第十八章 平行四边形知识点总结
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第十八章 平行四边形知识点总结
考点题型分析:
证明线段相等:①证明线段所在的两个三角形全等;②在同一个三角形中,利用等角对等边;
一.平行四边形
1.(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)表示方法:
,平行四边形ABCD 记作,读作“平行四边形ABCD ”.
2.性质:
(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;(2)边:两组对边分别平行且相等;(3)对角线:对角线互相平分;(4)面积:①S ==⨯底高ah ;②对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. 3.平行四边形的判别及证明四边形是平行四边形:方法有(5种)
①定义:两组对边分别平行 ②方法1:两组对角分别相等
③方法2:两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 ④方法3:对角线互相平分
⑤方法4:一组对边平行且相等
二、矩形:
(1)定义:有一个角是直角 的平行四边形 是矩形。
注意条件:① 平行四边形; ② 一个角是直角,两者缺一不可.
(2)矩形性质:①边:对边平行且相等; ②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相平分且相等;④对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条). (3)矩形的判定及证明四边形是矩形:方法有(3种)
①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形; ③四个角都相等
三、菱形:
(1)菱形的定义:有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。
注意把握:① 平行四边形;② 一组邻边相等,两者缺一不可. (2)菱形:①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补;
③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角; ④对称性:轴对称图形(对角线所在
直线,2条).
(2)(2)菱形的判定及证明四边形是菱形:方法有(3种)
①有一组邻边相等的平行四边形; ②对角线互相垂直的平行四边形; ③四条边都相等.
四、正方形:
(1)定义:有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形。它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.
(2)正方形性质:①边:四条边都相等; ②角:四角相等;③对角线:对角线互相垂直平分且相等,
对角线与边的夹角为450
; ④对称性:轴对称图形(4条).
(3)正方形的判定及证明四边形是正方形:方法有(5种)
① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形;
③ 对角线互相垂直 的矩形. ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形;
2.几种特殊四边形的面积问题
① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ,则S 矩形=ab .
② 设菱形ABCD 的一边长为a ,高为h ,则S 菱形=ah ;若菱形的两对角线的长分别为a,b ,则S 菱形=1
2
ab . ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ,则S 正方形=2
a ;若正方形的对角线的长为a ,则S 正方形=2
12
a . ④ 设梯形ABCD 的上底为a ,下底为
b ,高为h ,则S 梯形=
1
()2
a b h +. 五、梯形:(选学)
(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。注意把握:①一组对边平行;② 一组对边不平行
(2)等腰梯形:是一种特殊的梯形,它是两腰相等 的梯形,特殊梯形还有直角梯形.
(3)等腰梯形性质:①边:上下底平行但不相等,两腰相等; ②角:同一底边上的两个角相等;对角互补 ③对角线:对角线相等;④对称性:轴对称图形(上下底中点所在直线).
(4)等腰梯形的判定:
① 同一底两个底角相等的梯形;② 对角线相等的梯形.
4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
(1)识别矩形的常用方法
① 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角. ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的对角线相等. ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角. (2)识别菱形的常用方法
① 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等. ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直. ③ 说明四边形ABCD 的四条相等. (3)识别正方形的常用方法
① 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等. ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等. ③ 先说明四边形ABCD 为矩形,再说明矩形的一组邻边相等.
④ 先说明四边形ABCD 为菱形,再说明菱形ABCD 的一个角为直角. (4)识别等腰梯形的常用方法
① 先说明四边形ABCD 为梯形,再说明两腰相等.
② 先说明四边形ABCD 为梯形,再说明同一底上的两个内角相等. ③ 先说明四边形ABCD 为梯形,再说明对角线相等.
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
D
C
B
A
O
E
一、计算题
1. 如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点,过O 点作OE ⊥AB ,垂足为E .
(1) 求∠ABD 的度数; (2)求线段BE 的长.
二、证明题
2. 如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点,连接EF 、OE 、
OF .求证:四边形AEOF 是菱形.
3. 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED . (1)求证:△BEC ≌△DEC ;
(2)延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数.
4. 已知:如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 和CD 上,AE = AF .
(1)求证:BE = DF ;
(2)连接AC 交EF 于点O ,延长OC 至点M ,使OM = OA ,连接EM 、
FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形?并证明你的结论.
证明:
5. 如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、边上的点,且.AE BF =求证.AF DE ⊥
6. 如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,点D 落在点G 处,EF 为折痕. (1)求证:FGC EBC △≌△;
(2)若84AB AD ==,,求四边形ECGF (阴影部分)的面积.
7.如图,在△ABC 中,D 是BC 边的中点,E 、F 分别在AD 及其延长线上,CE ∥BF ,连接BE 、CF . (1)求证:△BDF ≌△CDE ;
(2)若AB =AC ,求证:四边形BFCE 是菱形.
8. 如图,在□ABCD 中,EF ∥BD ,分别交BC 、CD 于点P 、Q ,分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F .已知BE=BP . 求证:(1)∠E=∠F .
(2)□ABCD 是菱形.
9. 如图,O 为矩形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD . (1)试判断四边形OCED 的形状,并说明理由;
(2)若AB =6,BC =8,求四边形OCED 的面积.
10. 如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AC 平分∠BAD ,CE ∥AD 交AB 于点E .求证:四边形AECD 是菱形.
D
A
B
C
O
E
60 A
F D
B
E O
C
E
B D
A
C
F A
F
D
E
B
C
A D B
E F O
C
M
D C F
B E
A
A
B C D E