前式得sin22m m qa qa ωωω===其中cos()22m a qad dq ωω=1L5. 解：模式密度：D 23D9N(g ωωωωω≤=，）（推导参考教材P78, 4.7.20）每个谐振子的零点振动能为ω 21，各声频支的零点振动能： D 203D00N 89d 219N d 21)(g U D Dωωωωωωωωωω ===⎰⎰ 补充题：1. 设一长度为L 的一维简单晶格，原子质量为m,间距为a,原子互作用可写成由简谐近似求：（1）色散关系 (2)模式密度（3）晶格热容（列出积分式）解：（1）第n 个原子的受到的总合力)2(11n n n n u u u F -+-=-+β设)(t qna i n Ae u ω-=代入运动方程，得)2(s i n 4]1)[c o s (2)2(21112q m aq m a e e m m m m m i q m a i q m a m m ∑∑∑∞=∞=-∞=-=-=-+=-βββω由此得色散关系（2）单位波矢区对应有π2L个模式，dq 区间内有dq Ldq 22ππ=⨯个振动。

方俊鑫版固体物理习题解答(前34题)

11．布喇菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。

（Bravais 格子）氯化钠结构：面心立方Na +布氏格子和面心立方Cl -的布氏格子套构而成的复式格子。

金刚石晶胞中由于位于四面体中心的原子和顶角原子价键的取向各不相同（即中心原子和顶角原子周围的情况不同），所以是复式格子，这种复式格子是两个面心立方格子套构而成的。

2．倒格子：设一晶格的基矢为→1a ，→2a ，→3a ，若另一格子的基矢为→1b ，→2b ，→3b ，与→1a ，→2a ，→3a 存在关系：⎩⎨⎧≠===∙ji ji a b ij j i 022ππδ (i,j=1,2,3)则称以→1b ，→2b ，→3b 为基矢的格子是以→1a ，→2a ，→3a 为基矢的格子的倒格子。

自原点O 引晶面族ABC 的法线ON ，在法线上截取一段OP=ρ，使ρd=2π，d 是晶面族ABC 的面间距，对于每一族晶面都有一点P ，使得OP 成为该方向的周期，把P 平移可以得出一个新的点阵，这个新格子称为原来晶格的倒格子。

设正格子基矢为→1a ，→2a ，→3a ，则→1a →2a ，→2a →3a ，→3a →1a 晶面族的面间距分别为d 3，d 1，d 2。

分别作OP 垂直于三个晶面族，在三个垂线上截取33/2d b π=，11/2d b π=，22/2d b π=，这样得出的三个矢量→1b ，→2b ，→3b 就取为倒格子的基矢。

又因为正格子元胞的体积为：)()()(213132321→→→→→→⨯=⨯=⨯=Ωa a d a a d a a d ，即：Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯∙==→→→323122a a d b ππ，Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯∙==→→→132222a a d b ππ，Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯∙==→→→211322a a d b ππ3．证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

面心立方格子基矢：)(2)(2)(2321→→→→→→→→→+=+=+=j i a a i k a a k j a a利用公式：Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∙=→→→3212a a b π，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∙=→→→1322a a b π，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∙=→→→2132a a b π可求出其倒格子基矢为： )(2)(2)(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i ab k j i a b k j i a b πππ体心立方格子基矢： )(2)(2)(2'3'2'1→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a 利用公式可求出其倒格子基矢为： )(2)(2)(2'3'2'1→→→→→→→→→+=+=+=j i a a i k a a k j a a πππ，所以体心立方格子与面心立方格子互为正倒格子。

固体物理第二章习题参考答案

固体物理第二章习题参考答案1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m rb r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的二原子间的互作用能；(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值；（4）若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。

解：(1)平衡时 01100=-=∂∂----n m r bnr amr r u 得 am bn r mn =-0m n ambn r -=1)(0 (2)平衡时把r 0表示式代入u(r) u(r 0)=－m n n m n m ambn b am bn a --+)()(=－m n n m b amn a bn m -+)()( （3）由r 0表示式得： 81)5(10310ab =⨯-若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得101021019)103()103(106.14---⨯-⨯+=⨯⨯ba 化简为 80101039104.6-⨯-+=⨯ba 略去第二项 a=5.76⨯102 上式代入a 值得 b=7.55⨯10-75 (4)由题意得 λex ρ(-r 0/ρ)＝br -n *ln λ－r 0/ρ=lnb －nlnr 0 nlnr o ＝r 0/ρ＋lnb/λln ln 0r n b r λρ+=又解：*式两边对r 0求导，得：λ/ρ×ex ρ(-r 0/ρ)＝bnr -n+1, 与*式比较得： n/r 0 =1/ρ 得：r 0 = n ρ2.N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=R e RB N R U n 024)(πεα(1) 证明平衡原子间距为 n e BR n 2014απε=- (2) 证明平衡时的互作用势能为 )11(4)(0020nR Ne R U --=πεα(3) 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.63⨯10-10m ，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.75证：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---2021)1(4)(R e e n B N dr du n πεα)4(1202+--=n RBnR e N πεα令00==R R dRdu得20104e BnR n απε=- 证毕（2）把以上结果代入U(R)式，并把R 取为R 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=12012020)(4)()(402440e Bn e Bn e Bn e B N R U απεαπεαπεπεα =－N )11(4002nR e -πεα若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－” 证毕（3）由（2）之结论整理可得)(400022R U R e N e N n πεαα+= 式中阿氏常数N ＝6.0⨯1023 电子电量 e=1.6⨯10-19库仑真空介电常数 ε0=8.85⨯10-12法/米若题中R 0为异种原子的间矩，R 0＝0.5×5.63⨯10－10m U(R 0)=-765000j/mol （平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）马德隆常数α=1.7520)(411e N R U R n απε－=8.811510121056.275.1100.61065,71082.21085.814.34≈-=--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

黄昆固体物理习题解答-完整版

0⎞ ⎟ 0⎟ ε3 ⎟ ⎠
1.12 比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Nacl 晶格的晶系、布拉伐格子、平移群、点群、空间群。晶格面心立方晶格金刚石晶格闪锌矿晶格 Nacl 晶格的晶系晶系立方立方立方立方布拉伐格子面心立方面心立方面心立方面心立方点群 Oh Oh Td Oh 空间群 Fm3m Fd3m
F43m
Fm3m
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5
《固体物理》习题解答
第二章
习题
2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 α = 2 ln 2 . 证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有
3π / 8 ≈ 0.68
2π / 6 ≈ 0.74 2π / 6 ≈ 0.74 3π /16 ≈ 0.34
解设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致
密度为: ρ = 结构简单立方体心立方面心立方六方密排金刚石
4π nr 3 （设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是 3V
6 a
3a / 2
6 a
2a
1.7
画体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) ， (110) ， (111) 面上解：
原子排列．
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3
《固体物理》习题解答
体心立方
面心立方
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解 (111)面与(100)面的交线的 AB－AB 平移， A 与 O 重合。B 点位矢 RB = −aj + ak （111）与（100）面的交线的晶向 AB = − aj + ak —— 晶向指数 ⎡011⎤

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固体物理习题参考答案（完整版） (文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）固体物理第一次习题参考答案 1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构 x

简单立方 0.526x

体心立方 30.688x 面心立方 20.746x 六角密排 20.746x 金刚石 30.3416x

解：设钢球半径为r，立方晶系晶格常数为a，六角密排晶格常数为a,c 钢球体积为V1，总体积为V2 （1）简单立方

单胞含一个原子，ar2 52.06343321arVV （2）体心立方

取惯用单胞，含两个原子，ra43 68.0833423321arVV （3）面心立方

取惯用单胞，含4个原子，ra2 74.0623443321arVV （4）六角密排与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率

取图示单胞，含两个原子，ar2 单胞高度ac38（见第2题）

74.062233422321car

（5）金刚石取惯用单胞，含8个原子，ra2341 34.01633483321arVV 2．试证六方密排密堆积结构中128()1.6333ca 解：六角密排，如图示，4个原子构成正四面体 222)2332(2aac



  ac38

3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。证：体心立方基矢取为







)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa













其中a为晶格常数其倒格子基矢，按定义

)(2)(21111114212)(223321jibjiakjiaaaab

)(2)(2132kjbaab )(2)(2213kibaab

可见，体心立方的倒格子是晶格常数为ab4的面心立方。同理可证，面心立方的倒格子是晶格常数为a4的体心立方。

4．证明：倒格子原胞的体积为(2)3/ Ω ，其中Ω为正格子原胞的体积证：正格子原胞体积 )(321aaa

倒格子原胞体积 *12312122()[()]bbbbbaa 利用矢量公式 CBABCACBA)()()( 并利用性质 ijjiaa2，可得

311*822ab

5．写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a，写出最近邻和次近邻的原子间距。最近邻原子数最近邻原子间距次近邻原子数次近邻原子间距体心立方 8 a23 6 a 面心立方 12 a22 6 a

6．写出体心立方和面心立方晶格结构的金属在(100), (110), (111)面上的原子排列。 (100) 面 (110) 面 (111) 面

体心立方简单正方有心长方简单六角

面心立方简单正方简单长方简单六角 7．倒格子矢量为 Kh = h1b1 + h2 b2 + h3 b3，证明布里渊区边界方程为： 02122hhKKk

证明此方程就是波在晶体中(h1h2h3) 晶面族上发生全反射的布喇格方程。证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢hK，故该边界面上任一矢量满足

0)21(hhKKk

即边界方程为 02122hhKKk 取hK方向最短的倒格矢为0K，0KnKh 将面间距公式02Kd代入边界方程，有

02cos22d

n 其中，为k与hK的夹角。取其余角，2，上式化为 ndsin2 即Bragg公式。

8．画图作出二维正方格子和二维简单六方晶格的前三个布里渊区。解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。

正方格子的布里渊区六角格子的布里渊区 9．讨论KCl晶体的几何结构因子及消光条件。提示,K+ 和Cl- 有相同的电子壳层结构和相同的原子形状因子。

解：K＋，Cl－电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子，KClfff 单胞中4个K＋，4个Cl－，各自排为面心结构，设其坐标分别为 K：)0,0,0( )0,21,21( )21,0,21( )21,21,0(

Cl：)0,0,21(＋[K]coord.

几何结构因子 8()()()1(1)[1]hjiKriHiHKiHLiKLHKLjjFfefeeee 消光时，20HKLHKLIF。条件：（i）H为奇数或（ii）,,HKHLKL中有两奇一偶，即衍射面指数中,,HKL不能为全奇或全偶。

因此，只需,,HKL中存在一个奇数，即会消光。注：由于KClff，故对X射线衍射而言也可将晶体视为简单立方结构

但此时晶格常数减小一倍，相应倒格子基矢扩大一倍。因此，简单立方中()HKL所表示的晶面，如(111)，在原系统中为()(222)HKLHKL，即(222)。尽管对简单立方而言，不存在消光，HKL可任取正整数值，但,,HKL却只能取偶数，这于前面的结果一致。

10．证明对立方晶系进行X 射线粉末衍射照相时，如果衍射面指数为 (H K L)，出现的衍射线G=H2+K2+L2 的值如下：简单立方： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, … 体心立方： 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 面心立方： 3, 4, 8, 11, 12, … 金刚石： 3, 8, 11, … 解：（1）简单立方

不存在消光，,,HKL可任取非负整数（但不同时为0）

（H K L） (001) (011) (111) (002) (012) (112) (222) (003) (122) (013) (113) G=H2+K2+L2 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 （2）体心立方几何结构因子 ()[1]iHKLHKLFfe 衍射条件 H+K+L=偶数，由于此限制，在简单立方的列表中去除了G=1,3,5,9 2,4,6,8BCCG （3）面心立方几何结构因子 ()()()[1]iHKiHLiKLHKLFfeee 根据上一道题的讨论，衍射条件要求H,K,L奇偶性相同故列表中只取 3,4,8,11FCCG （4）金刚石几何结构因子 ()2[1]iHKLHKLFfe[面心立方因子] 即除H,K,L奇偶性相同外，还须要求(H+K+L)/2不能为奇数，由此 i）H,K,L全为奇数或 ii）H,K,L全为偶数，且三者之和是4的整数倍固体物理第二次习题参考答案 1．证明六角晶体的介电常数张量为122000000 证1：六角晶体，设介电常数为xxxyxzyxyyyzzxzyzz，取坐标架如图示选电场方向在x轴方向，有 xxxyyxzzx

DDED



绕x轴旋转晶体180o，电场不变

xxxxyyyxzzzx

DDDDEDD



因为绕x轴转180度为对称操作，应有DD  0yxzx

同理，选电场方向在y轴、z轴，绕轴转180度为晶体的对称操作，可推出非对角项为0 0xyzyxzyz

另，可选电场在图示方向， 13ˆˆ

22yzEEeEe

代入000000xxyyzz，有 01232xyyyzzzDDED 绕电场方向为轴转180度，电场不变

y z E 60o 00

1313224431332244xyyzyyzzzyzyyzzDDDDEDDD

该操作也为六角晶体的对称操作，根据DD，必有yyzz 因此，介电常数张量可写为 122

000000





证2：设转动操作的变换矩阵为T，在该操作下二阶张量的变换为1'TT 若该操作为对称操作，应满足 

取对称操作为绕x轴转180度，100010001T 代入上式，有

()0000

yyyzzyzz





再取对称操作为绕y轴转180度，100010001T 代入上式，有

()000000

yyzz





最后，取绕z轴转120度，1000cos60sin600sin60cos60T，可得 yyzz

2．讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合能得影响。（排斥势看作不变）解：NaCl为离子晶体，系统内能可写为

2()nAtBUNrr