必修1-第一章-集合1

一、集合有关概念

1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……

集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q ……

指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数

（4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。

2．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）

4．有限集、无限集和空集的概念：

有限集：元素个数有限个

无限集：元素个数无穷个

空集：一个元素都没有的集合 例：{x|x 2

=－5｝

5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N

（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,

{}整数与分数=Q

（5）实数集：全体实数的集合记作R {}

数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，

也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *

6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，

5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成

{|()}x p x 的形式。 如： {x| x>3 } ，{所有的正整数}

（3）韦恩（Venn ）图

7．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。 重点：集合的含义与表示方法.

难点：表示法的恰当选择.

1．集合的9个实例：

(1)1—20以内的所有质数；

(2)我国古代的四大发明；

(3)所有的安理会常任理事国；

(4)所有的正方形；

(5)广东省在2011年9月之前建成的所有立交桥；

(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；

(7)方程2

560

x x -+=的所有实数根； (8)不等式30

x ->的所有解； (9)广州市2004年9月入学的高一学生的全体.

一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.

集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.

集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.

2．判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1)大于3小于11的偶数；

(2)我国的小河流.

3. 举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.

4.下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A ．所有的正数

B ．等于2的数

C ．接近于0的数

D ．不等于0的偶数

元素与集合的关系有两种：属于和不属于.

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.

如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.

5.常用数集的记号.

N ：（ ） Z ：（ ） Q ：（ ） R ：（ ） 右上角加上个“+”号或“*”号表示取正的，加上“-”表示取负的

（1）0______N , 5______N , 16______N

（2）1______,_______,2Q Q π-

（3{}|,,x a Q b Q =∈∈

6.集合表示的三种方法：自然语言.列举法和描述法

集合按元素个数可以分为有限集、无限集

1、列出集合的表示方法：自然语言、列举法和描述法表示集合。

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外

还常用列举法和描述法来表示集合。

2、列举法

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；

用列举法必须注意的事项：

（1）大括号不能缺失.

(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)

自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}

（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素. a 表示这个集合的一个元素.

（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.

有些集合的元素是列举不完的，此时就要用下面的方法来表示。

3、描述法

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）

范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：

{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{直角三角形}，…；

例：用描述法表示集合{2，4，6，8，10}

解：{x|x=2n,0

或{x ∈N|x=2n ，0

习惯上我们用第一种方法，不把x ∈N 写在竖线左边。

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可

省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12

+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12

+=x y 的所有函数值构成的数集 辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要