高中数学考试试卷原创题(难度较大)
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一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合{}
122=+∈=y x Z x A ，集合{}12-==x y x B ，则B A ?的元素个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.向量、，若)2,1(=，满足与+同方向的单位向量为)13
13
3,13132(
=b （ ） A.5 B.25 C.5 D.35 3.已知复数1z 、2z 满足21=z ，221=-z z ，i z z -=+3221，则=2
1
z z （ ） A.i i -2528或 B.i i +-25
28
或
C.i i 5157-或
D.i i 5
7
51+-或
4.如图所示程序框图，若输出的结果为25=S ，则 输入的t =（ ）
A.5
B.9
C.10
D.15
5.抛物线y x 42
=上两动点A 、B ，若8=AB 。设()00,y x P 是线段AB 的中点，则=0y （ ）
A.4
B.8
C.41
D.16
15
6.若P 点是双曲线C ：122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）上任意一点；在P 点处作C 的切线l 与两坐标轴交于A 、
B 两点。已知△OAB 的面积为2a ，则双曲线
C 的离心率为（ ） A.5 B.3 C.2 D.
2
5
7.从231、232、233···240这十个数字中随机抽取一个数字，则该数字的个位数字与十位数字之和是奇数的概率为（ ） A.
107 B.53 C.21 D.5
2
8.已知实数x 、y 满足??
?
??≥≤≤+-000
1y x y x ，则223y x z +=的最小值为（ ）
A.1
B.
4
3
C.22
D.0
9.已知三棱锥A -BCD 的所有棱长都为2，点P 是平面BCD 内的一个动点，AP=3，若M 、N 、Q 分别为AB 、AC 、AD 的中点，则三棱锥P -MNQ 的外接球表面积为（ ） A.π3 B.π4 C.π5 D.π6
10.已知α是第二象限角，且1cos sin 5=+αα，则=+ααcos sin 18（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 11.已知几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长 为3的正方体，则该几何体的体积为（ ） A.
2
3
B.3
C.
2
3
3 D.23 12.函数x x x f )3()(2+=的图像大致为（ ） A.
B.
C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.()55
)1(2+?+x x 的展开式中x 项的系数是 .
14.已知ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足c A b B a 53cos cos =-，则B
A
tan tan 的值
为 .
15.已知实数a 、b 满足1=+b a .则()()1122++++b b a a 的最小值是 .
16.已知函数)1ln(2ln )(+-=x ax x f .若)(x f 在定义域内有且仅有一个零点，则a 的取值范围是 .
三、解答题（每题12分，共60分）
17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足n S a a n n 442
121++=+，且73a S =.
（1）求n a 得通项公式；
（2）求数列{}n n S ?2的前n 项和n T .
18.如图所示的三棱锥P -BCA 中，PA=AB=1，PC=BC=3（1）求证：PB ⊥AC ； （2）若PB=2
6
，AB ⊥BC.求二面角A -PC -B 的余弦值。
19.已知两变量x 、y 满足如下表的关系：
（1）求y 关于x 的回归方程a x b y
???+=； （2）设i i i y y y ?-=?（73,2,1 =i ），从i y ?中任取三个数，X 表示0>?i y 的个数，求X 的分布列。
附：2
1
1)()
)((?x x y y x x b i n
i i i n
i -∑--∑===；x b y a ??-=.
20.椭圆C ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左右顶点为1A 、2A .椭圆C 上一动点P 与1A 、2A 构成的斜率满足
49
3
21-
=?PA PA k k .若b a 73=. （1）求a 、b ；
（2）过C 的右焦点的直线l 与C 交于E 、F 两点，EF=5
6
.求直线l 的斜率。
21.已知)('x f 是函数2ln 2)(x ax x ae x f x --+=的导函数.
（1）当0>a 时，00>?x 满足)('x f 的最小值为)('0x f ，求证：0)('0≤x f ； （2）若1=x 是)(x f 的极小值，求a 的取值范围。
四、选做题（每题10分，共10分）
22.曲线1C :22
2=+y x ，直线l ：???
???
?
+=--=t y t
x 2
2322
3（t 为参数）. （1）将曲线1C 的横坐标伸长为原来的2倍、纵坐标不变得到2C 的方程，求2C 直角坐标方程。 （2）直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，已知定点)2,4(-P ，求PB PA ?
23.已知1=++z y x ，
（1）求证：3
1
222≥++z y x ；
（2）当x ，y ，z ),0(+∞∈时，求证：
2
9
111≥+++++z y z x y x .