高一数学预科资料

高一数学预科资料 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高一数学预科资料

前言

课时安排：

第一讲集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2)

第二讲集合的基本运算（一）

第三讲集合的基本运算（二）

第四讲第一章复习及检测

第五讲补充内容不等式

第六讲函数的概念及函数的表示法

第七讲单调性与最大（小）值

第八讲奇偶性

第九讲函数单调性与奇偶性的复习

第十讲指数与指数幂的运算

第十一讲指数函数及其性质（一）

第十二讲指数函数及其性质（二）

第十三讲对数及对数函数

第十四讲幂函数

第十五讲二次函数（加强）及单元自测

第一讲集合的含义与表示（1）

、引入

在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：

（1）自然数的集合； （2）有理数的集合；

（3）不等式37<-x 的解的集合；

（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ）

II 、新授 一、集合的概念：

新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总

体叫做集合（set ）（简称为集 ）。

旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每

一个对象叫做这个集合的元素。

例1：判断下列哪些能组成集合。 （1）1~20以内的所有质数；

（2）我国从1991~2003年的

13年内所发射的所有人造卫星；

（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形；

（6）到直线l 的距离等于定长

d 的所有的点；

（7）方程0232=-+x x 的所有实数根； （8）新华中学2004年9月入学的所

有的高一学生。

（9）身材较高的人；（10）{1，1}；

（11）我国的大河流；

问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系

（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合

点评：

1、集合的性质：

（1）、

（2）、

（3）、

2、经常用大写拉丁字母A，B，C， 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,

表示集合中的元素。

例如：A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；

B={a,b,c,d,e,f,g};

特例：C={A,B}

3、如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to ）集合A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to ）集合A，记

作。

例如：太平洋 A a B h B

4、数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作；

全体整数组成的集合称为整数集，记作；

有理数组成的集合称为有理数集，记作 ； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 。 二、集合的表示方法

我们可以用自然语言描述一个集合，还可以用列举法、描述法等来表示集合。 1、列举法

概念：把集合中的元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法

叫做列举法

自然语言描述：“地球上的四大洋”组成的集合 列举法：

自然语言描述：“方程0)2)(1(=+-x x 的所有实数根”组成的集合 列举法：

例2、用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x x =2的所

有实数根组成的集合；

（3）由1~20以内的所有质数组成的集合。 问：（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8}吗

（2）你能用列举法表示不等式37<-x 的解集吗 2、描述法

我们不能用列举法表示不等式37<-x 的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。

例如，不等式37<-x 的解集中所含元素的共同特征是：10,37,<<-∈x x R x 即且 所以，我们可以把这个集合表示为 D=

又如，任何一个奇数都可以表示为)(12Z k k x ∈+=的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为 E= 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 点评：R x ∈，Z k ∈有时可以省略 例如：D= E=

例3、试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程022=-x 的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。 三、拓广探索

1、已知由实数12+-a a ，3，a ，1-为对象组成的集合为M ，且M 中仅含有3个元素，求实数a 的值。

2、已知集合A={R a x ax R x ∈=++∈,012|2}。

（1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出该元素； （2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。

3、已知集合M={ d a d a a 2,,++ }，N={ 2,,aq aq a }表示同一集合，其中0≠a ，求q 的值

四、思考（本题仅供参考）

4、设集合M = {z y x y x z z ∈-=,,|22}。 （1）试验证5和6是否属于集合M ； （2）关于集合M ，还能得到什么结论吗 五、家庭作业

1、用列举法表示下列集合：

（1）{既是质数又是偶数的数}：

（2）{（y x ,）|6=+y x ，N y x ∈,}： 2、用描述法表示下列集合：

（1）方程52=+y x 的解集： （2）集合{1，2，3，2，5， }： 3、用符号“∈”或“?”填空：

（1）若A={x x x =2|}，则1- A （2）若B={06|2=-+x x x }，则3 B （3）若C={101|≤≤∈x N x }，则8 C （4）若D={32|<<-∈x Z x }，则 D

家长签字：

集合间的基本关系（2）

I 、温故知新

1、用描述法表示集合：{1，

21，31，41

，51，6

1} 2、用列举法表示集合：{x |02223=+--x x x }

3、若R x ∈，则{3，x ，x x 22-}中的元素x 应满足什么条件

II 、新授 一、几个概念

观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗 （1）A={1，2，3}， B={1，2，3，4，5}；

（2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，

B 为这个班全体学生组成的集合；

（3）设A={x |x 是两条边相等的三角形}， B={x |x 是等腰三角形}。

子集：一般地，对于两个集合A ，B ， 如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元

素，我们就说这两个集合有包含关系， 称集合A 为集合B 的子集（subset ）， 记作 （或 ）

读作“ ”（或“ ”） 如：{x |3>x } {x |063>-x }；

两集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ?B ），且集合B 是集合A 的子集

（B ?A ），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作

{x |真子集：

（A={x } B={空集：我们把不含任何元素的集合叫做 （empty set ），记作 ，

例如：{x |012=+x }= 点评：

1、?和?分别可以用?和?表示；

2、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V enn 图（韦恩图）

例如：A ?B 可以用下图表示

3、任何一个集合是它本身的子集，即A ?A ；

4、规定：空集是任何集合的子集；A ?φ， ?φ{φ}， ∈φ{φ}

空集是任何非空集合的真子集；

5、子集的传递性

（1）对于集合A 、B 、C ，如果A B ， B C ， 那么A C （2）对于集合A 、B 、C ，如果A B ， B C ， 那么A C 6、注意区别：{a }?A 与 a ∈A 二、例题解析

1、集合φ与{0}的关系是（ ）

A 、{0} = φ

B 、φ ∈ {0}

C 、φ

{0}

D 、{0} φ

2、判断A={x |12+=m x ，Z m ∈} ， B={x |12-=n x ，Z n ∈}是否相等。

3、写出集合{a ，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 三、拓展探索

1、设A={x R ∈|01582=+-x x }，B={x R ∈|01=-ax }，且B ?A ，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集。

2、设A={ 04|2=+x x x }，B={ 01)1(2|22=-+++a x a x x }。 （1）若B ?A ，求a 的值 （2）若A ?B ，求a 的值

3、已知A={ c b a ,, }，求： （1）集合A 的子集的个数；

（2）若集合A 含有元素分别为1个、2个、3个、4个、5个，则子集的个数分别是多少

（3）据上面的结果猜测集合A 含有n 个元素时，集合A 的子集的个数。 4、 设集合1{|,}24n A x x n Z ==+∈，1

{|,}42

n B x x n Z ==+∈，试确定集合A 与B 的关系.

四、思考（本题仅供参考）

5 、设,,,a b c d Z ∈，集合{|128},{|208}A x x a b B x x c d ==+==+，试确定集合A 与B 的关系. 五、家庭作业

1、满足关系式{1，2}M

?{1，2，3，4}的集合M 的个数有 （ ） A 、3个

B 、4个

C 、5个

D 、6个

2、设集合A={x |3

（1）当A ?B 时，则实数a 的取值范围是 ； （2）当A B 时，则实数a 的取值范围是 ；

3、集合M ={x |23-=k x ，Z k ∈}，P={y |13+=l y ，Z l ∈}，S={x |16+=m x ，

Z m ∈}之间的关系是 （ ）

A 、S P M

B 、S=P M

C 、S P=M

D 、S=P=M 4、 设集合{1,2,}A a =，2{2,}B a =，若B A ?，求实数a 的值.

家长签字：

第二讲 1．1．3集合的基本运算（一）

引：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢

考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗

（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；

（2）A={x

x|是无理数}，C={x

x|是实数}。

x|是有理数}，B={x

一、并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B 的并集（union set），记作（读作“”），即

点评：

（1）“A

x∈”包括下列三种情况：

x∈或B

（2）A A= ；Aφ

=

（3）

（4）

（5）

例1、设A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，求A?B

例2、设集合A={}2

1|<

x}，求A?B

x，集合B={3

1

|<

<

-x

点评：

我们还可以在数轴上表示例2中的并集A?B，即：

引入：考察下面的的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系

（1）A={2，4，6，8，10}， B={3，5，8，12}， C={8}；

（2）A={x

x|是新华中学2004年9月在校的女同学}，

B={x x |是新华中学2004年9月在校的高一年级同学}， C={x x |是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学}，

二、交集

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集（tion er sec int set ），记作 （读作“ ”），即 点评：

（1）A A= ； A φ = 。 （2） （3） （4）

例3、新华中学开运动会，设 A={x x |是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B={x x |是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}， 求A B 。

例4、设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试用集合的运算表

示1l ，2l 的位置关系。 三、拓展探索

1、 已知集合A={012|2=+-ax x x }，B={}0|

2、设A={}112|>-<<-x x x 或，B={b x a x ≤≤|}，若A B={2|->x x }，A B={31|≤

3、已知集合A={74|<≤x x }，B={121|-≤<+a x a x }，且A B φ≠，求实数a 的取值范围

4、设集合2{1,2,1}A x x =--+，{4,2,4}B y x =-+，已知{1,7}A B =-，求x y 、的值.

四、思考

5、 已知集合{}2|(23)30A x x a x a =+--=，{}22|(3)30B x x a x a a =+-+-=，若

A B ≠，且A B ≠?，求A B . 五、家庭作业

1、设A={2|->x x }，B={3|

2、设A={x x |是等腰三角形}， B={x x |是直角三角形}，求A B 。

3、设A={x x |是锐角三角形}， B={x x |是钝角三角形}，求A B 。

4、设A={21|<<-x x }，B={31|<

5、已知M={1}，N={1，2}，设A={（y x ,）|N y M x ∈∈,}，B={（y x ,）|M y N x ∈∈,}，求A B ，A B 。

6、设A={015|2=+-px x x }，B={}05|2=+-q x x x ，若A B={5}，则A B=

家长签字：

第三讲 集合的基本运算（二）

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。

例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。

在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程（0)3)(22=--x x 的解集，在有理数范围内只有一个解2，即{|Q x ∈（0)3)(22=--x x }={ }； 在实数范围内有三个解： ，即{|R x ∈（0)3)(22=--x x }={ }； 一、 全集

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ），通常记作 。

二、补集

对于一个集合A ，由全集合U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（ary complement set ），简称为集合A 的补集，记作 ，即 点评：

（1）、补集的性质： （2）、 （3）、

例1、若 S = { 2， 3， 4 }， A = { 4，3 }， 则A C S = 。

例2、若U = { 1，3，122++a a }，A = { 1，3 }，A C U = { 5 }，则a = 。 例3、设全集U = { 2，3，322-+m m }，A = { |1+m |，2 }，A C U = { 5 }，求m 。 例4、设U = {x x |是小于9的正整数}，A = {1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A C U ，

B C U 。

例5、设全集U = {x x |是三角形}，A = {x x |是锐角三角形}，B= {x x |是钝角三角形}，

求A C U ， A B ， )(B A C U ?。 三、奇数集和偶数集

形如2)(Z n n ∈的整数叫做偶数，形如)(12Z n n ∈+的整数叫做奇数， 全体奇数的集合简称奇数集，全体偶数的集合简称偶数集。

例6、已知A 为奇数集，B 为偶数集，Z 为整数集，求A B ，Z A ，Z B ，A B ，Z A ，Z B 。 四、拓展探索

1、设全集U = { 1，2，3，4 }，A = { U x m x x x ∈=+-,05|2 }，求A C U ，m 。

2、（1）已知全集U = {2，5，422--a a }，M={2，|6-a |}，且}5{-=M C U ，求a 的值；

（2）若A={0，2，4}，A C U ={-1，1}，B C U ={-1，0，2}，求B 。

3、设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = { 3，4，5 }， B = { 4，7，8 } 求（1）、A C U ，B C U ，（A C U ）?（B C U ），（A C U ）?（B C U ）。

（2）、A B ，A B ，)(B A C U ?，)(B A C U ?。

4、已知U=R ，集合{|37}A x x =≤<，{|210}B x x =<<，求)(B A C U ， B A C U )( 五、思考

1、设集合2{4,2,1,}A a a =--，{9,5,1}B a a =--，已知{9}A B =，求A B .

2、 设全集{|7,}U x x x N =≤∈，已B A C U )(={1，6}，)(B C A U ={2，3}，

)(B A C U ={0，5}，求集合A 、B .

六、家庭作业

1、若S = { 三角形 }，B = { 锐角三角形 }，则B C S = 。

2、若S = { 1，2，4，8 }，A = φ， 则A C S = 。

3、如果全集U = Z ，那么N 的补集N C U = 。

4、设A = {（64|),+-=x y y x }，B={}35|),(-=x y y x ，求A B 。

家长签字：

第四讲：第一章复习及检测

一．填空题：（每小题4分，共24分）

1、用符合“∈”或“?”填空：

(1)若A={x|x 2=x}, 则－1 A ； (2)若B={x|x 2+x-6=0},则3 B ；

2、已知集合{|32}A x N x =∈-<<，则A ＝ 。

3、已知22{|30}x R x ax ∈∈+-=，则a = 。

4、设集合A=2{230}x x x --=,B=2{670}x x x -++=,则A B = ；A B =

5、不等式|1|0x ->的解集是

6、某班有学生60人，其中体育爱好者有32人，电脑爱好者有40人，还有7人既不

爱好体育也不爱好电

脑，则班上既爱好电脑又爱好音乐的学生有 人。 二．选择题:(每小题5分，共50分)

1．设集合M ＝{}0|≤x x ，则下列关系中正确的是 （ ） A. M ?0 B. {}M ∈0 C. {}M ?0 D. M ∈φ

2. 已知集合M={}{},1|,2|2===ax x B x x 若A B ?, 则a 的值为 （ ） A 22-

B 22

C 2

2

± D 220±或

3．设全集U={2,3,5}，A={}|5|2-a ，

，{}5=A C U ,则a 的值为 （ ）

A 2

B 8

C 2或8

D 2-或8 4．设a,b 是非零实数，那么b

b a a +所有可能值组成的集合是

（ ）

A. {2,2}-

B. {0,2}

C.{0}

D. {0,2,2}-

=的取值范围为则若a B A a x x B x x ,},0|{},21|{?<-=<< ( ) A. 2≥a B. 1≤a C. 1≥a D. 2≤a

6. 设全集U=Z,A=B C A C Z x x x B Z x x x U U 与则},,2|{},,5|{∈≤=∈<的关系是

(

)

A. B C A C U U ?

B. B C A C U U =

C. B C A C U U ?

D. )()(B C C A C C U U U U ? 7. 集合A 满足 {a,b}?A ?{a,b,c,d} 则A 可能的结果有

( )

A ．4个 B. 6个 C 7个 D 8 个

8．设集合M=},,2

1

4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=

则 ( )

A. M=N

B. N M ?

C. N M ?

D. M ?=N

9. 若集合A,B,C 满足,,C C B A B A == 则A 与C 的关系必定是

( )

A. A C ?

B. A C ?

C. C A ?

D. A C ? 10、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ） (A))]([C A C B U (B))()(C B B A

(C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 三、解答题：（26）

1．集合U=}3,2{)(},6,5,4{,,},,10|{==??∈≤A B C B A U B U A N x x x U 且,

B A B

C A C U U 和求集合},8,7{)()(= 。（8分）

2．已知：全集}24|{},32|{},5|{≤<-=<<-=≤=x x B x x A x x U 集合集合，求B A ,

)()(,)(,B C A C B A C B C A U U U U （8分）

3．已知：集合A=A A B a ax x x B x x x ==-++==-- 且},012|{},082|{222,

求实数a 的取值集合。 （10分）

第五讲：补充内容不等式 补充内容一：绝对值不等式

一、判断正误：

1、若||1x >，则1x >±。（ ）

2、若||2x ≤，则2x ≤±。（ ）

3、不等式|1|1x ->-的解集是R 。（ ）

4、不等式|1|0x ->的解集是R 。（ ）

5、不等式|12|6x +≤-的解集是?。

6、不等式2|1|1x +≤的解集是

?。（ ） 二、选择题：

5．下列不等式中与不等式x ＜｜x －1｜解集相同的一个是( )

A ．x ＜x －1

B ．???≤-<01x x x

C ．22(1)0x x x ?<-?>?

D ．???≤-<11x x

x

6.不等式

21

1

<-x 的解集为（ ） A.)23,1()1,21( B.),23()21,(+∞-∞ C.),23()1,(+∞-∞ D.),2

3

()1,21(+∞

7.若R x ∈，则)1)(1(x x +-为正数的条件是( )